考向09 幂函数与二次函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题学案（新高考地区专用）

这是一份考向09 幂函数与二次函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题学案（新高考地区专用），共25页。学案主要包含了知识拓展，考点定位，名师点睛等内容，欢迎下载使用。
考向09  幂函数与二次函数1．（2021·全国高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．2．（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.【答案】【分析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 1、根据图象高低判断幂指数大小的方法幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映．一般地,在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴．2、对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c,若是二次函数,就隐含a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．②在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定开口大小),c确定抛物线在y轴上的截距,b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．3、根据二次函数单调性求参数范围,常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系,若二次函数在某区间上单调,则该区间在对称轴的一侧,若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端点）,4、二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.4.幂函数y=xα的图象与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、5.二次函数的图象与性质函数解析式图象(抛物线)定义域R值域对称性函数图象关于直线对称顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数.在上是增函数；在上是减函数.最值当时，当时， 【知识拓展】1．幂函数的单调性当α>0时幂函数在(0,＋∞)上单调递增；(2)当α<0时,幂函数在(0,＋∞)上单调递减．f(x)<0().2．幂函数的奇偶性形如y＝或y＝ (m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数.3．对一元二次方程根的问题的研究,主要分三个方面：①根的个数问题,由判别式判断；②正负根问题,由判别式及韦达定理判断；③根的分布问题,依函数与方程思想,通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解4．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1,x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根,则x1,x2的分布范围与系数之间的关系如表所示．根的分布(m＜n＜p且m,n,p均为常数)　图象满足的条件x1＜x2＜m① m＜x1＜x2② x1＜m＜x2③f(m)<0.m＜x1＜x2＜n④m＜x1＜n＜x2＜p⑤ m<x1＝x2<n⑥ 只有一根  在区间(m,n)内⑦ f(m)·f(n)<0. 1．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）（多选题）已知函数(即，)则（    ）A．当时，是偶函数 B．在区间上是增函数C．设最小值为，则 D．方程可能有2个解2．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知函数，其中，则下列不等式不成立的是（    ）A． B． C． D．3．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____． 1．（2021·云南丽江市·高一期末）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．2．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．3．（2021·北京人大附中高三其他模拟）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（    ）A．充分不必要件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，，点在棱上运动，设的长度为，若△的面积为，则的图像大致为（    ）A． B．C． D．5．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根，且成等差数列，则不可能是（    ）A．0 B．1 C．2 D．36．（2021·浙江金华市·高三三模）已知实数，且，则的最小值为（    ）A． B．2 C． D．7．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．（2021·山东潍坊市·高三三模）（多选题）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（    ）A． B．C． D．10．（2021·上海市控江中学高三三模）幂函数在区间上是减函数，则__________.11．（2021·上海华师大二附中高三三模）从3个函数：和中任取2个，其积函数在区间内单调递增的概率是___________.12．（2021·上海高三三模）已知函数.（1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：；（2）求函数在区间上的最大值. 1．（2016·浙江高考真题（文））已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）A． B． C． D．3．（2015·四川高考真题（理））如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为A．16 B．18 C．25 D．4．（2015·湖北高考真题（理））设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是A．3 B．4 C．5 D．65．（2019·全国高考真题（理））若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│6．（2015·陕西高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．是的零点 B．1是的极值点C．3是的极值 D．点在曲线上7．（2015·上海高考真题（理））方程的解为________．8．（2017·北京高考真题（文））已知,,且,则的取值范围是_____.9．（2014·上海高考真题（理））若，则满足的取值范围是_____.10．（2012·山东高考真题（文））若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝______.1．【答案】ABD【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.【详解】：当时，，即，所以，所以是偶函数，故正确；：当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，当时，，的对称轴为，开口向上，此时在上是增函数，综上，在上是增函数，故正确；：当时，，当时，，因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；：令，当时，，有2个解，故正确.故选：ABD2．【答案】B【分析】通过图象，判断选项，构造函数，判断，判断选项，通过比较与对称轴的距离，比较大小.【详解】，，且，函数是开口向上的抛物线，如图，，，且 是点对应的函数值，一定大于，即，故正确；设，，， 即，即B不正确.，对称轴是， 与对称轴间的距离是，与对称轴间的距离是，与对称轴间的距离是，那么比较与，的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函数值越大，即， ，故CD正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的图象与基本不等式结合的综合应用，本题的关键是理解并掌握二次函数图象的应用.3．【答案】D【分析】条件表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.4．【答案】﹣1【分析】由幂函数的性质求解即可【详解】因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，所以为负数，因为，所以，故答案为：  1．【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围【详解】解：函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D2．【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质确定的范围,对于需要借助中间数据进行比较，然后与比较大小即可.【详解】函数在R上是减函数，，又幂函数在上单调递增，，，所以，而函数是R上增函数，，故选：B.3．【答案】C【分析】在的前提条件下，由的图像经过，则的值为，反之当为奇函数时，则的值为，从而可得答案.【详解】由，由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件故选：C4．【答案】A【分析】过作交于，过作交于，连接，有线面垂直的性质得，根据线面垂直的判定有面，进而可知，故，令，根据线段的平行关系、勾股定理求出、，即可得，写出关于x的关系式，利用二次函数性质判断图象.【详解】过作交于，过作交于，连接，∵平面，∴平面，面，即，∵，则，又，∴面，面，则，令，则，，∴，则，而，则，而，∴，而，∴，由解析式知：变化类似二次函数曲线，∴根据二次函数的性质知：关于对称，在上单调递减，在上单调递增， 故选：A【点睛】关键点点睛：利用线面垂直的判定及性质判断，根据平行关系及线段垂直关系，应用勾股定理求、、 ，进而写出关于的函数式.5．【答案】D【分析】设的两个不同零点为m，n，且m>n，根据韦达定理，可得，的表达式，根据有四个不同的根，可得以对应的根为，对应的根为，根据韦达定理，可得 ，，，表达式，根据题意，计算化简，可得m，n的关系，代入，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】设的两个不同零点为m，n，且m>n，所以，，且，又因为有四个不同的根，所以对应的根为，对应的根为，所以，，所以，同理，因为成等差数列，所以，则所以，解得，因为m>n，所以，解得，所以，所以当时，有最大值，所以不可能为3.故选：D【点睛】解题的关键是将零点问题，转化为二次函数根与系数的关系，根据韦达定理及题干条件，结合二次函数的性质，求值即可，考查分析计算，求值化简的能力，属中档题.6．【答案】A【分析】解法一：首先将代入目标函数得到，接着求解目标函数的最小值即可.解法二：首先通过换元得到直线，从而将目标函数转化成，接着利用数形结合进行解题即可.【详解】解法一：由得到，则，所以，令则，所以两边平方得在上有解，所以解得：或（舍去），时，函数，其中的对称轴为，，满足在上有零点，满足题意，所以的最小值.解法二：设，则，如图，作O关于直线的对称点,设，因为，解得，如图所以故选：A.【点睛】本题主要考查二元目标函数的最值问题，方法一通过消元得到一元函数，利用函数求最值的方法进行求解即可；方法二是求点关于直线对称点的求解，但是题目信息隐藏比较深，不容易发现通过目标函数的几何意义进行解题；方法一是通法，方法二更多的要依靠题目条件，在平时的备考过程中希望同学们多总结.7．【答案】A【分析】将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；【详解】解：由圆，圆，得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，又在直线上，，即.∴，∴的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.8．【答案】D【分析】由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.【详解】由是幂函数，知：，又在上，∴，即，则且，∴.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9．【答案】ABD【分析】由函数图象过点可得的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得，即，单调递减过点，故A正确；为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；，根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.10．【答案】0【分析】由幂函数在上的单调性，可得幂指数正负的不等式，求出m的范围即可得解.【详解】因幂函数在区间上是减函数，则，解得，而，则0.故答案为：011．【答案】【分析】由题意，分析积函数是否在区间内单调递增，最后根据古典概型计算概率即可.【详解】从三个函数中任取两个函数共有3种取法，若取，积函数为，所以，因为当时，，所以函数在单调递增；若取和，积函数，所以，因为当时，，所以函数在单调递减；若取和，积函数，所以，因为当时，，所以函数在单调递增；故满足题意的有2个积函数，所以概率值为，故答案为：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.12．【答案】（1）证明见解析；（2）当时，；当时，.【分析】（1）由解析式判断的单调性，进而判断k的符号，即可证结论.（2）由题设整理，令有，根据二次函数的性质可求区间最大值.【详解】（1）∵单调递增，单调递减，∴在定义域上是单调增函数，而，∴恒成立，结论得证.（2）由题意，有且，令，则，开口向上且对称轴为，∴当，即时，，即；当，即时，，即； 1．【答案】A【详解】试题分析：由题意知，最小值为．令，则，当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A．考点：充分必要条件．2．【答案】A【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．3．【答案】B【详解】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..考点：函数与不等式的综合应用.4．【答案】B【详解】因为表示不超过的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．5．【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．6．【答案】A【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．7．【答案】【详解】设，则考点：解指对数不等式8．【答案】【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为.  【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.9．【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.10．【答案】【详解】　当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意