专题07 勾股定理的逆定理八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版）

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考点一、判断直角三角形
1．（2020·无锡市大桥实验学校八年级期中）已知△ABC中，a､b､c分别是∠A､∠B､∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A=∠C-∠BB．a：b：c=25：7：24
C．D．
【答案】D
【解析】
解：A.由∠A=∠C-∠B且∠A +∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，A选项不符合题意；
B.设a=25，b=7，c=24，此时，故△ABC是直角三角形，B选项不符合题意；
C. 由条件可得到，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，C选项不符合题意；
D.此时，故△ABC不是直角三角形，符合题意．
故答案选D．
2．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=，b=，c=B．∠A+∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：3：2D．(b+c)(b﹣c)=a2
【答案】A
【解析】
解：A. +=≠，故不是直角三角形，该选项符合题意；
B . ∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则有2∠C=180°，即∠C=90°，故三角形为直角三角形，该选项不符合题意；
C, 因为∠A：∠B：∠C =1：3：2，则最大角为180°×90°，是直角三角形，该选项不符合题意；
D、因为，即b2-c2=a2，可得b2 =a2+c2，则三角形为直角三角形，该选项不符合题意．
故选A．
3．（2021·南京外国语学校八年级期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2D．a：b：c＝7：24：25
【答案】A
【解析】
解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为a2﹣b2＝c2，a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝7：24：25，设a＝7x，b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
4．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1∶2∶3B．三边长的平方之比为1∶2∶3
C．三边长之比为3∶4∶5D．三内角之比为3∶4∶5
【答案】D
【解析】
A、设三个内角的度数为，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、设三条边为，，，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、设三个内角的度数为，，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选D．
5．（2019·海安市李堡中学八年级期中）已知三角形三边长为a，b，c，如果+|b﹣8|+（c﹣10）2＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形
【答案】C
【解析】
因为＋|b－8|＋(c－10)2＝0，
所以有(a－6) 2 =0， ，|c－10|=0，
所以a=6，b=8，c=10，因为 a2+b2=c2 ，
所以△ABC的形状是以c为斜边的直角三角形，
故选C
6．（2020·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．150 °
【答案】B
【解析】
解：连接AC，
由勾股定理得：AC=BC=，AB=，
∵AC2+BC2=AB2=10，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故选：B．
7．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，在四边形中，，，，且，试说明为直角三角形．
【答案】见解析
【解析】
根据题意，为等腰直角三角形，
∴
又∵，即
根据勾股定理逆定理所以为直角三角形．
考点二、根据逆定理求解
1．（2020·江苏邳州市·八年级期中）三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是_____．
【答案】6
【解析】
三角形的三边长分别为3，4，5，
∵52＝32+42，
∴此三角形为直角三角形，
∴这个三角形的面积＝×3×4＝6．
故答案为：6．
2．（2019·江苏连云港市·八年级期中）如图，已知．求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
在中，，
根据勾股定理，，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴.
3．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）在四边形中，，求四边形的面积.
【答案】四边形的面积为
【解析】
根据勾股定理可得：
又∵
∴是直角三角形，
∴四边形的面积=
4．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)请作出△ABC以直线l为对称轴的对称的△DEF；
(2)图中格点△ABC的面积为 ；
(3)判断格点△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）△ABC为直角三角形，理由见解析
【解析】
解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
；
（2）解：图中格点△ABC的面积=4×4-×4×2-×4×3-×2×1=5；
故答案为：5；
（3）解：格点△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理可得：AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，
∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形．
（1）求图中格点四边形ABCD的面积；
（2）求四边形ABCD的周长；
（3）求∠ADC的度数．
【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°
【解析】
解：（1）根据题意得：
四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；
（2）由勾股定理得：
AD=，AB=，
BC=，CD=，
∴四边形ABCD的周长==；
（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，
∴AD2+CD2=AC2，
∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°．
6．（2020·江苏海安市·八年级期中）（1）已知直角三角形的两条直角边的长分别为+1和-1，求斜边c的长.
（2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由.
【答案】（1）；（2）直角三角形，证明见解析．
【解析】
（1）
∵，
（2）∵，，
∴
此三角形为直角三角形．
7．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，
（1）求DC的长；
（2）求证：ΔABC是直角三角形．
【答案】（1）12 ；（2）证明见解析．
【解析】
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9，
∴根据勾股定理，得CD==12；
（2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2，
∴122+AD2=202，
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∴AC2+BC2=202+152=625=AB2
∴△ABC是直角三角形．
8．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，点D为AB上的一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2．
（1）试说明△AED是直角三角形；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
证明：（1）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD
∵AD2+DB2=DE2
∴AD2+ AE 2=DE2
∴△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下
∵△AED是直角三角形，且∠EAD=90°；
∴∠EAC＋∠CAB=90°
∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠DBC
∴∠DBC＋∠CAB=90°
∴△ABC是等腰直角三角形．
考点三、逆定理的实际应用
1．（2019·盐城市初级中学）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.
【答案】6
【解析】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AB=5，AC=4，
∴，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积
=
=
=
=
=
=6.
2．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为120cm，宽为50cm，对角线为130cm，则这个桌面______________（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【解析】
如图结合已知AD=120cm，AB=50cm，BD=130cm
∵AD2+AB2=1202+502=16900cm2
而BD2=1302=16900cm2
∴AD2+AB2=BD2
∴ΔABD为直角三角形，∠A=90º
同理∠ABC=∠BCD=90º
∴长方形桌面合格．
故答案为：合格．
3．（2019·江苏东台市实验中学八年级期中）学校计划在如图所示的空地 ABCD 上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝ 6m ，AD ＝ 8m ， AB＝26m ， BC＝ 24m .
（1）求出空地 ABCD 的面积；
（2）若每种植 1 平方米草皮需要 200 元，问总共需投入多少元.
【答案】（1）96；
（2）19200元.
【解析】
解：（1）在Rt△ACD中，，
在△ABC中，，，
而，
即，
∴，
.
（2）需费用96×200=19200（元）．
4．（2020·江苏射阳县·八年级期中）如图，在四边形中，，，，且，试求四边形的面积．
【答案】
【解析】
如图，连接AC，
则在△ABC中，，
又∵，，
，，
∴，△ACD为直角三角形，AC⊥AD，
∴SABCD=S△ABC+S△ACD==．
1．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是( )
A．2和3B．3和3C．2和4D．3和4
【答案】A
【解析】
解：（1）如图，为等腰三角形有两种
由勾股定理易知：ED=DC=, 符合题意，
由勾股定理易知：AE=EC=,符合题意，
（2）如图，为直角三角形有三种
由勾股定理及格点图知：AB=2，BE=4，AE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆ABE为直角三角形，
由勾股定理及格点图知：BC=2，BE=4，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CBE为直角三角形，
由勾股定理及格点图知：DC=，DE=，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CDE为直角三角形，
故选：A
2．（2020·江苏句容市·）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块，按图中的方式组成图案，则选取的三块纸片的不可能的是（ ）
A．1，2，3B．1，3，4C．2，3，5D．3，4，5
【答案】D
【解析】
解：当选取的三块纸片的面积分别是1，2，3时，围成的三角形的三边长分别为1，，，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是1，3，4时，围成的三角形的三边长分别为1，，2，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的三角形的三边长分别为，，，又，所以能组成图案；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形的三边长分别为，2，，又，所以围成的三角形不是直角三角形；
∴选取的三块纸片的不可能的是3，4，5．
故选：D．
3．（2020·泰兴市洋思中学八年级期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠B＝∠C+∠A，则△ABC是直角三角形；
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形；
C．在△ABC中，若∠A︰∠B︰∠C＝3︰4︰5，则△ABC是直角三角形；
D．在△ABC中，若a︰b︰c＝5︰4︰3，则△ABC是直角三角形．
【答案】C
【解析】
解：A、∠B＝∠C+∠A，所以∠B=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若a2=（b+c）（b-c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选C．
4．（2019·江苏无锡市·新城中学八年级期中）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）△ABC的形状为 ；
（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与△ABC全等的格点三角形是 ．
【答案】（1）2；（2）直角三角形；（3）△DBC，△DAB，△DAC．
【解析】
（1）△ABC的面积为：2×3﹣﹣﹣＝2，
故答案为：2；
（2）由勾股定理得：AC＝＝2，BC＝＝，AB＝＝，
所以AC2+BC2＝AB2，
即∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（3）与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC，
故答案为：△DBC，△DAB，△DAC．
5．（2019·江苏姑苏区·八年级期中）在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
【答案】（1）a、b、c的值能为直角三角形三边的长；理由见解性；（2）a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形；理由见解析；
【解析】
解：（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
6．（2019·无锡市玉祁初级中学八年级期中）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF2+BF2=2AC2．

【答案】（1）∠AEB=25°；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=40°+90°=130°，
∴∠AEB=（180°﹣130°）÷2=25°；
（2）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中
，
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；
（3）∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC2=AC2+AE2=2AC2，即EF2+BF2=2AC2．
∴AC2＋AB2＝BC2，
7．（2019·江苏姜堰区·八年级期中）在△ABC中，AB=13，AC=5，BC边上的中线AD=6，点E在AD的延长线上，且AD=DE．
（1）试判断△ABE的形状并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）△ABE是直角三角形；证明见解析；（2）30
【解析】
（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD．
在△ACD与△EBD中，∵，∴△ACD≌△EBD，∴BE=AC=5．
∵AD=DE=6，∴AE=12．
∵AE2+BE2=52+122=169，AB2=132=169，∴AE2+BE2= AB2，∴∠E=90°，∴△ABE是直角三角形．
（2）∵△ACD≌△EBD ，∴S△ABC=S△ABE=×EA×BE=×12×5 =30．
8．（2019·江苏鼓楼区·南京市第二十九中学八年级期中）如图，已知等边，点为内的一点，连接、、，，以为边向上方作等边，连接（）.
（1）求证：≌
（2）若，，则的面积为 .
（3）若，，（为大于1的整数）.求证：.
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】
（1）证明：在等边中，，，即
在等边中，，，即
∴
∴
在和中
∴≌（）
（2）由（1）得，
∵
∴
∴
则,
∴
∵
∴是等边三角形
∴
（3）证明：∵是等边三角形
∴，
由（1）得≌
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得.
9．（2021·江苏锡山区·八年级期中）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题：
（1）试说明；
（2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题．
【答案】（1）证明见解析；（2）5cm
【解析】
证明：（1）如图：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠1＝∠3，
由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB，
∴△ADC≌△CEB；
（2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm，
∵∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去），
∴每块砖厚度为5cm．
10．（2020·江苏赣榆区·八年级期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【答案】解：(1)是，理由见解析； (2)新路CH比原路CA少0.05千米．
【解析】
解：(1)是，理由如下：
在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，
即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，
∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知设AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，
故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
11．（2019·江苏常熟市·八年级期中）已知，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，连接，，．

（1）如图①，当时，试说明是直角三角形；
（2）如图②，若点是边的中点，平分，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）∵，，，
∴，，BF=4，
∵四边形是长方形，
∴.
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，且．
（2）如图，作于，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∵点E为AB中点，
∴BE=AE=4，
∴
在与中，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，即．
12．（2021·江苏锡山区·八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【解析】
解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
13．（2019·无锡外国语学校八年级期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD＝8，CD＝4，BD＝2，
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．
①当t为何值时，△PDC≌△BDC；
②当t为何值时，△PBC是等腰三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）①t=6s；②t=5s或s或6s
【解析】
（1）证明：由题意知，AB=AD+BD=8+2=10，∴，
又， ，
∴，∴△ABC是直角三角形；
（2）①如图，若PD=BD，则在△PDC和△BDC中，
PD=BD，∠PDC=∠BDC，CD=CD，△PDC≌△BDC，
此时AP=AD-PD=8-2=6，∴t=，
即t=6s时，△PDC≌△BDC；
②此题分三种情况：
a、如图，若PC=PB，则△PBC是等腰三角形，
此时，，
由可得：，即16=4PD+4，∴PD=3，
∴AP=AD-PD=8-3=5，t=；
b、如图，若BC=PB，则△PBC是等腰三角形，
此时，AP=AB-PB=10-，t=；
c、如图，若BC=PC，则△PBC是等腰三角形，
则由题意得：PD=DB=2，
此时AP=AD-PD=8-2=6，t=；
综上所述，当t=5s或或6s时，△PBC是等腰三角形．
14．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点E，易得△BCE是等边三角形，从而得到“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”利用这个结论解决问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，若动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A．B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
【答案】（1）；（2）t的值为或或
【解析】
（1）在Rt△ABC中，利用结论可得,
∴
在Rt△ADP中，由题意AP=2t，PD=t，
∴，
∴
∵点P不与点A.B重合，∴
故.
（2）①当PQ的垂直平分线与PQ交于点G，且经过AB的中点F时，如图1，
在△APD和△QPD中，
∴
∴PA=PQ，∠PQD=∠A=30°，AD=QD=
∵GF是PQ的中垂线，∴，
在△APD和△FPG中，
∴
∴PA=PF=2t
∵F为AB中点，∴AF=PA+PF=AB，
即2t+2t=2，解得t=
②当PQ的垂直平分线经过AC的中点M时，如图2，
由①可知PG=QG=PQ=t，
在Rt△MGQ中，设MG=x，∵∠MQG=30°，∴MQ=2x
由勾股定理得
即，解得或（舍去）
∴，
∵M为AC的中点，∴AM=AC=，
AM+MQ=2AD，即+=，解得t=
③当PQ的垂直平分线经过BC的中点N，与AB的延长线交于H点时，如图3，
在Rt△PFG中，，
∵∠ABC=∠H+∠BNH=60°，∴∠BNH=∠H=30°，∴BH=BN==1
同①可证△PHG≌△PAD，∴PH=PA=2t，
由AB+BH=PA+PH=2PA得4+1=4t，解得t=
综上，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.
15．（2019·镇江实验学校八年级期中）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时， ．
【答案】阅读：AD；理解：150°；应用：44
【解析】
解：阅读：如图1，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD，
故答案为：AD；
理解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
∵BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD＝5，
∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；
应用：以CD为边在△ABC的下方作等边△CDE，连接AE，如图3所示：
则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝BD，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC＝12，
∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，
∴CE2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44，即CD2=44．
故答案为：44．
16．（2020·盐城市初级中学八年级期中）如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【解析】
解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2＋BC2＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，
；
如图，当点P在AB上时，分两种情况：
若BP＝BC＝6，则AP＝4，
故t＝（8＋4）÷2＝6秒；
若CP＝CB＝6，作CM⊥AB于M，则
×AB×MC＝×BC×AC，
×10×MC＝×6×8，
解得MC＝4.8，
∴由勾股定理可得PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，
∴AP＝2.8，
故t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．
综上所述，当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；
（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），
由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，
解得t＝；
②当点P在AB上，点Q在BC上时，
当P运动到A点时，t=4，
此时PQ=，
当Q运动到B点时，t=6，
此时PQ的长为10-2×（6-4）=6，
∴PQ的长大于6且小于，不符合题意；
③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（8＜t≤9），
由题可得：2t＋t−24＝，
解得t＝，
∵t＝>9，
∴不成立，舍去．
④如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（6≤t＜8），
由题可得：24−2t−t＝，
解得t＝；
综上所述，当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…