2020-2021学年12.1曲线和方程第一课时教案

这是一份2020-2021学年12.1曲线和方程第一课时教案，共10页。
《曲线和方程》教学设计说明课题：曲线和方程（第一课时）教材：高级中学课本  数学  高中二年级 第二学期    上海教育出版社    P31-P33 一．教材的地位和作用《曲线和方程》是解析几何部分十分重要的内容，这主要体现在知识技能和数学思想方法两个方面．从知识技能上来看，它既是对前面所学的《坐标平面上的直线》的回顾和延伸，又是以后学习圆锥曲线方程的理论基础，在教材中起到承上启下的作用，同时，曲线的方程与方程的曲线这两个概念的形成是一个由直观感觉上升到抽象概括的过程，因而它还是进一步培养学生分析、归纳、抽象、概括的数学创造能力的良好素材．从思想方法上来看，曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过平面直角坐标系而联系在一起，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的和谐统一，为以后的“几何问题代数化、代数问题几何化”的相互转化奠定了扎实的理论基础，对今后的数学学习有着深远的影响．这种曲线与方程的相互转化的思想方法，是数学方法论上的一次飞跃．另外，教材中把曲线看成是动点的轨迹，又蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；而把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映，既体现了数形结合的思想方法，又体现了对应与转化的思想方法．因此，可以这样说，《曲线和方程》一课蕴涵了丰富的数学思想方法．综上所述，本节课的内容无论从知识技能还是数学思想方法上来说，都是十分难得的素材，它对培养学生的探索精神、抽象概括能力，甚至数学创造能力都有很好的作用． 二．学情分析本节课的授课对象为某市重点学生，他们有较好的学习习惯，有一定的数学表达能力．学生已经知道坐标平面上的直线方程，经历过借助直线方程研究直线的位置关系、点到直线距离等几何问题转化为其代数方程问题来解决的过程，已有了用解析式表示函数图像的经验，具备了理解曲线与方程概念的认知基础；同时，学生已经掌握了子集、集合相等的相关知识，具备了用集合的观点理解曲线与方程的能力．另一方面，他们对圆锥曲线等内容的了解不多，对用代数方法研究有关圆锥曲线的问题更是知之甚少．因此，学习《曲线和方程》既是后继教材学习的要求，也是学生继续学习解析几何内容的必要需求． 三．教学目标分析《曲线和方程》（第一课时）是上海市高中数学教材中高二年级第二学期的教学内容，《上海市中小学数学课程标准》对“曲线和方程”的教学要求是：以直线方程为认识基础，引入曲线与方程的概念；理解曲线与方程的概念；形成通过坐标系建立曲线方程，再用代数方法研究曲线性质的基本思想，加深领会辩证唯物主义的思想观点．结合课程标准，我将本节课的教学目标和教学重点难点制定为：教学目标： 1．以直线方程为认知基础，学习并理解曲线与方程的概念；           2．经历概念形成过程，理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；           3．领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，体验曲线与方程间的对应与转化的思想方法，注重分析归纳、抽象概括的数学思维能力的养成．教学重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念教学难点：对曲线与方程对应关系的理解 四．教学问题诊断本节课的教学重点是理解曲线的方程和方程的曲线的概念，教学难点是理解曲线与方程对应关系．为了突出重点，突破难点，我采取了三个策略：1．从学生熟悉的直线方程为认知基础，通过正例、反例的辨析，由直观感觉逐步上升为抽象概括，从而形成概念，初步理解定义中规定的两个关系；2．利用学生熟知的子集、集合相等的观点，重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，从而强化理解定义中的两个关系；3．对于初学者来说，透彻理解“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念是有一定难度的，虽然我设计了上述两种途径帮助学生理解这组概念，但是学生很有可能仍然不能很好地完成例题的证明，鉴于上述考虑，我设计了一组课堂练习，具体感受定义中两个关系缺少任何一个都将扩大概念的外延，同时也是为后面例题的解决做好铺垫；在例题的讲解中通过师生、生生互动利用分析法引导学生寻找解决问题的途径．      五．教学过程环节教学程序设计意图问题引入在初中平面几何里，我们定性地研究直线的平行和垂直、直线相交所成的角是否相等．在上一章的学习中我们体会到了如何用定量的方法来研究直线：利用直线方程研究直线的平行和垂直、两条相交直线所成的角、点到直线的距离等．从今天开始，我们将利用这种“定量的方法”进一步研究曲线．为了达到这个目的，我们必须象在研究直线时引入直线方程表示直线一样，在研究某曲线时必须找到一个方程能表示该曲线，这就是曲线和方程的概念．这是整个解析几何的学习基础，既是非常重要的一个概念，也是非常难理解的概念．【感悟】  从学生熟悉的数学问题入手，让学生初步体验“把曲线看成方程的几何表示，方程看作曲线的代数反映”的对应与转化的思想方法，这种处理源于“最近发展区”的理念，学习新知必须建立在学生已有的学习经验的基础上．概念形成为了帮助同学们更好地理解这个概念，我们还是从同学们最熟悉的直线方程开始：问题导思1下列各个方程能不能表示如图所示的直线？请简述你的判断理由．⑴；      ⑵；        ⑶． 问题导思部分供学生思考、讨论，组织学生口答，分析“曲线上的点”与“方程的解”的关系，辨析上述3个方程能否表示图中的曲线，在反思其中的原因的同时，引导学生发现“一个方程能表示一条曲线必须满足的条件”，从而得到曲线的方程和方程的曲线的概念：一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．【感悟】  曲线的方程、方程的曲线是本节课的重点，也是难点．如何帮助学生较好地理解这对概念是本节课教学有效性的关键．学生通过数学活动，在辨析正例与反例的过程中，逐渐抽象出定义的本质，初步理解概念．概念强化 我们知道，平面直角坐标系中的质点按某种规律运动时，形成了一条曲线(TI图形计算器动态演示)，这条曲线就是动点的轨迹，记作曲线，于是这条曲线可以看作是由点组成的集合；另一方面，一个关于的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作．问题导思2如何用集合和点集间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义? 关系①指集合是点集的子集，关系②指点集是点集合的子集．于是从集合的观点来看，可以将“曲线的方程”与“方程的曲线”定义中的两个关系重新表述为：  课堂练习1(1)已知，，那么线段的方程是不是？为什么？ (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹的方程是不是？为什么？【解】(1)不是．不符合曲线与方程定义中的条件②，例如是方程的解，但点M(-1,2)不在线段上．  (2)不是，不符合曲线和方程定义中的条件①，例如点在轨迹上，但它的坐标不是方程的解．  【感悟】  数学理解首先表现为新知识是否纳入到学习者已有的旧的知识系统中．对于初学者来说，“曲线的方程”与“方程的曲线”是一对难以理解的概念，帮助学生理解概念并不是要求学生简单地牢记概念，而是要将这对新概念纳入到学生已有的知识结构中．变换表达方式，用集合的观点重新叙述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系就是为了达到这个目的．        加深理解定义中两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解，直观地说“点不比解多”称为纯粹性；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程的曲线．概念应用 例题  已知，，求证：到、距离相等的点的轨迹的方程是．【证明】(1)设是轨迹的任意一点，则有．由两点间的距离公式，得化简得：所以，是方程的解．(2)设是方程任意一个解，则，即．以为坐标的点到点的距离分别是：故有：．即点在轨迹上．由(1) (2)可得，到、距离相等的点的轨迹的方程是． 思考题．求证：到两定点，的距离平方和为的点的轨迹的方程为．【证明】(1)设是轨迹的任意一点，则有．由两点间的距离公式，得化简得：所以，是方程的解．(2)设是方程任意一个解，则，即．以为坐标的点到点的距离平方和是：故有：．即点在轨迹上．由(1) (2)可得，到两定点，的距离平方和为的点的轨迹的方程为．【感悟】     将课本中的例题2提前，是为了与本节课中“问题导思1”、“问题导思2”更好地衔接，让学生细细品味定义中两个关系；而将例题1稍作改编，是为与TI图形计算器动态演示的“将曲线看成一个动点的轨迹”相衔接．              思考题供学生思考、练习，加深理解概念．学习体会 谈谈你的学习体会．一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．  作业布置 1．（必做）：阅读教材P31- P33；2．（必做）：练习册 P18  1，2，33．（选做）：根据今天的学习内容，谈谈你对解析几何的认识；4．（推荐）：《数学史通论》，李文林，高等教育出版社，　　　　　2006．作业有必做内容、选做内容和推荐内容，是为了满足不同学生的学习发展需要，同时“以数学文化感染学生”（张奠宙语），锻造学生的数学素养．    附1：板书设计课题：曲线和方程1．概念如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线……②以方程…………叫做曲线的方程…… 例题解答练习解答2．用集合表述设集合C={(x,y)|(x,y)是曲线C的点}，集合F={(x,y)|F(x,y)=0}，则  附2：教学反思   《曲线和方程》（第一课时）是常上常新的一节课，但也是非常难上的一节课．在认真听取了各位专家的评课以后，我对本节课做了深入的反思．一、  对教学理念的反思我区启动的“新课堂实验：为学而教的课堂建设”项目积极为发展学生的核心素养而努力．“新课堂实验”提出，实现课堂教学方式的变革，促进教师更智慧地教、学生更聪明地学，使师生潜能得到充分发展；促进学校和教师更新教学观念，转变教学方式，形成“为学而教、少教多学、鼓励挑战性学习”，促进学生主动、生动、高效地学习．有效地数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，小组学习、合作交流是学习数学的重要方式．传统数学教学中，我们过多地关注了教师“怎样教”，对学生“怎样学”存在着一种可怕的漠视．本节课的设计理念正基于上述思考，让学生在数学学习过程中通过合作学习、小组交流的方式展开，同时教师的启发式教学促进了学生对数学概念的理解． 二、  对教学目标的反思美国心理学家、教育学家布鲁姆说，“有效教学始于知道希望达到的目标是什么，这个目标不仅教师要知道，学生也要知道．”教学目标的重要性由此可见一斑．教师只有明确了教学目标，才能合理地展开教学；学生知道了教学目标，才能明确本节课需要学习什么样的数学．本节课的教学目标（学习目标）既有知识层面的目标，也有情感态度层面的目标，更有数学经验活动的目标，各个目标具有鲜明的层次性．值得指出的是，具体阐述了为了达成各个目标所采取的教学策略，具有很强的操作性．本节课的教学目标适合高中学生的特点，抓住了高中学生的认知水平，鼓励学生在学习中进行挑战性数学学习，促进学生主动、高效地学习． 三、  对教学过程的反思教学过程的重要性不言而喻，好的教学过程，能强化学生的数学思维过程，提高学生的数学能力，促进学生数学核心素养的养成．坏的教学过程，只能让学生备受煎熬，不会欣赏数学，不能享受数学学习．数学教学是数学活动的教学，而不是数学课本知识的教学．本节课里，我采用多个数学活动，让学生积极参与到数学教学活动中，通过一个个的数学活动学习数学知识，培养数学素养，提升数学能力．数学活动的设计很巧妙，由易到难，层层递进．在数学活动中，需要的数学思维层次由简单到复杂，由具体到抽象，由特殊到一般． 四、  对教学方法的反思教无定法，教必有法．哲学家黑格尔有这样一句名言：“方法是一种不可抗拒的至高无上的力量．”在教学中，比知识更重要的是方法，有方法才有成功的路径．教学策略与方法决定着教学效率与质量．    这节课里，我采用的教学方法主要小组合作学习、同伴互助交流的方式，在学生的最近发展区的基础上，通过正例、反例的辨析和教师的启发式教学，学生逐步形成正确的“曲线的方程”、“方程的曲线”的概念，经历了数学概念的形成，更重要的是学生的数学理性思维得到了锻炼． 五、  对教学遗憾的反思在认真观看了课堂录像以后，我发现了本节课的一些不足之处，未免稍感遗憾．首先，课堂语言的锤炼需要加强．数学教学离不开数学语言的教学．数学语言教学追求简洁、富有哲理，蕴含诗意，让学生行走在数学文化殿堂中．但是，在本节课中，我发现了有些课堂语言并不简洁，甚至还出现口头禅，而富有哲理、蕴含诗意的语言少之又少．今后的数学教学中，必须锤炼自己的课堂语言，同时要加强人文修养，让自己逐渐成为一个富有人文气息、数学文化素养的数学教师．其次，教学机智尚显不足．师生的思维发展及情感交流的融洽，往往会因为一些偶发事件而产生瞬间灵感，这些＂智慧的火花＂常常是不由自主、突然而至．在课堂上，大多数这样的教学机智产生的时候我处理的还可以，但当一个学生在回答为什么第二个方程不能表示图中的直线方程时根本没有抓住问题的本质，而我也没有及时引导他，错过了知识生成的契机。．最后，教学细节需要继续加强．细节决定成败．本节课中，很多教学细节我做得都不错，比如我设计了一组组课堂练习，帮助学生逐步理解定义中两个关系的内涵是成功的．但是在引导学生如何叙述出这个两个关系，在引导学生如何想到用集合语言重新表述这个两个关系时显得过于急躁，比较生硬，过渡不自然．这些不足，难免会造成些许遗憾．但是，正所谓“遗憾才是完美”，遗憾的数学教学才是真正的数学课堂．