初中数学华师大版八年级下册1. 矩形的性质同步训练题

19.1.2矩形的判定同步练习华师大版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，将一个边长为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是

A.
B.
C.
D.

2. 下列说法正确的是

A. 矩形的对角线互相垂直且平分 B. 矩形的邻边一定相等
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 有三个角为直角的四边形为矩形

3. 如图，在等腰直角中，，点D是内部一点，，，垂足分别为E，F，若，，，则

A. 8
B. 10
C.
D. 15

4. 如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸DC的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C，D两点的距离为500m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为

A. 1000m B. 1200m C. 1300m D. 1700m

5. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使，连接EB，EC，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是     

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，，，则边AD的长是   

A. 12cm B. 16cm C. 20cm D. 28cm

7. ▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是

A.  B.  C.  D.

8. 已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在四边形ABCD中，，，且，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，下列说法错误的是

A. 四边形EFGH是矩形
B. 四边形ABCD的面积是92
C. 四边形EFGH的面积是48
D. 四边形EFGH的周长是28
 

11. 如图，在中，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，则线段MN的最小值为

A.  B.  C. 3 D. 4

12. 如图，在中，，，，P为边BC上一动点，于E，于F，M为EF中点，则EF的最小值为

A.  B. 5 C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知的四个顶点都在某一个矩形上，其中BD为这个矩形的对角线，若，，，则这个矩形的周长是______．

14. 如图，中，，，，点P为AC上一点，将沿直线BP翻折，点C落在处，连接，若，那么CP的长为______．
     

15. 如图，在矩形ABCD中，，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得到矩形若点B的对应点落在边CD上，连接，则的面积为______．
     

16. 如图，在中，，，，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为______．

17. 如图所示，在ABC中，C，AC，BC，P为AB上一动点不与A、B重合，作PEAC于点E，PFBC于点F，连接EF，则EF的最小值是_____．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，中，，于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．

19. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD和BC上，且，连接AF，CE，分别交DC，BA的延长线于点H，G．
    求证：≌；
    当满足什么条件时，四边形AHCG是矩形？请说明理由．
    
     

20. 如图，在中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
    
    求证：四边形CEAF是矩形．
    若，，，，求四边形ABCF的面积．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在平面直角坐标系中，点，，，，，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题．
    四边形ABCD的形状为______；
    在AD上找点F，使；
    分别在CD上找点M，BC上找点N，使四边形EFMN为矩形；
    将沿某条直线翻折后，点A，C，F的对应点均落在四边形ABCD的边上，请直接写出该直线的解析式为______．

22. 已知：如图，在▱ABCD中，，的平分线交AB于点E，作于F，交DE于G点，延长BC至H使，连接DH．
    试证明AFHD是矩形；
    当时，猜想线段AB、AG、BF的数量关系，并证明．

23. 如图，在中，，AD是的角平分线，四边形AEDC是平行四边形．求证：四边形AEBD是矩形．
    
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质，注意折叠前后图形是全等的，注意折叠中的对应关系．
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等和勾股定理求解．
【解答】
解：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形CEFD全等，有，

在矩形ABCD中，，
，
即，
解得，，
作于点G，
四边形AGEB是矩形，
，，，
由勾股定理得．
故选D．  

2.【答案】D
 

【解析】解：A、矩形的对角线互相平分且相等，
选项A不符合题意；
B、矩形的邻边一定垂直，不一定相等，
选项B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，
选项C不符合题意；
D、有三个角为直角的四边形为矩形，
选项D符合题意；
故选：D．
由矩形的性质和判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
为等腰直角三角形，，
，
四边形DEBF为矩形，
，，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，
故选：C．
先证四边形DEBF为矩形，得，，设，则，得，，然后由得出方程，解方程即可．
本题考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：作A点关于河岸的对称点，连接交河岸与P，则最短，

作，且，
，，，
四边形是矩形，
，
在中，
连接，则，
．
故选C．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【解答】

解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
又，
，
四边形DBCE是平行四边形．
若，则，则平行四边形DBCE是矩形．
若，则平行四边形DBCE是菱形．
若，即，则平行四边形DBCE是矩形．
若，则，则平行四边形DBCE是矩形．
故选B．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键．利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．
【解答】
解：如图示，

，，
，
同理可得：，
四边形EFGH为矩形，
，
，
在和中，
≌，

，
，
，
．
故选C．  

7.【答案】D
 

【解析】解：A、，
，
四边形ABCD是平行四边形，
▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABD是平行四边形，，
▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，，
▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
根据矩形的判定和平行四边形的性质对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及菱形的判定；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：A、四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、四边形ABCD是平行四边形，，
▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、，
，
▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查的是矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
 

9.【答案】A
 

【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
对角线BD上的两点M、N满足，
，即，
四边形AMCN是平行四边形，
，
，
四边形AMCN是矩形．
故选：A．
由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形AMCN是平行四边形．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
，，
，同理
四边形EFGH是平行四边形；
又对角线AC、BD互相垂直，
与FG垂直．
四边形EFGH是矩形，故选项A正确，不符合题意；
，，且，
四边形ABCD的面积，故选项B错误，符合题意；
四边形EFGH是矩形，且，，
四边形EFGH的面积，故选项C正确，不符合题意；
，，
四边形EFGH的周长，所以选项D正确，不符合题意，
故选：B．
利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断选项A是否正确；由，，且，可求出四边形EFGH和ABCD的面积，由此可判断选项B、C是否正确；题目给出的数据求出四边形EFGH的周长，判断D是否正确．
本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】
解：，且，，
，
，，
，
四边形DMAN是矩形，
，
当时，AD的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为，
故选A．  

12.【答案】D
 

【解析】解：，，，
，
，
于E，于F，
四边形AEPF是矩形，
，AP互相平分．且，
当AP的值最小时，EF的值就最小，
当时，AP的值最小，即EF的值最小．
，
．
，，，
，
，
的最小值为；
故选：D．
先根据矩形的判定得出四边形AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，AP的值最小，即EF的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理的逆定理，推出当时，AP的值最小，即EF的值最小是解题的关键．
 

13.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及平行四边形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
分为两种情况，画出图形，解直角三角形求出AG和DG，再求出矩形的周长即可；解直角三角形求出BE和AE，再求出矩形的周长即可．
【解答】解：分为两种情况：
如图，分别过D、B作，，垂足分别为G、H；

则四边形BHDG为矩形，
所以，，，
，
，
则，由勾股定理得：

矩形BHDG的周长；
如图，分别过B、D作，，垂足分别为E、F；

则四边形BEDF为矩形；
所以，，，
，
，
则；，
矩形BEDF的周长，
故答案为：或．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
过点作于点D，通过题意可证四边形是矩形，可得，，根据勾股定理可求，即，根据勾股定理可求CP的长．
【解答】
解：过点作于点D，

，，
，
又，
四边形是矩形，
，，
沿直线BP翻折，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于点E，

，，由旋转的性质可得，
在中，由勾股定理可得，
又，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
．
故答案为：．
如图，过点作于点E，求出，可得结论．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，且，，
，
，，
，
四边形DMAN是矩形，
，
当时，AD的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为，
故答案为：．
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的判定与性质和垂线段最短的性质以及勾股定理，判断出时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】
解：如图，连接CP，

，，，
，
，，，
四边形CFPE是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段EF的值最小，
此时，，
即，
解得．
故答案为．  

18.【答案】证明：，，
，．
在▱DBCE中，，，
，．
四边形ADCE是平行四边形．
又，
四边形ADCE是矩形．
 

【解析】先证得四边形ADCE是平行四边形；然后由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．
考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质．主要运用了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法，解题的关键是牢记矩形的三种判定方法，难度不大．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
即，
在与中，
，
≌；
解：当时，四边形AHCG是矩形，
理由：，
，
≌，
，
，
，
，
即，
四边形AHCG是平行四边形，
，
，
四边形AHCG是矩形．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，，根据线段的和差得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，得到四边形AHCG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，证得≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：证明：，
．

平分，
．
，
．

同理，
．

又是AC的中点，
．
四边形CEAF是平行四边形．

，
．
．
四边形CEAF是矩形．

四边形CEAF是矩形，
．

在中，
，，
．

，，
．
．

．

【解析】见答案．
 

21.【答案】菱形  或
 

【解析】解：，，，
，
四边形ABCD是菱形．
故答案为：菱形．

如图，点F即为所求．
如图，四边形EFMN即为所求．

沿菱形ABCD的对角线翻折后，点A，C，F的对应点均落在四边形ABCD的边上，
对角线的解析式为或．
故答案为：或．
求出AD，CD，BC，AB即可判断．
连接DE，AC交于点J，连接BJ，延长BJ交AD于F，点F即为所求．
在CD上取M，使得，取格点P，连接PM交BC于N，连接EF，EM，EN，四边形EFMN即为所求．
沿菱形ABCD的对角线翻折后，点A，C，F的对应点均落在四边形ABCD的边上，求出菱形的对角线所在直线的解析式即可．
本题考查作图复杂作图，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形AFHD是平行四边形，
，
，
平行四边形AFHD是矩形；
解：猜想：，证明如下：
如图，延长BF到M，使，连接DM，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
四边形AFHD是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
 

【解析】由平行四边形的性质得出，，求出，再证四边形AFHD是平行四边形，然后由矩形的判定得出即可；
由平行四边形的性质得出，求出，推出，再由正方形的判定和性质得出，然后证≌，得出，，求出，即可解决问题．
本题考查了正方形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形AEDC是平行四边形，
，，
，AD是的角平分线，
，，
，，
，
四边形AEBD是平行四边形，
又，
平行四边形AEBD是矩形．
 

【解析】先证四边形AEBD是平行四边形，再由，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定，由等腰三角形的性质证明，是解题的关键．