初中数学华师大版八年级上册3 角平分线优秀同步练习题

13.5.3角平分线同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，，的角平分线交于点P，，，度数为

A.
B.
C.
D.

2. 已知为直角三角形，两直角边分别为5和12，在三角形内有一点P，P到各边的距离相等，则此距离为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，垂足为点E，若，则DE的长为   

A. 3
B.
C. 2
D. 6

4. 如图，在中，，，E为BC延长线上一点，与的平分线相交于点D，则等于 
    

A.
B.
C.
D.

5. 如图，四边形ABDC中，对角线AD平分，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，中，AD为BC边上中线，DM，DN分别为，的角平分线，试比较与MN的大小关系

A.
B.
C.
D. 无法确定
 

7. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算

A.  
B.  
C.  
D.  

8. 如图，AD是的角平分线，，垂足为点F，若和的面积分别为60和35，则的面积为

A. 25
B.
C.
D.

9. 如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50 和38，则 的面积为   

A. 4
B. 6
C. 8
D. 12

10. 如图，，M是BC的中点，DM平分，且，则

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，，AD平分，于E，下列结论：；；；；：：AC，其中正确的个数为

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

12. 如图，在中，，CD为的角平分线，在AC边上取点E，使，且若，，则

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是的平分线，若，则的度数是______．
    
    
     

14. 如图，在中，，，与的平分线相交于点O，过点O作，分别交AB，AC于点D，E，则的周长____________cm．
15. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交AB于E，交AC于F，过点O作于D，下列四个结论：
    ；
    ；
    点O到各边的距离相等；
    设，，则．
    其中正确的结论是______填序号
     
16. 如图，在中，AD为的平分线，于点E，的面积是，，，则DE的长是_________．
17. 如图，在中，已知与的平分线交于点O，过点O作，分别交AB，AC于点D，若，，则的周长是________．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，求作一点P，使，并且点P到两边的距离相等不写作法，保留作图痕迹．

19. 如图中，于点D，BE平分，若，．
     
    求：的度数；
    若点F为线段BC上的任意一点，当为直角三角形时，求：的度数．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，点O是直线AB上的一点，是直角，OE平分．
    
    如图1，若，求的度数；
    如图2，若，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，OD是的平分线，．

若，求的度数；

若，求的度数．






 

22. 如图，OC，OB，OD是内三条射线，OB平分，OC平分．
     

已知，，求的度数．

设，用含的代数式表示．

若与互余，求的度数．






 

23. 如图，在四边形ABCD中，CE平分交AB于点E，连接DE．
     

若，，，求的度数．

若，，求证：．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题综合考查平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点．本题利用角平分线的性质计算，关键是找到与的差是解题关键．【解答】
解：延长DC，与AB交于点E．
是的外角，，
．
是的外角，
，
，
整理得．
设AC与BP相交于O，则，
，
即．
故选：B．  

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的面积、勾股定理以及角平分线，解题的关键是构造辅助线，且直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算；二是等于三个小三角形的面积和，这也是列方程的依据．连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答．
【解答】
解：由勾股定理得：，

连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是，，的高线，
设到三边的距离是x，
则三个三角形的面积的和是：，
即，
解得，
故选A．  

3.【答案】A
 

【解析】，

．

又平分，，

．
故选A．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形外角性质得，则，，利用等式的性质得到，然后把的度数代入计算。
【解答】

解：
的平分线与的平分线交于点D
，

即



故选A。

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了角平分线的定义，性质以及三角形的外角性质解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．过D作于E，于F，于G，依据角平分线的性质，即可得到，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到  ．
【解答】
解：如图所示，过D作于E，于F，于G，

平分，于E，于F，
，
又，，
，，
平分，
又于F，于G，
，
，
平分，
 ，
平分，
 ，
   ，
故选D．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
这是一道考查全等三角形的判定和性质的题目，解题关键在于正确作出辅助线，延长ND至P，使，连接MP、BP，证明出≌，利用三边关系即可得到答案．
【解答】
解：延长ND至P，使，连接MP、BP，如图：


点D为BC的中点，
，
在和中，

≌，
，
，DN分别，的角平分线，，
，
，
在和中，

≌，
，
，
，
故选：C．  

7.【答案】B
 

【解析】分析
由平行线的性质可得的度数，然后由作图过程可知AF平分，EF是AC的垂直平分线，从而得出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求得结果．
本题考查了角平分线，垂直平分线的知识，了解角平分线与垂直平分线的性质是本题的解题关键．

详解
解：如图，取E、F点，

 






由图可知，，，故，
，
由作图可知，AF平分，EF是AC的垂直平分线，
，，
．

故选B．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“HL”证明和全等，和全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【解答】
解：如图，过点D作于H，

是的角平分线，，
，
在和中，，
≌，
，
在和中，
≌，
，
和的面积分别为60和35，
，
．
故选C．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“HL”证明和全等，根据全等三角形的面积相等可得，设面积为S，然后根据列出方程求解即可． 

【解答】

解：如图，过点D作于H，

是的角平分线，，
，
在和中，

，
≌，
，
设面积为S，
同理≌，
，
即，
解得．
故选B．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于N，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可．
【解答】
解：作于N，

，
，
，
平分，，，
，
是BC的中点，
，
，又，，
，
故选：B．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想的应用．
根据角平分线的性质，可得，易证得≌，可得；由等角的余角相等，可证得；然后由的度数不确定，可得BE不一定等于DE；又由，和的高相等，所以：：AC．
【解答】
解：正确，在中，，AD平分，于E，
；
正确，因为由HL可知≌，所以，即；
正确，因为和都与互余，根据同角的补角相等，所以；
错误，因为的度数不确定，故BE不一定等于DE；
错误，因为，和的高相等，所以：：AC．
故选C．  

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键，在AC上截取，根据全等三角形的性质可得，可得，根据三角形的内角和可求解．
【解答】
解：如图，在AC上截取，

为的角平分线，
，
，，，

，


，
，
，
，，
，
．
故选A．  

13.【答案】
 

【解析】解：，
，，
射线OM是的平分线，
，
，
故答案为：．
先根据对顶角相等得出，再根据角平分线的定义得出，最后解答即可．
此题考查对顶角和角平分线的定义，关键是得出对顶角相等．
 

14.【答案】11
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平分线的定义，平行线的性质．
根据角平分线的定义，可得与的关系，与的关系，根据平行线的性质，可得与的关系，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得OD与BD的关系，OE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】
解：由与的平分线相交于点O，得
，．
由，得
，，
，，
，．
．
故答案为11．  

15.【答案】
 

【解析】解：在中，和的平分线相交于点O，
，，，
，
；故正确；
在中，和的平分线相交于点O，
，，
，
，，
，，
，，
，
故正确；
过点O作于M，作于N，连接OA，

在中，和的平分线相交于点O，
，；故错误；
在中，和的平分线相交于点O，
点O到各边的距离相等，故正确．
故答案是：
由在中，和的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；由角平分线的性质得出点O到各边的距离相等，故正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，，则，故错误．
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式利用角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键，过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据可得DE的长．
【解答】
解：如图，

过点D作于H，
于点E，AD是中的角平分线，
，
，
即，
，
解得．
故答案为．  

17.【答案】9
 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的性质，应用好这些性质是解题关键根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，，即可利用等量代换得出的周长．
【解答】
解：，
，，
平分，OC平分，
，，
，，
，．





．
即的周长为9．
故答案为9．  

18.【答案】解：如图，点P即为所求．

 

【解析】连接CD，作线段CD的垂直平分线EF，作的角平分线OM，OM交EF于点P，点P即为所求．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：平分，
．
，
，
，
．
分两种情况：

当时，如图所示．
则，

当时，如图所示，
则，
．
综上所述，的度数为或．
 

【解析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，余角的知识以及分类讨论的思想．
由角平分线的定义得再求，即可求得结果；
分当时，当时两种情况讨论，计算求解即可．
 

20.【答案】解：，
．
平分，
．
，
．
，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
 

【解析】已知，欲求，需求由，得由OE平分，得，进而解决此题．
欲求，需求由，得由OE平分，得由，得，故，进而可求得．
本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义，熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义以及直角的定义是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：，， 
，，
，
是的平分线，
．
，，
是的平分线，
，
，，
，
．
 

【解析】略
 

22.【答案】解：平分，OC平分．
，，
，，
，
，
．
，
，
，
与互余，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查角平分线的意义，互余的意义，根据图形直观得出各个角的和或差是得出结论的前提，等量代换起到非常关键的作用．
根据角平分线和，，求出各个角，得出答案；
由特殊到一般，根据角平分线的意义，和各个角之间的和差关系，等量代换得出与的数量关系，
利用中的结论和与互余，求出的度数．
 

23.【答案】解：在中，，，
  ．
平分，
．
，
；
证明：，
，
，，
，
又平分，
，
．
 

【解析】本题考查角平分线定义、三角形内角和定理、四边形内角和定理．
先根据四边形内角和定理求出的度数，再由角平分线线定理得出的度数，最后由三角形内角和定理，求出的度数；
先推得，最后由角平分线定义得出，进而推出．