2020-2021学年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若复数z满足z+i=3−i（i为虚数单位），则z的实部为( )
A.−3B.2C.3D.−2

2. 复数z=1−i（i为虚数单位），则1z+z在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 已知a是实数，若a+i1−i（i为虚数单位）是纯虚数，则a等于( )
A.−1B.1C.2D.−2

4. 若i(x+yi)=3+4i(x,y∈R,i为虚数单位)，则复数x+yi的模是( )
A.2B.3C.4D.5

5. 已知复数z满足(1−2i)z=3+4i（i为虚数单位），则|z|等于( )
A.2B.5C.5D.2

6. 在复平面内，O是原点，向量OA→对应的复数是2−i（其中i是虚数单位），如果点A关于实轴的对称点为点B，则向量OB→对应的复数是( )
A.−2−iB.−2+iC.2+iD.1−2i

7. 定义：若z2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，则复数−3+4i的平方根是( )
A.1−2i或−1+2iB.1+2i或−1−2i
C.−7−24iD.7+24i

8. 设复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)且|z|=2，则复数z的虚部为( )
A.±3B.3C.±1D. ±3i

9. 设复数z=m−2+n−1im∈R，有下列四个命题：
p1：若z∈R，则n=1；
p2：若z为纯虚数，则|z|=n−1；
p3：若z=i1−i，则m=n；
p4：若m=3，n=−1，则z=−1+2i．
其中的真命题为( )
A.p2，p4B.p1，p3C.p1，p4D.p2，p3

10. 已知复数z=(x−1)+yi（x，y∈R，i为虚数单位），其在复平面内对应向量的模为2，则|z+1|的最大值为( )
A.3B.2C.5D.3

11. 设z∈C，且满足条件|z|=2，则z在复平面上对应点的轨迹是( )
A.点B.直线C.线段D.圆

12. 已知集合M={i,i2,1i,(1+i)2i}，i是虚数单位，Z为整数集，则集合Z∩M中元素的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
二、填空题

1+i10−1−i10=________.

若定义a bc d=ad−bc(a,b,c,d为复数)，则2i 3i3i (3−2i)i=________.

已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3+3i，−2+i，−5i，则第四个顶点D对应的复数为________．

已知i为虚数单位，则1−i+i2−i3+i4−...+i20=________．
三、解答题

已知复数z满足|z|=2，z2的虚部是2．
(1)求复数z；

(2)设z，z2，z−z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.

已知复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）．
(1)若z=i−21+i，求实数a的值；

(2)若|z−1−i|≤1，求复数z在复平面上对应的点所形成图形的面积.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ z+i=3−i，
∴ z=3−2i，
∴ z=3+2i，
∴ z的实部为3.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先化简复数，再利用复数的几何意义求解即可.
【解答】
解：∵ z=1−i，
∴ 1z+z=11−i+1−i
=1+i1+i1−i+1−i
=12+12i+1−i
=32−12i，
∴ 复数1z+z在复平面内对应的点32,−12在第四象限.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
【解析】
利用复数的运算法则即可得出．
【解答】
解：∵ a+i1−i=(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)
=a−12+a+12i是纯虚数，
∴ a−12=0，a+12≠0，
解得a=1.
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
复数的模
复数相等的充要条件
【解析】
利用复数的运算法则把i(x+yi)可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=−3．再利用模的计算公式可得答案．
【解答】
解：∵ i(x+yi)=xi−y=3+4i，x，y∈R，
∴ x=4，−y=3，即x=4，y=−3，
∴ |x+yi|=|4−3i|=42+(−3)2=5．
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
复数的模
【解析】
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．
【解答】
解：由(1−2i)z=3+4i，得z=3+4i1−2i，
∴ |z|＝|3+4i1−2i|=|3+4i||1−2i|=32+4212+(−2)2=5．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
先求出点A的坐标，再求出点A关于实轴的对称点为点B的坐标，可得向量OB→对应的复数．
【解答】
解：由题意可得点A的坐标为(2, −1)，
点A关于实轴的对称点为点B(2, 1)，
则向量OB→对应的复数是2+i.
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数相等的充要条件
【解析】
由复数相等可得xy的方程组，解方程组可得．
【解答】
解：设z=x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）为复数−3+4i的平方根，
则(x+yi)2=x2+2xyi−y2=−3+4i，
∴ 由复数相等可得x2−y2=−3,2xy=4,
解得x=1,y=2或x=−1,y=−2,
∴ z=1+2i或−1−2i.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
复数的基本概念
复数的模
【解析】
利用复数的模的求法直接求出b的值，即可得到复数的虚部．
【解答】
解：因为复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)且|z|=2，
所以1+b2=2，解得b=±3．
故选A．
9.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】

【解答】
解：已知z=m−2+n−1im,n∈R，
若z∈R，则n−1=0，解得n=1，故p1为真命题；
若z为纯虚数，则m=2,n≠1,
所以|z|=|n−1|，故p2为假命题；
因为i1−i=−12+12i，
若z=i1−i，则m−2=−12,n−1=12,
解得m=32,n=32,
所以m=n，故p3为真命题；
当m=3，n=−1时，z=1−2i，
则z=1+2i，故p4为假命题．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
由已知可得点(x, y)在以(1, 0)为圆心，2为半径的圆上，而|z+1|＝|x+yi|=x2+y2，它表示点(x, y)与原点的距离，数形结合得答案．
【解答】
解：∵ z=(x−1)+yi且|z|=2，
∴ (x−1)2+y2=2，即(x−1)2+y2=4，
故点(x, y)在以(1, 0)为圆心，2为半径的圆上.
又|z+1|=|x+yi|=x2+y2，它表示点(x, y)与原点的距离，
则|z+1|的最大值为3．
故选A.
11.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|=2，得到x2+y2=4，即可得到复数z对应点的轨迹是圆.
【解答】
解：设z=x+yi(x,y∈R)，
由|z|=2，
可得|z|2=4，
即x2+y2=4，
∴ z在复平面上对应点的轨迹是圆.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
集合中元素的个数
交集及其运算
【解析】
先根据复数的运算求出集合N，根据交集的定义求出Z∩N，数出元素的个数即可．
【解答】
解：∵ M={i,i2,1i,(1+i)2i}={i, −1, −i, 2}，
∴ Z∩M={−1, 2}，有2个元素.
故选B．
二、填空题
【答案】
64i
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】

【解答】
解：(1+i)10−(1−i)10=(2i)5−(−2i)5=64i.
故答案为：64i.
【答案】
3+4i
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
无
【解答】
解：由已知定义可知2i 3i3i (3−2i)i
=2i×[(3−2i)i]−(3i)2
=−2(3−2i)+9
=3+4i.
故答案为：3+4i.
【答案】
5−3i
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【解答】
解：∵ 平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3+3i，−2+i，−5i，
∴ BA→=OA→−OB→=(3, 3)−(−2, 1)=(5, 2)，
BC→=OC→−OB→=(0, −5)−(−2, 1)=(2, −6)．
∴ BD→=BA→+BC→=(7, −4)，
∴ OD→=OB→+BD→=(−2, 1)+(7, −4)=(5, −3)，
∴ 第四个顶点D对应的复数为5−3i．
故答案为：5−3i．
【答案】
1
【考点】
虚数单位i及其性质
【解析】
直接利用数列求和，结合i的幂运算，即可求解．
【解答】
解：∵ 1−i+i2−i3=0，
∴ 1−i+i2−i3+i4−...+i20
=0×5+i20
=1．
故答案为：1．
三、解答题
【答案】
解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，
则z2=a2−b2+2abi，
由题意得a2+b2=2且2ab=2，
解得a=b=1或a=b=−1，
所以z=1+i或z=−1−i.
(2)当z=1+i时，z2=2i，z−z2=1−i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,−1)，
所以S△ABC=1；
当z=−1−i时，z2=2i，z−z2=−1−3i，
所以A(−1,−1)，B(0,2)，C(−1,−3)，
所以S△ABC=1．
综上，△ABC的面积为1．
【考点】
复数的基本概念
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据复数z=a+bia>0,b>0满足|z|=2,z2的虚部是2．建立关于a，b的两个方程联立解方程组即可得到a，b的值;
根据复数的代数运算法则分别求出，然后求出z,z2,z−z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，可得△ABC的面积.
【解答】
解：(1)设z=a+bi(a,b∈R)，
则z2=a2−b2+2abi，
由题意得a2+b2=2且2ab=2，
解得a=b=1或a=b=−1，
所以z=1+i或z=−1−i.
(2)当z=1+i时，z2=2i，z−z2=1−i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,−1)，
所以S△ABC=1；
当z=−1−i时，z2=2i，z−z2=−1−3i，
所以A(−1,−1)，B(0,2)，C(−1,−3)，
所以S△ABC=1．
综上，△ABC的面积为1．
【答案】
解：(1)由题意得：
z=a+bi=i−21+i=(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−12+32i，
∴ a=−12.
(2)∵ |z−1−i|≤1，
∴ (a−1)2+(b−1)2≤1，
则复数z在复平面上对应的点形成的图形是以(1, 1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，
∴ 所求图形的面积S=π×12=π．
【考点】
复数相等的充要条件
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数相等的条件列式求解a；
把z＝a+bi代入|z−1−i|≤1，可得(a−1)2+(b−1)2≤1，复数z在复平面上对应的点形成的图形是以(1, 1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，再由圆的面积公式求解．
【解答】
解：(1)由题意得：
z=a+bi=i−21+i=(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−12+32i，
∴ a=−12.
(2)∵ |z−1−i|≤1，
∴ (a−1)2+(b−1)2≤1，
则复数z在复平面上对应的点形成的图形是以(1, 1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，
∴ 所求图形的面积S=π×12=π．