中考数学二轮复习难题突破：阶梯费用类问题（解析版）

阶梯费用类问题

例1．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入—成本)；

(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】（1）y＝－2x＋200(40≤x≤80)；

（2）w=－2x2＋280x－8 000(40≤x≤80)；

（3）当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．

【解析】(1)根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，

由表中的数据得解得

∴y＝－2x＋200(40≤x≤80)；

(2)根据题意得W＝y ·(x－40)＝(－2x＋200)(x－40)＝－2x2＋280x－

8 000(40≤x≤80)；

(3)由(2)可知：W＝－2(x－70)2＋1 800，∴当售价x在满足 40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足 70＜x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．∴当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1 800元．

例2．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为：

y＝

(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润关于售价x(元/件)的函数表达式；

(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？

(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．

【答案】（1）W＝

（2）800万（3）45≤x≤55.

【解析】(1)W＝

(2)由(1)知，当40≤x<60时，W＝－2(x－50)2＋800.

∵－2<0，∴当x＝50时，W有最大值800.

当60≤x≤70时，W＝－(x－55)2＋625.

∵－1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小，

∴当x＝60时，W有最大值为600.

∵800>600，∴W最大值为800万元．

答：当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；

(3)当40≤x＜60时，令W＝750，得

－2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55.

由函数W＝－2(x－50)2＋800的性质可知，

当45≤x≤55时，W≥750，

当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.

答：要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.

例3．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t天之间的函数关系为p＝日销售量y(kg)与时间第t天之间的函数关系如图3－3－1所示．

(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？

(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2 400元？

(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1 kg小龙虾，就捐赠m(m＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

【答案】（1）y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)；（2）W＝(p－6)y

（3）21天（4）5≤m＜7.

【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得；

(2)设日销售利润为W，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；

(3)求出W＝2 400时x的值，结合函数图象即可得出答案；

(4)依据(2)中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．

解：(1)设函数表达式为y＝kt＋b，

将(1，198)，(80，40)代入，得解得

∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)；

(2)设日销售利润为W，则W＝(p－6)y，

①当1≤t≤40时，W＝(－2t＋200)＝－(t－30)2＋2 450，

∴当t＝30时，W最大＝2 450；

②当41≤t≤80时，w＝(－2t＋200)＝(t－90)2－100，

∴当t＝41时，W最大＝2 301，

∵2 450＞2 301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元；

(3)由(2)得当1≤t≤40时，W＝－(t－30)2＋2 450，

令W＝2 400，即－(t－30)2＋2 450＝2 400，解得t1＝20，t2＝40，

由函数W＝－(t－30)2＋2 450的图象(如答图)可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2 400元，

第3题答图

而当41≤t≤80时，W最大＝2 301＜2 400，

∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件；

(4)设日销售利润为W，根据题意，得

W＝(－2t＋200)＝－ t2＋(30＋2m)t＋2 000－200m，其函数图象的对称轴为t＝2m＋30，

∵W随t的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函数的图象及其性质可知2m＋30≥40，

解得m≥5，又∵m＜7，∴5≤m＜7.

例4．小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：

图3－3－2

(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？

(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；

(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？

【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00

【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5(h)，

∵小聪上午10：00到达宾馆，

∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，即7：30.

答：小聪早上7：30从飞瀑出发；

(2)设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b，

由于点G的坐标为，点H的坐标为(3，0)，

则有解得

∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60，

又∵点B的纵坐标为30，

∴当s＝30时，得－20t＋60＝30，解得t＝，

∴点B的坐标为.

答：点B的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆30  km(即景点草甸)处第一次相遇；

(3)方法一：设直线DF的函数表达式为s＝k1t＋b1，该直线过点D和F(5，0)，

由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50÷30＝(h)，

∴小慧从飞瀑准备返回时t＝5－＝(h)，

即点D的坐标为.

则有解得

∴直线DF的函数表达式为s＝－30t＋150，

∵小聪上午10：00到达宾馆后立即以30 km/h的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30＝(h)．

如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象，

∴点M的横坐标为3＋＝，∴M，

设直线HM的函数表达式为s＝k2t＋b2，该直线过点H(3，0)和M ，

则有

∴直线HM的函数表达式为s＝30t－90，

由30t－90＝－30t＋150，解得t＝4，即11：00.

答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧；

方法二：如答图，过点E作EQ⊥x轴于点Q，由题意，可得点E的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，

又∵两人速度均为30 km/h，

∴该路段两人所花时间相同，即HQ＝QF，

∴点E的横坐标为4.

答：小聪返回途中上午11：00遇见小慧．

例5．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图3－3－3所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)

图3－3－3

(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式．

(2)求出第一年这种电子产品的年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．

(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围．

【答案】（1）y＝（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．

【解析】 (1)求y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；

(2)根据“年利润＝年销售量×每件的利润－成本(160万元)”，可求出年利润W(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；

(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W≥103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，从而得出结果．

解：(1)当4≤x≤8时，设 y＝，将A(4，40)代入，得

k＝4×40＝160.

∴y与x之间的函数关系式为y＝.

当8＜x≤28时，设y＝kx＋b，将B(8，20)，C(28，0)代入，得   解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋28.

∴综上所述，得y＝

(2)当4≤x≤8时，W＝(x－4)×y－160＝(x－4)×－160＝－.

∵W随着x的增大而增大，

∴当x＝8时，Wmax＝－ ＝－80.

当8＜x≤28时，W＝(x－4)×y－160 ＝(x－4)×(－x＋28)－160＝－x2＋32x－272＝－(x－16) 2－16.

∴当x＝16时，Wmax＝－16.∵－16＞－80，

∴当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．

(3)∵第一年的年利润为－16万元．

∴16万元应作为第二年的成本．

又∵x＞8，

∴第二年的年利润W＝(x－4)(－x＋28)－16

＝－x2＋32x－128，

令W＝103，则－x2＋32x－128＝103，解得x1＝11，x2＝21.

在平面直角坐标系中，画出W与x的函数示意图如答图，观察示意图可知：当W≥103时，11≤x≤21.

∴当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．

例6．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

(1)求该种水果每次降价的百分率；

(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

【答案】（1）10％（2）10（3）0.5元

【解析】 (1)设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；

(2)分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；

(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“(2)中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．

解：(1)设该种水果每次降价的百分率为x，依题意，

得10(1－x)2＝8.1，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．

答：该种水果每次降价的百分率为10%.

(2)第一次降价后的销售价格为10×(1－10%)＝9(元/斤)，

当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352；

当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，

综上所述，y与x的函数关系式为

y＝

当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，

∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)；

当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，

∴当x＝10时，y最大＝380(元)．

∵334.3＜380，

∴在第10天时销售利润最大．

(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意，得

380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，解得a≤0.5，

则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．