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初中数学湘教版八年级上册第2章 三角形2.4 线段的垂直平分线精品一课一练
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这是一份初中数学湘教版八年级上册第2章 三角形2.4 线段的垂直平分线精品一课一练，共19页。
2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共11小题，满分55分）
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G．若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则△ABC的面积可能是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB、AC边上的中垂线DE、DF交于点D，垂足分别为点E、F，DE、DF分别交BC于点M、N，连接BD，CD．下列结论：①∠EDF＝60°；②DB＝DC；③MN＝DN；④∠ABC＝∠FDC．其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
4．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
5．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AC上一点，PA＝2，点D在AB上，且∠A＝∠PDA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．4.75 B．5.25 C．6.5 D．7.75
7．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
8．如图，在△ABC中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（ ）
A．16.5 B．17 C．18 D．20
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
二．填空题（共6小题，满分30分）
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，以下说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝∠B+∠C；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．其中正确的是 （填序号）．
13．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝ ；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝ ；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为 ．
14．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．
（1）若BE＝10cm，则EC＝ cm；
（2）若AB+AC＝8cm，则△ACE的周长是 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝52°，点O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝ ．
16．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为 ．
17．如图所示，DE、FG分别是△ABC两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是 ．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
19．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数 °．
20．已知，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交直线BC于点E．MN垂直平分AC，垂足为点M，交直线BC于点N，连接AE，AN．
（1）如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的大小；
（2）如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的大小；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），用含α的式子表示∠EAN的大小（直接写出结果即可）．
21．已知：在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）如图1，∠B＝∠C＝30°，求∠EAF的度数．
（2）如图2，AB≠AC，且90°＜∠BAC＜180°．
①若∠BAC＝140°，则∠EAF＝ °；若∠BAC＝n°，则∠EAF＝ ．
②当∠BAC＝ °时．AE⊥AF．
③若BC＝a，则△AEF的周长为 ．
参考答案
一．选择题（共11小题，满分55分）
1．解：∵∠BAC＝100°，
∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，
∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
2．解：连接AE、AG，
∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，
∴△AEG的面积为8，
∵AE+AG＞EG，
∴BE+CG＞EG，
∴S△AEB+S△ACG＞S△AEG，
∴S△ABC＞2S△AEG＝16，
故选：D．
3．解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360°﹣∠AED﹣∠AFD﹣∠BAC＝60°，
∴①的结论正确；
②连接AD，如图，
∵DE、DF分别是△ABC的边AB、AC边上的中垂线，
∴AD＝DB，AD＝DC，
∴DB＝DC，
∴②的结论正确；
③∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DMN＝∠BME＝90°﹣∠ABC，∠DNM＝∠CNF＝90°﹣∠ACB，
当AB≠AC时，∠ABC≠∠ACB，
∴∠DMN≠∠DNM，
∴DM≠DN，
∵∠MDN＝60°，
∴△DMN不是等边三角形，
∴∠DMN≠∠DNM≠60°，
∴MN≠DN，
∴③的结论不正确；
④连结EF，
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC
∴∠AEF＝∠ABC
又∵∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝∠AEF，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵∠FDC＝∠ADF，
∴∠ABC＝∠FDC，
∴④的结论正确，
故选：D．
4．解：连接OA，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故选：C．
5．解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
6．解：过P点作PG⊥AD交与G点，
∵∠A＝∠PDA，
∴G是AD的中点，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵AP＝2，
∴AG＝，
∴AD＝，
∴BD＝10﹣＝，
∵BD的垂直平分线交BC，
∴DF＝BF，
∴DF＝，
∴DE＝，
故选：A．
方法2：
解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵AP＝2，
∴PC＝4，设CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵∠A＝∠PDA，
∴AP＝PD＝2，
∵BD的垂直平分线交BC，
∴DE＝BE＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDF＝90°，
∴∠PDE＝90°，
在Rt△PEC中，PE2＝PC2+CE2，
∴PE2＝16+x2，
在Rt△PED中，PE2＝PD2+DE2，
∴PE2＝4+（8﹣x）2，
∴16+x2＝4+（8﹣x）2，
∴x＝，
∴DE＝8﹣＝，
故选：A．
7．解：连接BP，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴AP+PC＝BP+PC，
当点P在BC与l的交点处时，AP+PC＝CB，
当点P不在BC与l的交点处时，AP+PC＝BP+PC＞BC，
∴BC≤AP+PC，
故选：D．
8．解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴BD＝DC，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝45°+20°＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
故选：C．
9．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
10．解：在Rt△ABC中，AD＝DB，
∴AB＝2CD＝13，
由勾股定理得，AC＝12，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+AE＝BC+AC＝17，
故选：B．
11．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
12．解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∵∠P+∠PMA+∠PNA+∠BAC＝360°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，故①说法正确；
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAC+∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝120°﹣60°＝60°，
∴∠EAF＝∠B+∠C，故②说法正确；
∵△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，
故答案为：①②④．
13．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
当∠BAC＝90°时，BC＝＝，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴＜BC＜9+8，
∴＜m＜17．
故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）＜m＜17．
14．解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，BE＝10cm，
∴EC＝BE＝10cm．
故答案为：10；
（2）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝EC，
∴AE+EC＝BE+AE＝AB．
∵AB+AC＝8cm，
∴△ACE的周长＝AB+AC＝8cm．
故答案为：10，8cm；
15．解：连接OA、OB，
∵∠BAC＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
∵点O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝52°，
∴∠OBC+∠OCB＝128°﹣52°＝76°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝38°，
故答案为：38°．
16．解：∵BD垂直平分线段AG，
∴BA＝BG＝BF+FG＝1+3＝4，
∵CE垂直平分线段AF，
∴CA＝CF＝CG+FG＝2+3＝5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+5+6＝15，
故答案为：15．
17．解：∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，
∴AE＝BE，CG＝AG，
∵BC＝12，GE＝2，
∴AE+AG＝BE+CG＝12+2＝14，
∴△AGE的周长是AG+AE+EG＝14+2＝16，
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
19．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
20．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．
21．解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴∠B＝∠BAE＝30°，∠C＝∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°；
（2）①∵∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴∠BAE+∠CAF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
同理，∵∠BAC＝n°，
∴∠B+∠C＝180°﹣n°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴∠BAE+∠CAF＝180°﹣n°，
∴∠EAF＝n°﹣180°+n°＝（2n﹣180）°．
故答案为：100，（2n﹣180）°；
②设∠BAC＝x°，
由①得，∠EAF＝（2x﹣180）°，
∵AE⊥AF，
∴2x﹣180＝90
x＝135．
故答案为：135；
③∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝BE+CF+EF＝BC＝a．
故答案为：a．
2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共11小题，满分55分）
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G．若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则△ABC的面积可能是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB、AC边上的中垂线DE、DF交于点D，垂足分别为点E、F，DE、DF分别交BC于点M、N，连接BD，CD．下列结论：①∠EDF＝60°；②DB＝DC；③MN＝DN；④∠ABC＝∠FDC．其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
4．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
5．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AC上一点，PA＝2，点D在AB上，且∠A＝∠PDA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．4.75 B．5.25 C．6.5 D．7.75
7．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．≤
8．如图，在△ABC中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（ ）
A．16.5 B．17 C．18 D．20
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
二．填空题（共6小题，满分30分）
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM、PN，垂足分别是点M、N，以下说法：①∠P＝60°；②∠EAF＝∠B+∠C；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．其中正确的是 （填序号）．
13．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝ ；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝ ；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为 ．
14．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．
（1）若BE＝10cm，则EC＝ cm；
（2）若AB+AC＝8cm，则△ACE的周长是 ．
15．如图，在△ABC中，∠A＝52°，点O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝ ．
16．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为 ．
17．如图所示，DE、FG分别是△ABC两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是 ．
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
19．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数 °．
20．已知，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交直线BC于点E．MN垂直平分AC，垂足为点M，交直线BC于点N，连接AE，AN．
（1）如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的大小；
（2）如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的大小；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），用含α的式子表示∠EAN的大小（直接写出结果即可）．
21．已知：在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．
（1）如图1，∠B＝∠C＝30°，求∠EAF的度数．
（2）如图2，AB≠AC，且90°＜∠BAC＜180°．
①若∠BAC＝140°，则∠EAF＝ °；若∠BAC＝n°，则∠EAF＝ ．
②当∠BAC＝ °时．AE⊥AF．
③若BC＝a，则△AEF的周长为 ．
参考答案
一．选择题（共11小题，满分55分）
1．解：∵∠BAC＝100°，
∴∠C+∠B＝180°﹣100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
同理∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，
∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
2．解：连接AE、AG，
∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，
∴△AEG的面积为8，
∵AE+AG＞EG，
∴BE+CG＞EG，
∴S△AEB+S△ACG＞S△AEG，
∴S△ABC＞2S△AEG＝16，
故选：D．
3．解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EDF＝360°﹣∠AED﹣∠AFD﹣∠BAC＝60°，
∴①的结论正确；
②连接AD，如图，
∵DE、DF分别是△ABC的边AB、AC边上的中垂线，
∴AD＝DB，AD＝DC，
∴DB＝DC，
∴②的结论正确；
③∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DMN＝∠BME＝90°﹣∠ABC，∠DNM＝∠CNF＝90°﹣∠ACB，
当AB≠AC时，∠ABC≠∠ACB，
∴∠DMN≠∠DNM，
∴DM≠DN，
∵∠MDN＝60°，
∴△DMN不是等边三角形，
∴∠DMN≠∠DNM≠60°，
∴MN≠DN，
∴③的结论不正确；
④连结EF，
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC
∴∠AEF＝∠ABC
又∵∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝∠AEF，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵∠FDC＝∠ADF，
∴∠ABC＝∠FDC，
∴④的结论正确，
故选：D．
4．解：连接OA，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，
即∠BAC＝50°，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°，
故选：C．
5．解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
6．解：过P点作PG⊥AD交与G点，
∵∠A＝∠PDA，
∴G是AD的中点，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵AP＝2，
∴AG＝，
∴AD＝，
∴BD＝10﹣＝，
∵BD的垂直平分线交BC，
∴DF＝BF，
∴DF＝，
∴DE＝，
故选：A．
方法2：
解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵AP＝2，
∴PC＝4，设CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵∠A＝∠PDA，
∴AP＝PD＝2，
∵BD的垂直平分线交BC，
∴DE＝BE＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDF＝90°，
∴∠PDE＝90°，
在Rt△PEC中，PE2＝PC2+CE2，
∴PE2＝16+x2，
在Rt△PED中，PE2＝PD2+DE2，
∴PE2＝4+（8﹣x）2，
∴16+x2＝4+（8﹣x）2，
∴x＝，
∴DE＝8﹣＝，
故选：A．
7．解：连接BP，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴AP+PC＝BP+PC，
当点P在BC与l的交点处时，AP+PC＝CB，
当点P不在BC与l的交点处时，AP+PC＝BP+PC＞BC，
∴BC≤AP+PC，
故选：D．
8．解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，
∴BD＝DC，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝45°+20°＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
故选：C．
9．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
10．解：在Rt△ABC中，AD＝DB，
∴AB＝2CD＝13，
由勾股定理得，AC＝12，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+AE＝BC+AC＝17，
故选：B．
11．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
12．解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∵∠P+∠PMA+∠PNA+∠BAC＝360°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，故①说法正确；
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴EC＝EA，FB＝FA，
∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，
∴∠EAC+∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝120°﹣60°＝60°，
∴∠EAF＝∠B+∠C，故②说法正确；
∵△ABC不一定是等腰三角形，
∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；
连接PC、PA、PB，
∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，
∴PC＝PA，PB＝PA，
∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，
故答案为：①②④．
13．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
当∠BAC＝90°时，BC＝＝，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴＜BC＜9+8，
∴＜m＜17．
故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）＜m＜17．
14．解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，BE＝10cm，
∴EC＝BE＝10cm．
故答案为：10；
（2）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝EC，
∴AE+EC＝BE+AE＝AB．
∵AB+AC＝8cm，
∴△ACE的周长＝AB+AC＝8cm．
故答案为：10，8cm；
15．解：连接OA、OB，
∵∠BAC＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣52°＝128°，
∵点O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝52°，
∴∠OBC+∠OCB＝128°﹣52°＝76°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝38°，
故答案为：38°．
16．解：∵BD垂直平分线段AG，
∴BA＝BG＝BF+FG＝1+3＝4，
∵CE垂直平分线段AF，
∴CA＝CF＝CG+FG＝2+3＝5，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+5+6＝15，
故答案为：15．
17．解：∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，
∴AE＝BE，CG＝AG，
∵BC＝12，GE＝2，
∴AE+AG＝BE+CG＝12+2＝14，
∴△AGE的周长是AG+AE+EG＝14+2＝16，
三．解答题（共4小题，满分35分）
18．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
19．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
20．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α﹣180°．
21．解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴∠B＝∠BAE＝30°，∠C＝∠CAF＝30°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°；
（2）①∵∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴∠BAE+∠CAF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
同理，∵∠BAC＝n°，
∴∠B+∠C＝180°﹣n°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴∠BAE+∠CAF＝180°﹣n°，
∴∠EAF＝n°﹣180°+n°＝（2n﹣180）°．
故答案为：100，（2n﹣180）°；
②设∠BAC＝x°，
由①得，∠EAF＝（2x﹣180）°，
∵AE⊥AF，
∴2x﹣180＝90
x＝135．
故答案为：135；
③∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝BE+CF+EF＝BC＝a．
故答案为：a．
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