人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质课后作业题

A级　基础巩固

一、选择题

1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是(　A　)

A．AC∥截面BA1C1　　　　 B．AC与截面BA1C1相交

C．AC在截面BA1C1内  D．以上答案都错误

[解析]　∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，

∴AC∥面BA1C1．

2．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　B　)

A．异面

B．平行

C．相交

D．以上均有可能

[解析]　∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，

∴A1B1∥平面ABC．

又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1．

又AB∥A1B1，∴DE∥AB．

3．下列命题正确的是(　D　)

A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b

B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交

C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α

D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点

[解析]　A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确，故选D．

4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则(　B　)

A．MF∥NE

B．四边形MNEF为梯形

C．四边形MNEF为平行四边形

D．A1B1∥NE

[解析]　∵在▱AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM与BN平行且相等，∴MN与AB平行且相等．又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．

5．如右图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　A　)

A．平行　　　　　　 B．相交

C．异面  D．不确定

[解析]　∵EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，

∴EH∥平面BCD．

∵EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴EH∥BD．

6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为(　C　)

A．1　　　 B．　　　

C．　　　 D．

[解析]　由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1，又P为AO1的中点，∴PQ＝AB1＝．

二、填空题

7．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____.

[解析]　∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，

∴＝，则EG＝＝＝．

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__l∥A1C1__.

[解析]　

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，

∴AC∥平面A1B1C1D1．

又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，

∴AC∥l．

三、解答题

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，求证：AB∥GH.

[解析]　∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB．

又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH．

又AB⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH．

10．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD．试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由.

[解析]　在PC上取点E，使＝，

则BE∥平面PAD．

证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF．

梯形ABCD中，AB∥CD，

AB＝CD．

∴＝＝，

∴＝．

又＝，∴△PFC中，＝， 

∴BE∥PF，

而BE⊄平面PAD，PF⊂平面PAD．

∴BE∥平面PAD．

B级　素养提升

一、选择题

1．a，b是两条异面直线，下列结论正确的是(　D　)

A．过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行

B．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交

C．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行

D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行

[解析]　A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与a平行了．

B错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能作一条直线与a，b相交．

C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a∥b，这与a，b异面矛盾．

D正确，在a上任取一点A，过A点作直线c∥b，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．

2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　D　)

A．都平行 B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点

[解析]　若l∥平面α，则交线都平行；

若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A．

3．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　B　)

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

[解析]　∵EF⊂平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC．

4．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：

①⇒m∥β；②⇒n∥β；③⇒m，n异面．

其中假命题有(　C　)

A．0个　　 B．1个　　

C．2个　　 D．3个

[解析]　∵α∥β，∴α与β没有公共点．

又∵m⊂α，∴m与β没有公共点，

∴m∥β，故①正确，②③错误．

二、填空题

5．已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是__平行__四边形.

[解析]　∵AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG

∴AB∥FH，AB∥EG，∴FH∥EG，同理EF∥GH，∴四边形EFHG是平行四边形．

6．长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝__2__.

[解析]　连接AC交BD于O，连接PO．

因为EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO，在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC，所以EFCQ为平行四边形，则CF＝EQ，又因为AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝A1Q＝2，从而CF＝2．

C级　能力拔高

1．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC，BD都平行，且交空间四边形边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H.

(1)求证：EFGH为平行四边形；

(2)若AC＝BD，EFGH能否为菱形？

(3)若AC＝BD＝a，求证：平行四边形EFGH周长为定值．

[解析]　(1)∵AC∥平面EFGH，平面ACD∩平面EFGH＝GH，且AC⊂面ACD，

∴AC∥GH，同理可证，AC∥EF，BD∥EH，BD∥FG．

∴EF∥GH，EH∥FG.∴四边形EFGH为平行四边形．

(2)设AC＝BD＝a，EH＝x，GH＝y，＝．

∵GH∥AC，∴GH∶AC＝DH∶DA＝DH∶(DH＋HA)．

即：y∶a＝n∶(m＋n)，∴y＝a．

同理可得：x＝EH＝a．

∴当AC＝BD时，若m＝n即AH＝HD时，则EH＝GH，四边形EFGH为菱形．

(3)设EH＝x，GH＝y，

H为AD上一点且AH∶HD＝m∶n．

∵EH∥BD，∴＝．

即＝，∴x＝a．

同理：y＝a，

∴周长＝2(x＋y)＝2a(定值)．

2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.

[解析]　若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN．

又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，

所以MN∥BF，MN＝BF＝1．

而EC∥FB，EC＝2FB＝2，

所以MN∥EC，MN＝EC＝1，

故MN是△ACE的中位线．

所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF．