湘教版八年级上册2.4 线段的垂直平分线优秀课时作业
展开2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》优生辅导训练(附答案)
1.设A(0,﹣2),B(4,2)是平面直角坐标系中的两点,P是线段AB垂直平分线上的点,如果点P与点C(1,5)的距离等于2,则点P的坐标为 .
2.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AD的垂直平分线交AB于点F,则△DEF的面积为 .
3.如图,∠A=52°,O是AB、AC的垂直平分线的交点,那么∠OCB= .
4.△ABC中,∠CAB=64°,平面上点P满足PA=PB=PC,则∠PCB= .
5.如图,AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,若∠FAC=68°,则∠B的度数为 .
6.如图,点A为∠MON的平分线上一点,过A任意作一条直线分别与∠MON的两边相交于B、C,P为BC中点,过P作BC的垂线交射线OA于点D,若∠MON=115°,则∠BDC的度数为 度.
7.如图,在△ABC中,∠C=30°,点D是AC的中点,DE⊥AC交BC于E,点O在DE上,OA=OB,OD=2,OE=4,则BE的长为 .
8.如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC= 度.
9.如图,在锐角△ABC中、∠A=80°,DE和DF分别垂直平分边AB、AC,则∠DBC的度数为 °.
10.如图,线段AB,DE的垂直平分线交于点C,且∠ABC=∠EDC=72°,∠AEB=92°,则∠EBD的度数为 .
11.如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N,且M、N分别在PA、PC的中垂线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为 .
12.如图,在平面直角坐标系中,等边三角形A1B1C1,等边三角形A2B2C2,等边三角形A3B3C3,…中A1B1,A2B2,A3B3,…平行于x轴,点C1C2C3,…在y轴正半轴上,三边垂直平分线的交点在原点,A1B1,A2B2,A3B3,…的长依次为,2,3,…,以此类推,则等边三角形A2021B2021C2021的顶点A2021的坐标为 .
13.如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置?
14.a,b分别代表铁路和公路,点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场.现要建中转站O点,使O点到铁路、公路距离相等,且到两市场距离相等.请用尺规画出O点位置,不写作法,保留痕迹.
15.如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,做线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来发现:这些点P竟然在一条曲线L上.设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式;
(3)设点P到x轴,y轴的距离分别是d1,d2,当d1+d2=5时,求点P的坐标.
16.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=25cm,DA=15cm,CB=10cm.动点
E从A点出发,以2cm/s的速度向B点移动,设移动的时间为x秒.
(1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?
(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.
17.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,AC的垂直平分线BE与CD交于点F,与AC交于点E.
(1)判断△DBC的形状并证明你的结论.
(2)求证:BF=AC.
(3)试说明CE=BF.
18.(1)求证:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(要求:画出图形,写出已知,求证和证明过程)
(2)用(1)中的结论解决:如图,△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,BE平分∠ABC,求证:点E在线段AB的垂直平分线上.
19.如图,在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线相交于点O,分别交BC边于点M、N,连接AM,AN.
(1)若△AMN的周长为6,求BC的长;
(2)若∠MON=30°,求∠MAN的度数;
(3)若∠MON=45°,BM=3,BC=12,求MN的长度.
20.已知:△ABC是三边都不相等的三角形,点O和点P是这个三角形内部两点.
(1)如图①,如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点,那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系?请说明理由;
(2)如图②,如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系?请说明理由;
(3)如图③,如果点P(三角形三个内角平分线的交点),点O(三角形三边垂直平分线的交点)同时在不等边△ABC的内部,那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系?请直接回答.
参考答案
1.解∵A(0,﹣2),B(4,2),
∴直线AB的解析式为y=x﹣2,
∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=﹣x+2,
∵点P在直线y=﹣x+2上,
∴可以假设P(m,﹣m+2),
∵PC=2,C(1,5),
∴(m﹣1)2+(﹣m﹣3)2=8,
解得m=﹣1,
∴P(﹣1,3),
故答案为(﹣1,3).
2.解:∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠CAD=∠EAD,DE=CD,AE=AC=2,
∵AD的垂直平分线交AB于点F,
∴AF=DF,
∴∠ADF=∠EAD,
∴∠ADF=∠CAD,
∴AC∥DE,
∴∠BDE=∠C=90°,
∴△BDF、△BED是等腰直角三角形,
设DE=x,则EF=BE=x,BD=DF=2﹣x,
在Rt△BED中,DE2+BE2=BD2,
∴x2+x2=(2﹣x)2,
解得x1=﹣2﹣2(负值舍去),x2=﹣2+2,
∴△DEF的面积为(﹣2+2)×(﹣2+2)÷2=6﹣4.
故答案为:6﹣4.
3.解:∵O是AB、AC的垂直平分线的交点,
∴点O是△ABC的外心.
如图,连接OB.
则∠BOC=2∠A=104°.
又∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=(180°﹣∠BOC)÷2=38°,
故答案是:38°.
4.解:∵PA=PB=PC,
∴P是△ABC的外接圆圆心,
∴∠BPC=2∠ACB=2×64°=128°,
∵PC=PB,
∴∠PCB=∠PBC=,
故答案为:26°.
5.解:∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
设∠CAD=∠BAD=x,
∵EF垂直平分AD,
∴FA=FD,
∴∠FDA=∠FAD,
∵∠FAC=68°,
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=68°+x,
∵∠FDA=∠B+∠BAD=∠B+x,
∴68°+x=∠B+x,
∴∠B=68°,
故答案为:68°.
6.解:如图:过D作DE⊥OM于E,DF⊥ON于F,
则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°,
∵∠MON=115°,
∴∠EDF=360°﹣90°﹣90°﹣115°=65°,
∵DE⊥OM,DF⊥ON,OD平分∠MON,
∴DE=DF,
∵P为BC中点,DP⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△DEB和Rt△DFC中,,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴∠EDB=∠CDF,
∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=65°.
故答案为:65.
7.解:连接OC,作OF⊥BC于点F,
由题意得,DE=OD+OE=6,
在Rt△CDE中,∠DCE=30°,
∴CE=2DE=12,∠OEF=60°,
∵AD=DC,ED⊥AC,
∴OA=OC,
∵OA=OB,
∴OB=OC,
∵OF⊥BC,
∴CF=FB,
在Rt△OFE中,∠OEF=60°,
∴∠EOF=30°,
∴EF=OE=2,
∴CF=CE﹣EF=10,
∴BC=20,
∴BE=20﹣12=8,
故答案为:8.
8.解:由AB=AC,∠BAC=120°,
可得∠B=30°,
因为点D是AB的垂直平分线上的点,
所以AD=BD,
因而∠BAD=∠B=30°,
从而∠ADC=60度.
9.解:连接DA、DC,
∵∠BAC=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°,
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC,
∴DA=DB,DA=DC,
∴DB=DC,∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA,
∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=80°,
∴∠DBC=∠DBC=×(100°﹣80°)=10°,
故答案为:10.
10.解:连接CE,如图所示:
∵线段AB,DE的垂直平分线交于点C,
∴CA=CB,CD=CE,
∴∠BAC=∠ABC=72°,∠DEC=∠EDC=72°,
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,
在△BCD和△ACE中,
,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴∠CBD=∠CAE=72°+∠BAE,
∵∠AEB=92°,
∴∠ABE=180°﹣∠AEB﹣∠BAE=180°﹣92°﹣∠BAE=88°﹣∠BAE,
∴∠EBD=360°﹣∠CBD﹣∠ABC﹣∠ABE=360°﹣(72°+∠BAE)﹣72°﹣(88°﹣∠BAE)=128°,
故答案为:128°.
11.解:∵∠ABC=80°,
∴∠BMN+∠BNM=100°,
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上,
∴MA=MP,NP=NC,
∴∠MPA=∠MAP=∠BMN,∠NPC=∠NCP=∠BNM,
∴∠MPA+∠NPC=×100°=50°,
∴∠APC=180°﹣50°=130°,
故答案为:130°.
12.解:∵三边垂直平分线的交点在原点,
∴点O为所有等边三角形的外心和内心,
∴OA2021平分∠C2021A2021B2021,
∴∠OA2021B2021=30°,
∵A1B1,A2B2,A3B3…的长依次为,2,3,…,
∴A2021B2021的长为2021,
∴OC2021垂直平分A2021B2021,
∴点A2021到y轴的距离为,
∴点A2021到x轴的距离为×=,
∴点A2021的坐标为(﹣,﹣).
故答案为:(﹣,﹣).
13.解:连接AB,码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近A、B一侧的河岸的交汇点处.
如图:点P就是码头应建的位置.
14.解:①以A为圆心,以任意长为半径画圆,分别交铁路a和公路b于点B、C;
②分别以B、C为圆心,以大于BC为半径画圆,两圆相交于点D,连接AD,则直线AD即为∠BAC的平分线
③连接MN,分别以M、N为圆心,以大于MN为半径画圆,两圆相交于E、F,连接EF,则直线EF即为线段MN的垂直平分线;
④直线EF与直线AD相交于点O,则点O即为所求点.
同法点O′也满足条件.
故答案为O或O′处.
15.解:(1)线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,直线l1与l2的交点为P,如图所示,
(2)当x>0时,如图2中,连接AP,作PE⊥y轴于E
∵l1垂直平分AB,
∴PA=PB=y,
在Rt△APE中,∵EP=BO=x,AE=OE﹣OA=y﹣1,PA=y,
∴y2=x2+(y﹣1)2,
∴y=x2+,
当x<0时,点P(x,y)同样满足y=x2+,
∴曲线l就是二次函数y=x2+.
(3)∵d1=x2+,d2=|x|,
∴d1+d2=x2++|x|,
∵d1+d2=5,则x2++|x|=5,
当x⩾0时,原方程化为x2++x﹣5=0,解得x=﹣1或(﹣﹣1舍弃),
当x<0时,原方程化为x2+﹣x﹣5=0,解得x=1﹣或(1+舍弃),
∴点P坐标(﹣1,6﹣)或(1﹣,6﹣).
16.解:(1)设AE=acm,则BE=(25﹣a)cm,
∵点E在线段CD的垂直平分线上,
∴DE=CE,
由勾股定理得:AD2+AE2=DE2,BC2+BE2=CE2,
∴AD2+AE2=BC2+BE2,
即152+a2=102+(25﹣a)2,
解得:a=10,
即AE=10(cm),
∴x==5,
即当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上;
(2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE,
理由是:∵△ADE≌△BEC,
∴∠ADE=∠CEB,
∵∠A=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
∴∠AED+∠CEB=90°,
∴∠DEC=180°﹣(∠AED+∠CEB)=90°,
∴DE⊥CE.
17.解:(1)△DBC是等腰直角三角形,
理由:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,
∴∠BCD=45°,
∴BD=CD,
∴△DBC是等腰直角三角形;
(2)∵BE⊥AC,
∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵∠BFD=∠CFE,
∴∠DBF=∠ACD,
在△BDF与△CDA中,
,
∴△BDF≌△CDA,
∴BF=AC;
(3)∵BE是AC的垂直平分线,
∴CE=AC,
∴CE=BF.
18.解:(1)已知:如图,QA=QB.
求证:点Q在线段AB的垂直平分线上.
证明:过点Q作QM⊥AB,垂足为点M.则∠QMA=∠QMB=90°,
在Rt△QMA和Rt△QMB中,
∵QA=QB,QM=QM,
∴Rt△QMA≌Rt△QMB(HL),
∴AM=BM,
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
(2)证明:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=90°﹣30°=60°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°,
∴∠A=∠ABE,
∴EA=EB,
∴点E在线段AB的垂直平分线上.
19.解:(1)∵直线OM是AB的垂直平分线,
∴MA=MB,
同理,NA=NC,
∵△AMN的周长为6,
∴MA+MN+NA=6,即MB+MN+NC=BC=6;
(2)∵∠MON=30°,
∴∠OMN+∠ONM=150°,
∴∠BME+∠CNF=150°,
∵MA=MB,ME⊥AB,
∴∠BMA=2∠BME,
同理,∠ANC=2∠CNF,
∴∠BMA+∠ANC=300°,
∴∠AMN+∠ANM=360°﹣300°=60°,
∴∠MAN=180°﹣60°=120°;
(3)由(2)的作法可知,∠MAN=90°,
由(1)可知,MA=MB=3,NA=NC
设MN=x,
∴NA=NC=12﹣3﹣x=9﹣x,
由勾股定理得,MN2=AM2+AN2,即x2=32+(9﹣x)2,
解得,x=5,即MN=5.
20.解:(1)∠BPC=90°+∠BAC
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)
=180°﹣(∠ABC+∠ACB)
=180°﹣(∠ABC+∠ACB)
=180°﹣(180°﹣∠BAC)
=90°+∠BAC;
(2)∠BOC=2∠BAC
如图,连接AO.
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点,
∴OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB,
∴∠AOB=180°﹣2∠OAB,∠AOC=180°﹣2∠OAC,
∴∠BOC=360°﹣(∠AOB+∠AOC)
=360°﹣(180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC),
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC;
(3)4∠BPC﹣∠BOC=360°,
∵点P为三角形三个内角平分线的交点,
∴∠BPC=90°+∠BAC
由∠BAC=2∠BPC﹣180°
点O为三角形三边垂直平分线的交点
∠BOC=2∠BAC,
∴∠BOC=2(2∠BPC﹣180°)=4∠BPC﹣360°,
即4∠BPC﹣∠BOC=360°.
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