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    湘教版八年级上册2.4 线段的垂直平分线优秀课时作业

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    这是一份湘教版八年级上册2.4 线段的垂直平分线优秀课时作业,共18页。

    2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》优生辅导训练(附答案)
    1.设A(0,﹣2),B(4,2)是平面直角坐标系中的两点,P是线段AB垂直平分线上的点,如果点P与点C(1,5)的距离等于2,则点P的坐标为   .
    2.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AD的垂直平分线交AB于点F,则△DEF的面积为   .

    3.如图,∠A=52°,O是AB、AC的垂直平分线的交点,那么∠OCB=   .

    4.△ABC中,∠CAB=64°,平面上点P满足PA=PB=PC,则∠PCB=   .

    5.如图,AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,若∠FAC=68°,则∠B的度数为    .

    6.如图,点A为∠MON的平分线上一点,过A任意作一条直线分别与∠MON的两边相交于B、C,P为BC中点,过P作BC的垂线交射线OA于点D,若∠MON=115°,则∠BDC的度数为   度.

    7.如图,在△ABC中,∠C=30°,点D是AC的中点,DE⊥AC交BC于E,点O在DE上,OA=OB,OD=2,OE=4,则BE的长为   .

    8.如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC=   度.

    9.如图,在锐角△ABC中、∠A=80°,DE和DF分别垂直平分边AB、AC,则∠DBC的度数为   °.

    10.如图,线段AB,DE的垂直平分线交于点C,且∠ABC=∠EDC=72°,∠AEB=92°,则∠EBD的度数为   .

    11.如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N,且M、N分别在PA、PC的中垂线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为   .


    12.如图,在平面直角坐标系中,等边三角形A1B1C1,等边三角形A2B2C2,等边三角形A3B3C3,…中A1B1,A2B2,A3B3,…平行于x轴,点C1C2C3,…在y轴正半轴上,三边垂直平分线的交点在原点,A1B1,A2B2,A3B3,…的长依次为,2,3,…,以此类推,则等边三角形A2021B2021C2021的顶点A2021的坐标为    .

    13.如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置?

    14.a,b分别代表铁路和公路,点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场.现要建中转站O点,使O点到铁路、公路距离相等,且到两市场距离相等.请用尺规画出O点位置,不写作法,保留痕迹.

    15.如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,做线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
    (1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
    (2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来发现:这些点P竟然在一条曲线L上.设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式;
    (3)设点P到x轴,y轴的距离分别是d1,d2,当d1+d2=5时,求点P的坐标.

    16.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=25cm,DA=15cm,CB=10cm.动点
    E从A点出发,以2cm/s的速度向B点移动,设移动的时间为x秒.
    (1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?
    (2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.

    17.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,AC的垂直平分线BE与CD交于点F,与AC交于点E.
    (1)判断△DBC的形状并证明你的结论.
    (2)求证:BF=AC.
    (3)试说明CE=BF.

    18.(1)求证:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(要求:画出图形,写出已知,求证和证明过程)
    (2)用(1)中的结论解决:如图,△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,BE平分∠ABC,求证:点E在线段AB的垂直平分线上.

    19.如图,在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线相交于点O,分别交BC边于点M、N,连接AM,AN.
    (1)若△AMN的周长为6,求BC的长;
    (2)若∠MON=30°,求∠MAN的度数;
    (3)若∠MON=45°,BM=3,BC=12,求MN的长度.

    20.已知:△ABC是三边都不相等的三角形,点O和点P是这个三角形内部两点.
    (1)如图①,如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点,那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系?请说明理由;
    (2)如图②,如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系?请说明理由;
    (3)如图③,如果点P(三角形三个内角平分线的交点),点O(三角形三边垂直平分线的交点)同时在不等边△ABC的内部,那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系?请直接回答.


    参考答案
    1.解∵A(0,﹣2),B(4,2),
    ∴直线AB的解析式为y=x﹣2,
    ∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=﹣x+2,
    ∵点P在直线y=﹣x+2上,
    ∴可以假设P(m,﹣m+2),
    ∵PC=2,C(1,5),
    ∴(m﹣1)2+(﹣m﹣3)2=8,
    解得m=﹣1,
    ∴P(﹣1,3),
    故答案为(﹣1,3).

    2.解:∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°,DE⊥AB,
    ∴∠CAD=∠EAD,DE=CD,AE=AC=2,
    ∵AD的垂直平分线交AB于点F,
    ∴AF=DF,
    ∴∠ADF=∠EAD,
    ∴∠ADF=∠CAD,
    ∴AC∥DE,
    ∴∠BDE=∠C=90°,
    ∴△BDF、△BED是等腰直角三角形,
    设DE=x,则EF=BE=x,BD=DF=2﹣x,
    在Rt△BED中,DE2+BE2=BD2,
    ∴x2+x2=(2﹣x)2,
    解得x1=﹣2﹣2(负值舍去),x2=﹣2+2,
    ∴△DEF的面积为(﹣2+2)×(﹣2+2)÷2=6﹣4.
    故答案为:6﹣4.
    3.解:∵O是AB、AC的垂直平分线的交点,
    ∴点O是△ABC的外心.
    如图,连接OB.
    则∠BOC=2∠A=104°.
    又∵OB=OC,
    ∴∠OBC=∠OCB.
    ∴∠OCB=(180°﹣∠BOC)÷2=38°,
    故答案是:38°.

    4.解:∵PA=PB=PC,
    ∴P是△ABC的外接圆圆心,
    ∴∠BPC=2∠ACB=2×64°=128°,
    ∵PC=PB,
    ∴∠PCB=∠PBC=,
    故答案为:26°.
    5.解:∵AD平分∠BAC,
    ∴∠CAD=∠BAD,
    设∠CAD=∠BAD=x,
    ∵EF垂直平分AD,
    ∴FA=FD,
    ∴∠FDA=∠FAD,
    ∵∠FAC=68°,
    ∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=68°+x,
    ∵∠FDA=∠B+∠BAD=∠B+x,
    ∴68°+x=∠B+x,
    ∴∠B=68°,
    故答案为:68°.
    6.解:如图:过D作DE⊥OM于E,DF⊥ON于F,
    则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°,
    ∵∠MON=115°,
    ∴∠EDF=360°﹣90°﹣90°﹣115°=65°,
    ∵DE⊥OM,DF⊥ON,OD平分∠MON,
    ∴DE=DF,
    ∵P为BC中点,DP⊥BC,
    ∴BD=CD,
    在Rt△DEB和Rt△DFC中,,
    ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
    ∴∠EDB=∠CDF,
    ∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=65°.
    故答案为:65.

    7.解:连接OC,作OF⊥BC于点F,
    由题意得,DE=OD+OE=6,
    在Rt△CDE中,∠DCE=30°,
    ∴CE=2DE=12,∠OEF=60°,
    ∵AD=DC,ED⊥AC,
    ∴OA=OC,
    ∵OA=OB,
    ∴OB=OC,
    ∵OF⊥BC,
    ∴CF=FB,
    在Rt△OFE中,∠OEF=60°,
    ∴∠EOF=30°,
    ∴EF=OE=2,
    ∴CF=CE﹣EF=10,
    ∴BC=20,
    ∴BE=20﹣12=8,
    故答案为:8.

    8.解:由AB=AC,∠BAC=120°,
    可得∠B=30°,
    因为点D是AB的垂直平分线上的点,
    所以AD=BD,
    因而∠BAD=∠B=30°,
    从而∠ADC=60度.
    9.解:连接DA、DC,
    ∵∠BAC=80°,
    ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°,
    ∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC,
    ∴DA=DB,DA=DC,
    ∴DB=DC,∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA,
    ∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=80°,
    ∴∠DBC=∠DBC=×(100°﹣80°)=10°,
    故答案为:10.

    10.解:连接CE,如图所示:
    ∵线段AB,DE的垂直平分线交于点C,
    ∴CA=CB,CD=CE,
    ∴∠BAC=∠ABC=72°,∠DEC=∠EDC=72°,
    ∴∠ACB=∠DCE,
    ∴∠ACE=∠BCD,
    在△BCD和△ACE中,

    ∴△BCD≌△ACE(SAS),
    ∴∠CBD=∠CAE=72°+∠BAE,
    ∵∠AEB=92°,
    ∴∠ABE=180°﹣∠AEB﹣∠BAE=180°﹣92°﹣∠BAE=88°﹣∠BAE,
    ∴∠EBD=360°﹣∠CBD﹣∠ABC﹣∠ABE=360°﹣(72°+∠BAE)﹣72°﹣(88°﹣∠BAE)=128°,
    故答案为:128°.

    11.解:∵∠ABC=80°,
    ∴∠BMN+∠BNM=100°,
    ∵M、N分别在PA、PC的中垂线上,
    ∴MA=MP,NP=NC,
    ∴∠MPA=∠MAP=∠BMN,∠NPC=∠NCP=∠BNM,
    ∴∠MPA+∠NPC=×100°=50°,
    ∴∠APC=180°﹣50°=130°,
    故答案为:130°.

    12.解:∵三边垂直平分线的交点在原点,
    ∴点O为所有等边三角形的外心和内心,
    ∴OA2021平分∠C2021A2021B2021,
    ∴∠OA2021B2021=30°,
    ∵A1B1,A2B2,A3B3…的长依次为,2,3,…,
    ∴A2021B2021的长为2021,
    ∴OC2021垂直平分A2021B2021,
    ∴点A2021到y轴的距离为,
    ∴点A2021到x轴的距离为×=,
    ∴点A2021的坐标为(﹣,﹣).
    故答案为:(﹣,﹣).
    13.解:连接AB,码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处.
    如图:点P就是码头应建的位置.

    14.解:①以A为圆心,以任意长为半径画圆,分别交铁路a和公路b于点B、C;
    ②分别以B、C为圆心,以大于BC为半径画圆,两圆相交于点D,连接AD,则直线AD即为∠BAC的平分线
    ③连接MN,分别以M、N为圆心,以大于MN为半径画圆,两圆相交于E、F,连接EF,则直线EF即为线段MN的垂直平分线;
    ④直线EF与直线AD相交于点O,则点O即为所求点.
    同法点O′也满足条件.
    故答案为O或O′处.
    15.解:(1)线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,直线l1与l2的交点为P,如图所示,

    (2)当x>0时,如图2中,连接AP,作PE⊥y轴于E

    ∵l1垂直平分AB,
    ∴PA=PB=y,
    在Rt△APE中,∵EP=BO=x,AE=OE﹣OA=y﹣1,PA=y,
    ∴y2=x2+(y﹣1)2,
    ∴y=x2+,
    当x<0时,点P(x,y)同样满足y=x2+,
    ∴曲线l就是二次函数y=x2+.
    (3)∵d1=x2+,d2=|x|,
    ∴d1+d2=x2++|x|,
    ∵d1+d2=5,则x2++|x|=5,
    当x⩾0时,原方程化为x2++x﹣5=0,解得x=﹣1或(﹣﹣1舍弃),
    当x<0时,原方程化为x2+﹣x﹣5=0,解得x=1﹣或(1+舍弃),
    ∴点P坐标(﹣1,6﹣)或(1﹣,6﹣).
    16.解:(1)设AE=acm,则BE=(25﹣a)cm,
    ∵点E在线段CD的垂直平分线上,
    ∴DE=CE,
    由勾股定理得:AD2+AE2=DE2,BC2+BE2=CE2,
    ∴AD2+AE2=BC2+BE2,
    即152+a2=102+(25﹣a)2,
    解得:a=10,
    即AE=10(cm),
    ∴x==5,
    即当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上;
    (2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE,
    理由是:∵△ADE≌△BEC,
    ∴∠ADE=∠CEB,
    ∵∠A=90°,
    ∴∠ADE+∠AED=90°,
    ∴∠AED+∠CEB=90°,
    ∴∠DEC=180°﹣(∠AED+∠CEB)=90°,
    ∴DE⊥CE.
    17.解:(1)△DBC是等腰直角三角形,
    理由:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,
    ∴∠BCD=45°,
    ∴BD=CD,
    ∴△DBC是等腰直角三角形;
    (2)∵BE⊥AC,
    ∴∠BDC=∠BEC=90°,
    ∵∠BFD=∠CFE,
    ∴∠DBF=∠ACD,
    在△BDF与△CDA中,

    ∴△BDF≌△CDA,
    ∴BF=AC;
    (3)∵BE是AC的垂直平分线,
    ∴CE=AC,
    ∴CE=BF.
    18.解:(1)已知:如图,QA=QB.
    求证:点Q在线段AB的垂直平分线上.
    证明:过点Q作QM⊥AB,垂足为点M.则∠QMA=∠QMB=90°,

    在Rt△QMA和Rt△QMB中,
    ∵QA=QB,QM=QM,
    ∴Rt△QMA≌Rt△QMB(HL),
    ∴AM=BM,
    ∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
    即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
    (2)证明:∵∠C=90°,∠A=30°,
    ∴∠ABC=90°﹣30°=60°,
    ∵BE平分∠ABC,
    ∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°,
    ∴∠A=∠ABE,
    ∴EA=EB,
    ∴点E在线段AB的垂直平分线上.

    19.解:(1)∵直线OM是AB的垂直平分线,
    ∴MA=MB,
    同理,NA=NC,
    ∵△AMN的周长为6,
    ∴MA+MN+NA=6,即MB+MN+NC=BC=6;
    (2)∵∠MON=30°,
    ∴∠OMN+∠ONM=150°,
    ∴∠BME+∠CNF=150°,
    ∵MA=MB,ME⊥AB,
    ∴∠BMA=2∠BME,
    同理,∠ANC=2∠CNF,
    ∴∠BMA+∠ANC=300°,
    ∴∠AMN+∠ANM=360°﹣300°=60°,
    ∴∠MAN=180°﹣60°=120°;
    (3)由(2)的作法可知,∠MAN=90°,
    由(1)可知,MA=MB=3,NA=NC
    设MN=x,
    ∴NA=NC=12﹣3﹣x=9﹣x,
    由勾股定理得,MN2=AM2+AN2,即x2=32+(9﹣x)2,
    解得,x=5,即MN=5.

    20.解:(1)∠BPC=90°+∠BAC
    ∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
    ∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
    ∴∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)
    =180°﹣(∠ABC+∠ACB)
    =180°﹣(∠ABC+∠ACB)
    =180°﹣(180°﹣∠BAC)
    =90°+∠BAC;
    (2)∠BOC=2∠BAC
    如图,连接AO.

    ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,
    ∴OA=OB=OC,
    ∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB,
    ∴∠AOB=180°﹣2∠OAB,∠AOC=180°﹣2∠OAC,
    ∴∠BOC=360°﹣(∠AOB+∠AOC)
    =360°﹣(180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC),
    =2∠OAB+2∠OAC
    =2∠BAC;
    (3)4∠BPC﹣∠BOC=360°,
    ∵点P为三角形三个内角平分线的交点,
    ∴∠BPC=90°+∠BAC
    由∠BAC=2∠BPC﹣180°
    点O为三角形三边垂直平分线的交点
    ∠BOC=2∠BAC,
    ∴∠BOC=2(2∠BPC﹣180°)=4∠BPC﹣360°,
    即4∠BPC﹣∠BOC=360°.

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