2020-2021学年1. 矩形的性质精品巩固练习

19.1.1矩形的性质同步练习华师大版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若的面积为2，则矩形ABCD的面积为

A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

2. 如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，点和点在AB边上，，连接DF，轴，则k的值为

A.  B. 3 C. 4 D.

3. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式。后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若，，则该矩形的面积为

A. 20 B. 24 C.  D.

4. 如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为   

A.  B.  C.  D. 或

6. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：是等边三角形；；；，其中正确结论有       

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

7. 如图，将一个矩形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D两点分别落在点，处若，则的度数为   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若的周长为18，的周长为6，四边形纸片ABCD的周长为

A. 20
B. 24
C. 32
D. 48

9. 如图，矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，，垂足为点E，若AO：：2，，则CE长为

A. 1 B. 2 C.  D.

10. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在矩形ABCD中，，，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为

A. 8
B. 9
C. 10
D.

12. 如图，在矩形ABCD中，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则折痕AM的长为

A. 3
B.
C.
D. 6

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，把长方形ABCD沿EF对折后使其两部分重合，若，则______．
    
     

14. 如图，在矩形ABCD中，，，E为BC上一点，把沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为______．
     

15. 如图，边长为1的正方形拼成的矩形如图摆放在直角坐标系里，A，B，C，D是格点．反比例函数的图象经过格点A并交CB于点若四边形AECD的面积为，则k的值为______．

16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形如图，已知ABC是网格图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与ABC面积相等的格点矩形的周长所有可能值是________________．
17. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CEBD，垂足为点E，CE，且EODE，则_________．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，，，动点P、Q分别以、的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
    若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
    若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
    若点P沿着移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，，直线GH绕点O逆时针旋转角，与边AB、CD分别相交于点E、点E不与点A、B重合．
    求证：四边形EHFG是平行四边形；
    若，，，求AE的长．

20. 问题提出
    如图，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使，并画出这个．
    问题探究
    如图，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
    问题解决
    如图，有一个矩形花园ABCD，，根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？结果保留整数．参考数据：，

21. 如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC的点F处，若，，求EC的长．
    
    
     

22. 如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知，．
    
    求BE的长；
    求EF的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在图1，图2中，点E是矩形ABCD边AD的中点，请用无刻度的直尺按下列要求画图保留画图痕迹，不写画法．
    在图1中，以AE为一边在矩形外部画，使的面积等于矩形ABCD的面积的．
    在图2中，以AE为对角线画一个平行四边形．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
，且，
，
矩形ABCD的面积为，
故选：C．
根据矩形的性质得到，推出，即可求出矩形ABCD的面积．
此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：如图，过点D作轴于点H，设AD交x轴于点G，

轴，
得矩形OFDH，
，，
和点，
，，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，
．
则k的值为4．
故选：C．
过点D作轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点和点在AB边上，，可以求出EG和DH的长，进而可得OH的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数图象和性质．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：设小正方形的边长为x，

，，
，
在中，，
即，
整理得，，
而长方形面积为
该矩形的面积为24，
故选：B。
欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积。
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键。
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理求出AF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
在中，，即，
解得，，
则的面积，
故选C．  

5.【答案】D
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
当时，，，
此时矩形的面积是．
当时，，，
此时矩形的面积是：．

故选D．
本题考查了矩形的性质、平行线的性质，角平分线性质，解此题的关键是证明，注意：要进行分类讨论根据矩形性质得出，，，推出，求出，得出，分为两种情况：当时，求出AB和AD；当时，求出AB和AD，根据矩形的面积公式求出即可．
 

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．
根据矩形性质求出，根据角求出即可得出三角形DOC是等边三角形，求出，即可判断，求出，，相加即可求出，根据等底等高的三角形面积相等得出．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，正确；
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，错误；
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，正确；
，
根据等底等高的三角形面积相等得出，正确；
故选C．  

7.【答案】B
 

【解析】略
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等根据折叠的性质易知矩形ABCD的周长等于和的周长的和．
【解答】
解：由折叠的性质知，，，
所以矩形的周长等于和的周长的和为，
故矩形ABCD的周长为24．
故选B．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．由矩形的性质得到，，，，求得，设，，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
：：2，，
设，，
在中，，
即，
解得：或舍去，
，，
，
故选：B．  

10.【答案】B
 

【解析】解：由折叠可得，，，
，G分别为AD，CD的中点，
设，，则，，，，
，
中，，
即，
，
即，
，
的值为，
故选：B．
由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设，，根据中，，可得即，进而得出的值．
本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
四边形ABCD是矩形，
，，，
点F是CD中点，点O是BC的中点，
，，
，
点O是的斜边BC的中点，
，
根据三角形三边关系可得：，
当点O，点E，点F共线时，EF最大值为．
故选：B．
取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即．
本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，角平分线的定义，勾股定理，属于中档题．
证出，根据四边形ABCD是矩形，得到，，，根据，，根据勾股定理即可得到AM的长．
【解答】

解：由折叠性质得：≌，
，
平分，，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
故选B．

13.【答案】
 

【解析】解：如图，
四边形EFGH是四边形EFBA折叠而成，

，
，，
，
又，
，
．
故答案为：．
根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可解答．
本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，则由折叠性质可知，，，所以，，在中利用勾股定理列式求出x的值即可求解．
【解答】
解：设，则由折叠性质可知，，，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，，
即，
解得，
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：由图象可知，，
四边形AECD的面积为，
，即，
，
设，则，
反比例函数的图象经过格点A并交CB于点E．
，
解得，
，
故答案为．
根据四边形的面积求得，设，则，根据反比例函数系数k的代数意义得出，解得即可．
本题考查了反比例函数系数k的代数意义，梯形的面积，表示点A、E的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】10或
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，三角形的面积，矩形的面积和周长，明确格点并数形结合是解题的关键．根据勾股定理可求出AB和BC的长，判定为直角三角形后可求出的面积为6，根据面积为6格点矩形从而可得其周长．
【解答】
解：依题意，，，且，
    所以面积为：
      ，
 所以 面积等于6的格点矩形有如下两种情形：

所以与面积相等的格点矩形的周长所有可能值是：10或．
故答案为：10或．  

17.【答案】
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
设，，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
故答案为．
由矩形的性质得到，，，，求得，设，，得到，根据勾股定理即可得到答案．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：过点P作于则根据题意，得
，；
在中，根据勾股定理，得
，即，
；
经过2s时P、Q两点之间的距离是；

设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
，即，
，
，；
经过或、Q两点之间的距离是10cm；

连接设经过ys后的面积为．
当时，则，
，即，
解得；
当时，
，，则
，
解得，舍去；
时，
，则
，
解得舍去．
综上所述，经过4秒或6秒的面积为 ．
 

【解析】作于E，表示出PQ的长度，利用列出方程求解即可；
设x秒后，点P和点Q的距离是在中，根据勾股定理列出关于x的方程，通过解方程即可求得x的值；
分类讨论：当点P在AB上时；当点P在BC边上；当点P在CD边上时．
本题综合考查了矩形的性质、两点间的距离、三角形的面积等知识点．解答时，要分类讨论，以防漏解．
 

19.【答案】证明：对角线AC的中点为O
，且

四边形ABCD是矩形
，，
，且，
≌
，且
四边形EHFG是平行四边形；
如图，连接CE

，
，且
是AC的垂直平分线，
，
在中，，
，

 

【解析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
由“ASA”可证≌，可得，且，可证四边形EHFG是平行四边形；
由题意可得EF垂直平分AC，可得，由勾股定理可求AE的长．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求．只要画出一个符合要求的即可；


如图，是正方形ABCD的对称中心，且，
，
点N不可能在BM上，由对称性，可知点N也不可能在MC上，
显然，点N不在AD边上，
设点N在AB边上，连接ON．
由题意，得，
解之，得．
由对称性知，当点N在CD边上时，可得．
．

如图所示，过点A作于点H，

在中，，，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
由题意可知，只有最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使最小，就需EF最短，
，，，
，，
又，
、F两点分布在AH异侧．
为锐角三角形，
作其中任一锐角的外接圆，过O作于点G，连接OA、OF，则，，
在中，，，
，
又，，
，得，
，
当圆心O在AH上，即时，，
，，
当时，点E、F在BD上，
的最小值为，
元．
按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．
 

【解析】利用辅助圆结合圆周角定理解决问题即可．
首先判断点N只能在线段AB或线段CD上，根据面积关系构建方程求出BN或CN即可解决问题．
由题意，可知，只有最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．要使最小，就需EF最短，想办法求出EF的最小值即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

21.【答案】解：，F关于AE对称，所以和全等，
，，
设，则．
，
在中，，
．
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得．
的长为3cm．
 

【解析】本题主要考查的是勾股定理的应用及折叠的性质根据折叠可得，运用勾股定理求出BF的长，继而得到FC，设，则，再运用勾股定理列方程，解方程求出x的值即可得到EC的长．
 

22.【答案】解：设，则，，
在中，，
则，
解得：．
，，
过点E作，

，，
四边形ABHE是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】首先根据，则，，进而利用勾股定理求出BE即可．
根据平行线的性质和等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求EF的长．
此题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，根据已知得出AE，BE的长是解题关键．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求．
如图所示，平行四边形PAFE 即为所求．

 

【解析】延长CE交BA的延长线于P，即为所求．
延长CE交BA的延长线于P，连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，连接AF，CE，四边形PAFE即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．