中考数学二轮复习难题突破：二次函数与特殊三角形判定问题（解析版）

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二次函数与特殊三角形判定问题

例1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．


【解析】解：(1)依题意，得，解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)，
∴B(－3，0)．
设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n，得，
解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
(2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接MA，
∴MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．
把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.
∴M(－1，2)．
(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
① 若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，
解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．






例2、如图，抛物线y＝－x2＋x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；
(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．

　第2题
【解析】解：(1)令y＝－x2＋x－4＝0，解得x1＝1，x2＝5，
∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)．
(2)如解图①，过点A作AP∥BC，与抛物线交于点P，则S△PBC＝S△ABC，

第1题解图 第2题解图①第2题解图②
当x＝0时，y＝－x2＋x－4 ＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)，
设过点B，C两点的直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
则有解得
∴直线BC的解析式为y＝x－4，
由于PA∥BC，设AP的解析式为y＝x＋m，代入点A(1，0)，解得m＝－，
∴直线AP的解析式为y＝x－，
联立方程组得解得：
∴P点的坐标为(4，)．
(3)△MDE能成为等腰直角三角形，理由：
∵抛物线y＝－x2＋x－4＝－(x－3)2＋，
∴对称轴是直线x＝3.
∴M(3，0)．
①当∠MED＝90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE＝90°时，不成立；
③当∠DME＝90°时，如解图②所示，

设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN＝∠DMA.
∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°，
∴∠MDA＝135°.
∵∠MED＝45°，
∴∠NEM＝135°，
∴∠ADM＝∠NEM＝135°.
在△ADM与△NEM中，
∴△ADM≌△NEM(ASA)．
∴MN＝MA＝2，
∴N(3，2)．
设直线PC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点N(3，2)，C(0，－4)代入直线的解析式得： 解得：
∴直线PC的解析式为y＝2x－4.
将y＝2x－4代入抛物线解析式得：2x－4 ＝－x2＋x－4，解得：x＝0或x＝，∴P(，3)．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P的坐标为(，3)．
例3、如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，作QN⊥x轴于点N，交BC于点M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；
(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于点F，交OC于点G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO－OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当△PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度．

第3题图
【解析】 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4与y轴交于点C，
∴点C的坐标为(0，4)．
∵CO＝BO＝2AO，
∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(4，0)，
将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.
(2)∵点A(－2，0)，点B(4，0)，点C(0，4)，
∴直线AC的解析式为y＝2x＋4，直线BC的解析式为y＝－x＋4.
设点Q的坐标为(q，－q2＋q＋4)，
∵QE∥AC，过点E作EF⊥QM于点F，如解图，

第3题解图
则＝＝，＝＝，
∴QF＝2EF，QE＝EF，
在Rt△EFM中，易得∠FEM＝∠FME＝∠MBN＝45°，
∴EM＝EF，EF＝MF，
∴QM＝3EF，
∴当EF最大时，△EQM的周长最大，
∵直线AC的解析式为y＝2x＋4，直线QE∥AC，
∴设直线QE的解析式为y＝2x＋t，
将Q点坐标代入得，t＝－q2－q＋4，
∴直线QE的解析式为y＝2x＋(－q2－q＋4)，
与直线BC联立解得点E的坐标为(q2＋q，－q2－q＋4)．
∴EF＝q－q2－q＝－q2＋q＝－(q－2)2＋，
根据二次函数最值性质可知，当q＝2时，EF最大，为.
此时点Q的坐标为(2，4)，L＝3EF＋EF＋EF＝(3＋＋)．
(3)由(2)知点Q的坐标为(2，4)，则直线QA的解析式为y＝x＋2，
∴AQ⊥BC于F，且点F的坐标为(1，3)．
∵点B(4，0)，
∴BF＝3.
设四边形BOGF平移的距离FF1＝t，则点P运动的速度为2t.
①当点P在OC上，此时0