2021-2022学年度第一学期广东省揭阳市五校九年级数学第一次联考试卷含解析

这是一份2021-2022学年度第一学期广东省揭阳市五校九年级数学第一次联考试卷含解析，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一等内容，欢迎下载使用。
1．由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．小明与小亮都是九（1）班的学生，在一次数学综合实践活动中，老师把全班同学随机分成四个小组，那么小明与小亮不在同一个小组的概率为（ ）
A．B．
C．D．
3．下列命题正确的是（ ）．
A．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．矩形的对角线互相垂直
D．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形
4．已知一元二次方程有一个根为3，则的值为（ ）
A．2B．C．4D．
5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝4.5，则线段OB的长为（ ）．
A．6.5B．7C．7.5D．8
6．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1B．m＞1C．m＜1，且m≠0D．m＞1，且m≠0
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）．
A．1B．C．D．2
8．已知m、n是方程x2+x﹣2021＝0两根，则m2+2m++1的值（ ）
A．0B．2020C．2022D．无法确定
9．如图，ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC－CF＝2HE，其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是_______________．
12．在一个不透明的布袋里共装有80个红球和白球，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在20%左右，则可以估计到布袋中红色球可能有______个．
13．已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边长，则的周长为______．
14．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染中新患流感人数共有____人．
15．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．
16．如图，点O是正方形的两条对角线的交点，过点O的直线与、交于点M、点N，，交于点E，若，，则的长为_______．
17．如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB=2，BC=1，则顶点C到坐标原点O的最大距离为______．
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．小明在用配方法解方程x2﹣x﹣＝0时出现了错误，解答过程如下：x2﹣x＝（第一步）；x2﹣x+＝+（第二步）；（x﹣）2＝1（第三步）；∴x1＝﹣，x2＝（第四步）．
（1）小明的解答过程是从第 步开始出错的；
（2）用配方法写出此题正确的解答过程．
19．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接、，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为2，，求的长．
20．吉林省已有六家国家5A级旅游景区，分别为a：长影世纪城；b：伪满皇宫博物院；c：长白山景区；d：六鼎山文化旅游区；e：长春世界雕塑园；f：天山天池．张帆同学与父母计划在十一期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择e：长春世界雕塑园的概率是 ；
（2）若张帆一家选择了e：长春世界雕塑园，他们再从a，b，c，d四个景区中任选两个景区去旅游，求选择a，d两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
四、解答题一（每小题8分，共24分）
21．2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）二月的销售利润是 元；
（2）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（3）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
22．为进一步推广大课间活动，某中学对已开设的A：实心球，B：立定跳远，C：跑步，D：跳绳这四种活动项目学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生调查,每位学生必选一项且只能选一项，将调查结果绘制成图1，图2的统计图,请结合图中的信息解答下列问题：
（1）填空：被调查的学生共有 名，并将两个统计图补充完整；
（2）抽取了5名喜欢跑步的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求刚好抽到同性别学生的概率．
23．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：∠EAM=45°；
（2）求证：△AEM≌△ANM；
（3）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．
三、解答题三（每小题10分，共20分）
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；
（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．
25．（问题情境）
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
（探究展示）
（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；
（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（拓展延伸）
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．
参考答案
1．B
解：∵14.41＜15＜15.84，
∴一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围为1.1＜x＜1.2．
故选：B．
2．C
解：设4个小组分别为A组，B组，C组，D组．
∴画树状图如下：
∴可能的情况有：小明A组，小亮A组；小明A组，小亮B组；小明A组，小亮C组；小明A组，小亮D组；小明B组，小亮A组；小明B组，小亮B组；小明B组，小亮C组；小明B组，小亮D组；小明C组，小亮A组；小明C组，小亮B组；小明C组，小亮C组；小明C组，小亮D组；小明D组，小亮A组；小明D组，小亮B组；小明D组，小亮C组；小明D组，小亮D组16种情况，
其中小明和小亮不在同一组的有12种情况，
∴小明与小亮不在同一个小组的概率=．
故选：C．
3．D
A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误；
B选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如下图所示：
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下图．
D选项：如图，取菱形ABCD四边的中点E、F、G、H，
依次连接E、F、G、H，
连接AC，BD，交于M点，
∵E、F分别为AB，CB中点，
∵EF//AC，EF＝AC，
又∵G、H分别为CD、AD中点，
∴HG//AC，HG＝AC，
∴EF//AC//HG，EF＝HG＝AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理有EH∥BD//FG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
故∠BMA＝90°，
∴另得∠HEF＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形，
故D选项正确．
故选D．
4．D
解： 一元二次方程有一个根为3，设另一根为

解得：
故选：
5．C
解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴OM是△ADC的中位线，
∴AD＝2OM＝9，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，
∴∠D＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，
∴Rt△ACD中，AC＝＝15，
∴Rt△ABC中，BO＝AC＝7.5．
故选C．
6．C
解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：m＜1且m≠0，
故选C．
7．D
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴，
∴，
又∵∠A＝90°，
∴，
∴，
设BE＝x，则，
∴2（3－x）＝x．
解得：x＝2，
∴BE＝2．
故选：D．
8．C
n，m是方程x2+x﹣2021＝0的根，
,
即，
m、n是方程x2+x﹣2021＝0两根，
原式
故选C
9．B
解：中，，，，
，
，点、分别是、的中点，
，，
当、、在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：，
故选：B．
10．D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABE=90°，AD∥BC
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴，
∵
∴AD＝AE，故①正确；
∴∠AED=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠AED=∠CED，故②正确；
∵DH⊥AE，
∴∠AHD=∠ABE=90°
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°－∠DAE）＝67.5°，∠ADH=∠DAH=45°
∴∠CED＝∠AED＝67.5°，
∵AB＝AH，
∵∠AHB=∠ABH＝（180°－∠BAH）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝∠DHE-∠OHE＝22.5°，∠ODH＝∠ADE-∠ADH＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故③正确；
∵∠EBH＝∠ABE-∠ABH＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故④正确；
∵HE＝AE－AH＝BC－CD，
∴BC－CF＝BC－（CD－DF）＝BC－（CD－HE）＝（BC－CD）＋HE＝HE＋HE＝2HE．故⑤正确；
故选D．
11．
列表格如下：
由表可知共有12种情况，其中摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的有6种情况，
故摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率为．
12．16
解：设红球个数为x个，
根据题意得： =20%，
解得：x=16，
则可以估计到布袋中红色球可能有16个，
故答案为：16．
13．10
解：把x=2代入方程x2-（m+4）x+4m=0得4-2（m+4）+4m=0，解得m=2，
方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，
因为2+2=4，
所以三角形三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
故答案为：10．
14．1000
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮过后有（x+1）人感染，第二轮过后有人感染，
∴由题意得，即，
解得，（舍去），
∴第三轮传染后，患流感人数人，
故答案为：1000．
15．
解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
16．
解：如图，连接，过点作，交于，
，，
，
点是正方形的中心，
，，，，
，
又，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
又，
，
又，，
，
，
，
故答案为：．
17．
解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，
由矩形可得
∵∠AOB=90°，
∴Rt△AOB中，，
∴Rt△CBE中，
又∵OC≤
∴OC的最大值为，
即点C到原点O距离的最大值是，
故答案为．
18．解：（1）小明的解答过程是从第二步开始出错的，
故答案为：二；
（2）∵x2-x-=0，
∴x2-x=，
∴x2-x+=+，即（x-）2=，
则x-=±，
∴x1=，x2=．
19．
（1）证明：在菱形ABCD中，
， ，
∵，
∴DE=OC，
∵，
∴，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵ ，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE=CD；
（2）解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=2，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴OC=1，
在 中，由勾股定理得：
，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE=OD ，
在中，由勾股定理得：
．
20．（1）；（2）
（1）共有6个景区，则张帆一家选择e的概率是．
故答案为：；
（2）列表可得，
共有12种等可能结果，其中选择a，d两个景区有2种
选择a，d两个景区的概率为．
21．解：（1）（14-8）×256=1536（元）
故答案为：1536；
（2）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（3）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14-y-8）（400+40y）=1920，
化简，得：y2+4y-12=0，
解得：y1=2，y2=-6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
22．解：（1）由参加A：实心球的人数有人，占比可得总人数为：
人，
所以组人数为：人，占比
补全图形如下：
（2）列表如下：
所有的等可能的结果有种，同性别的有种，
所以：刚好抽到同性别学生的概率
23．解：（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠ABE=180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°
（2）由（1）可知AE=AN，∠MAE=∠MAN，MA=MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．
（3）解：设CD=BC=x，则CM=x-3，CN=x-2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM=MN，
∵BE=DN，
∴MN=BM+DN=5，
∵∠C=90°，
∴MN2=CM2+CN2，
∴25=（x-2）2+（x-3）2，
解得，x=6或-1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．
24．解：（1）由题意可得：BP=2t，AQ=t
∵∠C＝90°，∠A＝60°
∴∠B=30°，
∴，
∴，
∵PM⊥AC，
∴∠PMB=90°，
∴，
故答案为：t，40-2t，t；
（2）存在，理由如下：
由（1）知，
∵PM⊥BC，AC⊥BC
∴PM∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形，
∴当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形，
∴，
解得，
∴当时，四边形AQMP是菱形；
（3）当△PQM为直角三角形时有三种情况：
①当∠MPQ=90°，此时四边形CMPQ是矩形，
∴∠PQA=∠PQC=90°，
∴∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，
∴，
解得；
②当∠MQP=90°时，由（2）知MQ∥AP，
∴∠APQ=∠PQM=90°，
∴∠PQA=30°，
∴AQ=2AP，
∴，
解得；
③当∠PMQ=90°时此种情况不存在，
∴综上所述，或时△PQM是直角三角形．
25．解：（1）AM=AD+MC．理由如下：
如图1（1）所示，分别延长AE，BC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ADBC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在ADE与NCE中，
∴ADE≌NCE（AAS），
∴AD=NC，
∵MN=NC+MC，
∴AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM成立．理由如下：
如图1（2）所示，将ADE绕点A顺时针旋转90°，得到ABF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ABDC，∠D=∠ABM=90°，
∴∠AED=∠BAE，
∵旋转，
∴∠F=∠AED，∠FAB=∠EAD，BF=ED，∠D=∠ABF=90°，
∴∠ABM＋∠ABF=180°，
∴点F、B、M在同一直线上，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠BAF=∠MAE，
∵∠BAE=∠BAM+∠MAE，
∴∠AED=∠BAM+∠BAF=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM，
∵FM=BF+BM
∴AM=DE+BM；
（3）①结论AM=AD+MC仍然成立，理由如下：
①如图2（1），延长、交于点，
四边形是矩形，
．
．
平分，
．
．
．
在ADE与PCE中，
∴ADE≌PCE（AAS），
．
∵MP=PC+MC，
∴AM=AD+MC；
②结论不成立，理由如下：
假设成立．
过点作，交的延长线于点，如图2（2）所示．
四边形是矩形，
，．
，
．
．
．
，
．
，
，
．
．
．
，
．
，
．与条件“ “矛盾，故假设不成立．
不成立．1
2
3
5
1
1+2=3
1+3=4
1+5=6
2
2+1=3
2+3=5
2+5=7
3
3+1=4
3+2=5
3+5=8
5
5+1=6
5+2=7
5+3=8
a
b
c
d
a
ba
ca
da
b
ab
cb
db
c
ac
bc
dc
d
ad
bd
cd
男1
男2
女1
女2
女3
男1
|（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
（男1，女3）
男2
（男2，男1）
（男2，女1）
（男2，女2）
（男2，女3）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，女2）
（女1，女3）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，女1）
（女2，女3）
女3
（女3，男1）
（女3，男2）
（女3，女1）
（女3，女2）