江苏省扬州市树人集团2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省扬州市树人集团2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了下列命题中，正确的是，若关于x的方程等内容，欢迎下载使用。
江苏扬州市树人集团2021-2022学年初三上学期10月月考试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2
C． D．x2＝2
2．下列命题中，正确的是（　　）
A．圆心角相等，所对的弦相等
B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧
D．弦的垂直平分线必经过圆心
3．已知⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，则点P在⊙O（　　）
A．外部 B．内部 C．上 D．不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tanB的是（　　）

A． B． C． D．
5．某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表：
睡眠时间/小时
7
8
9
10
人数
6
9
11
4
这些学生睡眠时间的众数、中位数是（　　）
A．众数是11，中位数是8.5 B．众数是9，中位数是8.5
C．众数是9，中位数是9 D．众数是10，中位数是9
6．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝（　　）

A． B． C． D．
8．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m≤3 D．m≤3且m≠2
9．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个，黑色球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．已知一组数据a，b，c的方差为4，那么数据3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2的方差是　 　．
12．半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 　 　．
13．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　 　．

14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，sin∠B＝，D是BC边上的一个动点（异于B、C两点），过点D分别作AB、AC边的垂线，垂足分别为E、F，则EF的最小值是　 　．

15．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是　 　．

三．解答题（共10小题）
16．如图，BD＝OD，∠B＝38°，求∠AOD的度数．

17．解方程
（1）（x+3）2＝（1﹣2x）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
（3）
（4）．
18．甲、乙两位同学5次数学成绩的统计如表所示，他们的5次总成绩相同，现要从甲、乙两名同学中选择一名同学去参加比赛，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
90
40
70
40
60
乙成绩
70
50
70
a
70
请同学们完成下列问题：
（1）a＝　 　，乙＝　 　；
（2）S甲2＝360，请计算出乙同学5次成绩的方差，并从平均数和方差的角度分析，谁将被选中？
19．某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 　 　；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
20．如图，在△ABC中∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，，
求：（1）DC的长；
（2）sinB的值．

21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
23．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．

24．如图，已知∠ABM＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是　 　；（填写所有符合条件的序号）
①AC＝13；②tan∠ACB＝； ③连接AC，△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

25．定义：在等腰三角形中，对于顶角的每一个确定的值，其底边与腰的比值都是唯一确定的，这个比值是顶角的正对函数．例如：图1，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对函数记作sadA，sadA＝或sadA＝．
（1）在图1中，若∠B＝60°，则sadA＝　 　．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，求sad∠BAC．
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，直接写出三个内角的正对函数值．

江苏扬州市树人集团2021-2022学年初三上学期10月月考试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2
C． D．x2＝2
【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、由已知方程得到6x+11＝0，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列命题中，正确的是（　　）
A．圆心角相等，所对的弦相等
B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧
D．弦的垂直平分线必经过圆心
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误；
D、弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项正确．
故选：D．
3．已知⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，则点P在⊙O（　　）
A．外部 B．内部 C．上 D．不能确定
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，
即OP＞5，
∴点P在⊙O外．
故选：A．
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，则下列选项中不能表示tanB的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD是BC边上的高，
∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，
又∵∠C+∠B＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
在Rt△ABC中，tanB＝，故A可以表示；
在Rt△ABD中，tanB＝，故B可以表示；
在Rt△ADCz中，tanB＝tan∠DAC＝，故C可以表示；
D不能表示tanB；
故选：D．
5．某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表：
睡眠时间/小时
7
8
9
10
人数
6
9
11
4
这些学生睡眠时间的众数、中位数是（　　）
A．众数是11，中位数是8.5 B．众数是9，中位数是8.5
C．众数是9，中位数是9 D．众数是10，中位数是9
【解答】解：抽查学生的人数为：6+9+11+4＝30（人），
这30名学生的睡眠时间出现次数最多的是9小时，共出现11次，因此众数是9，
将这30名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝8.5，因此中位数是8.5，
故选：B．
6．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
∴恰好有一车直行，另一车左拐的概率＝，
故选：A．
7．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE＝CE＝a，

∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD＝CE＝a，∠DCE＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD＝a，∠BCD＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CF＝EF＝CE＝a，
在Rt△BEF中，tan∠EBF＝＝，
即tan∠EBC＝．
故选：D．
8．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m≤3 D．m≤3且m≠2
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣2≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3，
∴m的取值范围是m＜3且m≠2．
故选：A．
9．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个，黑色球有n个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根据题意得：＝0.4，
解得：n＝3，
则n的值为3，
故选：B．
10．如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°．
∴sin∠ABC＝．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．已知一组数据a，b，c的方差为4，那么数据3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2的方差是　36　．
【解答】解：∵数据a，b，c的方差为4，
∴数据3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2的方差32×4＝36，
故答案为：36．
12．半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 　120°　．
【解答】解：如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，

∴AD＝AB＝（cm），
∵cosA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
故答案为：120°．
13．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　2　．

【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，
在Rt△OAD中
AD＝＝＝，
∴AB＝2AD＝2．
故答案为：2．

14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，sin∠B＝，D是BC边上的一个动点（异于B、C两点），过点D分别作AB、AC边的垂线，垂足分别为E、F，则EF的最小值是　　．

【解答】解：如图，连接AD，
在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，sin∠B＝＝，
∴AC＝BC＝6，
∴AB＝＝＝8，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴EF＝AD，
当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时EF最小值＝AD＝＝＝，
故答案为：．

15．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是　＜S≤　．

【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，
∴CF＝FO＝，
∴S△AOC＝×1×＝，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD＝90°时DE最长为半径，
S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．
∴＜S≤，
故答案为：＜S≤．

三．解答题（共10小题）
16．如图，BD＝OD，∠B＝38°，求∠AOD的度数．

【解答】解：∵BD＝OD，∠B＝38°，
∴∠DOB＝∠B＝38°，
∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2×38°＝76°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝76°，
∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠ADO＝180°﹣76°﹣76°＝28°．
17．解方程
（1）（x+3）2＝（1﹣2x）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
（3）
（4）．
【解答】解：（1）∵x+3＝±（1﹣2x），
∴x1＝﹣，x2＝﹣4；

（2）∵3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．

（3）原式＝3﹣|﹣2+×1|+2
＝3﹣（2﹣）+2
＝3﹣2++2
＝3+；

（4）原式＝4×+2×+1
＝2+3+1
＝6．
18．甲、乙两位同学5次数学成绩的统计如表所示，他们的5次总成绩相同，现要从甲、乙两名同学中选择一名同学去参加比赛，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表．

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
90
40
70
40
60
乙成绩
70
50
70
a
70
请同学们完成下列问题：
（1）a＝　40　，乙＝　60　；
（2）S甲2＝360，请计算出乙同学5次成绩的方差，并从平均数和方差的角度分析，谁将被选中？
【解答】解：（1）∵他们的5次总成绩相同，
∴90+40+70+40+60＝70+50+70+a+70，
解得a＝40，
＝（70+50+70+40+70）＝60，
故答案为：40；60；

（2）∵甲、乙两位同学5次总成绩相同，
∴他们的平均数相同．
∵S乙2＝[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160，
而S甲2＝360，
∴S乙2＜S甲2，
∴乙的成绩稳定，所以乙将被选中．
19．某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 　108°　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 　510人　；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），
则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：

（3）估计该校“良好”的人数为：1200×＝510（人），
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，
∴抽到两名男生的概率为＝．
20．如图，在△ABC中∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，，
求：（1）DC的长；
（2）sinB的值．

【解答】解：（1）在直角△ACD中，＝，
因而可以设CD＝3x，AD＝5x，
根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，
∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，
解得x＝2，
因而BC＝10，AC＝8，
CD＝6；

（2）在直角△ABC中，根据勾股定理得到AB＝2，
∴sinB＝＝＝．
21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，

由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，
∴CH＝AH•tan∠CAH，
∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），
∵DH＝1.5，
∴CD＝2+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，
∴CE＝＝（4+）米，
答：拉线CE的长为（4+）米．
22．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
23．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．

【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，

在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥F′E′于H，则OH＝CE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝＝16，
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
24．如图，已知∠ABM＝37°，AB＝20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是　②③　；（填写所有符合条件的序号）
①AC＝13；②tan∠ACB＝； ③连接AC，△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

【解答】解：（1）②③；
（2）方案一：选②
作AD⊥BC于D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，
∴AD＝AB•sinB＝12，BD＝AB•cosB＝16，
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝21．
方案二：选③
作CE⊥AB于E，则∠BEC＝90°，
由S△ABC＝AB•CE得CE＝12.6，
在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°，
∴BC＝＝21．

25．定义：在等腰三角形中，对于顶角的每一个确定的值，其底边与腰的比值都是唯一确定的，这个比值是顶角的正对函数．例如：图1，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对函数记作sadA，sadA＝或sadA＝．
（1）在图1中，若∠B＝60°，则sadA＝　1　．
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，若∠BAC＝120°，求sad∠BAC．
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，直接写出三个内角的正对函数值．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴sadA＝＝1；
故答案为：1；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝＝60°，BD＝CD，
∴∠B＝∠C＝30°，
设AB＝AC＝2a，
∴AD＝a，
∴，
∴，
∴；
（3）∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，则AC＝3x，
如图3，作等腰△ACD，腰为AC＝AD＝3x，过C作CE⊥AB于E，
S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
3x•4x＝5x•CE，
∴CE＝x，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝，
∴ED＝3x﹣＝，
在Rt△CED中，由勾股定理得：CD＝＝＝x，
∴sad∠A＝＝＝
如图4，作等腰△ACF，腰为AC＝CF＝3x，
∵∠ACB＝90°，
∴AF＝3x，
∴sad∠ACB＝＝3＝＝；
如图5，作等腰△BCD，腰为BC＝BD＝4x，过C作CE⊥AB于E，
同理得：CE＝x，BE＝，DE＝4x﹣＝，
∴CD＝＝＝，
∴sad∠B＝＝＝．




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