2020-2021年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知a>0，b>0且a+3b=1，则2a+8b的最小值为( )
A.22B.33C.6D.8

2. 在△ABC中，已知3sinA=5sinB，sinB+sinC=2sinA，则 C=( )
A.π3B.2π3C.3π4D.5π6

3. 设x∈R，则“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB=1(km)，CD=3(km)，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30∘，山顶C的仰角为60∘，∠BED=120∘，则两山顶A，C之间的距离为（ ）

A.22(km)B.10(km)C.13(km)D.33(km)

5. 等比数列an为递减数列，若a7⋅a14=6，a4+a17=5，则a5a18=（ ）
A.32B.23C.16D.6

6. 若函数f(x)=12x2−x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( )
A.a>14B.−14
7. 设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=( )
A.4B.2C.1D.8

8. 已知x>0，y>0，4x⋅32y=2，则12x+15y的最小值是( )
A.2B.8C.4D.6

9. 函数f(x)=2sinx−x在区间[0, π2]上的最大值点和最大值分别是( )
A.π3和3−π3B.0和0C.π2和2−π2D.0和2

10. 已知函数fx=f′π4csx+sinx，则fπ4等于( )
A.2B.2−1C.1D.0

11. 如果函数f(x)=ax+b在区间[1, 2]上的平均变化率为3，则a=( )
A.−3B.2C.3D.−2

12. 在△ABC中，若2csB⋅sinA=sinC，则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
二、填空题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，c=2，B=45∘.则sinC=________.
三、解答题

已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(3, m)在抛物线上，|MF|=72．
(1)求抛物线的方程；

(2)设直线x=ty+2与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA⊥OB．

已知集合A={x|y=−3x2+16x−16}，B={x|x2−2mx+m2−1≥0}.
(1)求集合A；

(2)若p:x∈A,q:x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要．现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i个农户的年收入xi（万元），年积蓄yi（万元），经过数据处理得i=1100xi=500，i=1100yi=100，i=1100xiyi=1000，i=1100xi2=3750．
(1)已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；

(2)若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在y=bx+a中， b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx，其中x，y为样本平均值．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C−sin2B=23sinAsinC，c=2.
(1)求sinB的值；

(2)设D在BC边上，且BD=AD=2DC，求△ABC的面积．

已知a>0，fx=ex+a1−x，若fx≥0恒成立，求实数a的取值范围．

随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：

(1)根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？

(2)现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d.
临界值表：
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省濮阳市高二（下）3月月考数学(文)试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由已知结合基本不等式即可直接求解．
【解答】
解：因为a>0，b>0且a+3b=1，
则2a+8b≥22a⋅8b=22a+3b=22，
当且仅当a=3b=12即a=12，b=16时取等号.
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由题意，根据正弦定理得到a，b，c之间的关系，将其赋值，再由余弦定理求解即可.
【解答】
解：因为3sinA=5sinB，
由正弦定理可得3a=5b，即a=53b，
又sinB+sinC=2sinA，
由正弦定理可得b+c=2a，即c=2a−b=73b，
由余弦定理可得：
csC=a2+b2−c22ab=−12.
因为0所以C=2π3.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：x2−5x<0⇒0|x−1|<1⇒0故“x2−5x<0”是“|x−1|<1”的必要而不充分条件.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
解三角形
余弦定理
【解析】
由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．
【解答】
解：∵ AB=1，CD=3，∠AEB=30∘，∠CED=60∘，
∴ BE=ABtan30∘=133=3，DE=CDtan60∘=33=3.
则△BDE中，由余弦定理得：
BD2=BE2+DE2−2×BE×DE×cs∠BED
=3+3−2×3×3×(−12)
=9，
∴ BD=3；
∴ AC=BD2+(CD−AB)2
=9+(3−1)2=13，
即两山顶A，C之间的距离为13km．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
等比数列的性质
【解析】
利用等比数列性质得到a4与a17为方程x2−5x+6=0的两个根，求出a4=3，a17=2，得到q13=23，再代入a5a18=1q13即可得到答案.
【解答】
解：等比数列an中，则a7⋅a14=a4⋅a17=6，a4+a17=5，
∴ a4与a17为方程x2−5x+6=0的两个根，
解得a4=2，a17=3或a4=3，a17=2，
∵ 等比数列an为递减数列，
∴ an>an+1，
∴ a4=3，a17=2，
∴ a17=a4q13，q13=23，
∴ a5a18=1q13=32.
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
由f′(x)=x−1+ax=x2−x+ax=0在(0, +∞)有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．
【解答】
解：因为f(x)=12x2−x+alnx有两个不同的极值点，
所以f′(x)=x−1+ax=x2−x+ax=0在(0, +∞)上有2个不同的零点，
所以x2−x+a=0在(0, +∞)上有2个不同的根，
所以Δ=1−4a>0,a>0,
解得0故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
双曲线的应用
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．
【解答】
解：设PF1=m，PF2=n，且m>n.
由题意得S△PF1F2=12mn=4，
∴ mn=8.
∵ m−n=2a，m2+n2=4c2，e=ca=5，
解得：a=1．
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为4x⋅32y=22x+5y，
所以2x+5y=1，
所以12x+15y=12x+15y2x+5y
=5y2x+2x5y+2≥25y2x⋅2x5y+2=2+2=4，
当5y2x=2x5y，且2x+5y=1时，即x=14，y=110时等号成立，
所以12x+15y的最小值是4.
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
导数求函数的最值
【解析】
由f(x)=2sinx−x，知f′(x)=2csx−1，令f′(x)=2csx−1=0，得当x=π3时，f(x)=2sinx−x在[0, π]上的最大值是f(π3)．
【解答】
解：因为f(x)=2sinx−x，
所以f′(x)=2csx−1，
令f′(x)=2csx−1=0，
解得csx=12，
因为x∈[0, π2]，
所以x=π3，
因为当x∈[0,π3)，f′(x)>0，所以f(x)单调递增；
因为当x∈(π3,π2]时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；
所以当x=π3时，f(x)=2sinx−x在[0, π2]上取得最大值，
最大值为2sinπ3−π3=3−π3．
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，f′x=f′π4−sinx+csx，
令x=π4， 则f′π4=f′π4−sinπ4+csπ4，
解得f′π4=2−1，
即fx=2−1csx+sinx，
所以fπ4=2−1csπ4+sinπ4
=2−1×22+22=1．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
求出在区间[1, 2]上的增量△y=f(2)−f(1)，然后利用平均变化率的公式△y△x求平均变化率．
【解答】
解：函数f(x)=ax+b在区间[1, 2]上的增量Δy=f(2)−f(1)=a，
∴ f(x)在区间[1, 2]上的平均变化率为ΔyΔx=a，
∵ 函数f(x)=ax+b在区间[1, 2]上的平均变化率为3，
∴ a=3．
故选C．
12.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵2csB⋅sinA=sinC，
∴2×a2+c2−b22ac⋅a2R=c2R，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形.
故选C．
二、填空题
【答案】
55
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
先由余弦定理求得b，再结合正弦定理求解即可.
【解答】
解：由余弦定理得
b2=a2+c2−2accsB
=32+22−2×3×2cs45∘=5，
则b=5，
由正弦定理得
bsinB=csinC，
代入计算可得
sinC=55.
故答案为：55.
三、解答题
【答案】
(1)解：由题意得|MF|=3+p2=72，
∴ p=1，故抛物线方程为y2=2x．
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由x=ty+2,y2=2x, 消去x整理得y2−2ty−4=0，∴ y1y2=−4.
由y​12=2x1，y​22=2x2，两式相乘，得(y1y2)2=4x1x2，∴ x1x2=4.
∵ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=0．
∴ OA⊥OB．
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）根据抛物线的定义，|MF|等于点M到准线的距离，得|MF|＝3+p2=72，进而求得p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x．
（2）联立直线与抛物线方程得y2−2ty−4＝0，y1y2＝−4，(y1y2)2＝4x1x2，所以x1x2＝4，OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=0．所以OA⊥OB．
【解答】
(1)解：由题意得|MF|=3+p2=72，
∴ p=1，故抛物线方程为y2=2x．
(2)证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由x=ty+2,y2=2x, 消去x整理得y2−2ty−4=0，∴ y1y2=−4.
由y​12=2x1，y​22=2x2，两式相乘，得(y1y2)2=4x1x2，∴ x1x2=4.
∵ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=0．
∴ OA⊥OB．
【答案】
解：(1)∵A={x|y=−3x2+16x−16}，
∴−3x2+16x−16≥0，
则3x−4x−4≤0，
解得43≤x≤4，
即A=x|43≤x≤4.
(2)∵B={x|x2−2mx+m2−1≥0}，
∴由x2−2mx+m2−1>0可得x≤m−1或x>m+1，
∴B={x|x≤m−1或x>m+1}．
∵p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，
∴m−1≥4或m+1≤43，
∴m≥5或m≤13，
即实数m的取值范围是−∞,13∪5,+∞．
【考点】
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵A={x|y=−3x2+16x−16}，
∴−3x2+16x−16≥0，
则3x−4x−4≤0，
解得43≤x≤4，
即A=x|43≤x≤4.
(2)∵B={x|x2−2mx+m2−1≥0}，
∴由x2−2mx+m2−1>0可得x≤m−1或x>m+1，
∴B={x|x≤m−1或x>m+1}．
∵p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，
∴m−1≥4或m+1≤43，
∴m≥5或m≤13，
即实数m的取值范围是−∞,13∪5,+∞．
【答案】
解：(1)由题意知n=100，
则x=1100i=1100xi=500100=5，y=1100i=1100yi=100100=1，
∴b=i=1100xiyi−100xyi=1100xi2−100x2=1000−100×5×13750−100×52=5001250=0.4，
∴a=y−bx=1−0.4×5=−1，
∴线性回归方程为y=0.4x−1．
(2)令y=0.4x−1≥5，
解得x≥15，
∴可预测该农户的年收入最低为15万元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
(Ⅰ)利用题中所给数据和最小二乘法求出相关系数，进而求出线性回归方程；
(Ⅱ)利用线性回归方程进行预测．
【解答】
解：(1)由题意知n=100，
则x=1100i=1100xi=500100=5，y=1100i=1100yi=100100=1，
∴b=i=1100xiyi−100xyi=1100xi2−100x2=1000−100×5×13750−100×52=5001250=0.4，
∴a=y−bx=1−0.4×5=−1，
∴线性回归方程为y=0.4x−1．
(2)令y=0.4x−1≥5，
解得x≥15，
∴可预测该农户的年收入最低为15万元．
【答案】
解：(1)△ABC中， sin2A+sin2C−sin2B=23sinAsinC，
由正弦定理得，a2+c2−b2=23ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=23ac2ac=13.
又B∈0,π，
所以sinB=1−132=223.
(2)如图所示，
设BD=AD=2DC=x，由c=AB=2，
利用余弦定理得， AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅csB，
即x2=22+x2−2×2×x×13，
解得x=3，CD=12x=32，
所以△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB
=12×2×3+32×223=32．
【考点】
正弦定理
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)△ABC中， sin2A+sin2C−sin2B=23sinAsinC，
由正弦定理得，a2+c2−b2=23ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=23ac2ac=13.
又B∈0,π，
所以sinB=1−132=223.
(2)如图所示，
设BD=AD=2DC=x，由c=AB=2，
利用余弦定理得， AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅csB，
即x2=22+x2−2×2×x×13，
解得x=3，CD=12x=32，
所以△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB
=12×2×3+32×223=32．
【答案】
解：∵fx=ex+a1−x(x∈R)，
∴f′x=ex−a，
令f′x=0，则x=lna，
当x∈−∞,lna时，f′x<0，fx单调递减，
当x∈lna,+∞时，f′x>0，fx单调递增，
∴fx在x=lna处取得极小值，
由题意可知fx的最小值为flna=2a−alna，
则2a−alna≥0，
解得a≤e2，∴实数a的取值范围是(0,e2]．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵fx=ex+a1−x(x∈R)，
∴f′x=ex−a，
令f′x=0，则x=lna，
当x∈−∞,lna时，f′x<0，fx单调递减，
当x∈lna,+∞时，f′x>0，fx单调递增，
∴fx在x=lna处取得极小值，
由题意可知fx的最小值为flna=2a−alna，
则2a−alna≥0，
解得a≤e2，∴实数a的取值范围是(0,e2]．
【答案】
解：(1)∵K2=1000×400×200−300×1002700×300×500×500≈47.619>10.88，
∴可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系．
(2)依题意，从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为A，B，C，D，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为a，b，
从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：A,B，A,C，A,D，A,a，A,b，B,C，B,D，B,a，B,b，C,D，C,a，C,b，D,a，D,b，a,b共15种，
其中满足条件的为A,a，A,b，B,a，B,b，C,a，C,b，D,a，D,b共8种情况．
故所求概率P=815.
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵K2=1000×400×200−300×1002700×300×500×500≈47.619>10.88，
∴可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系．
(2)依题意，从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为A，B，C，D，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为a，b，
从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：A,B，A,C，A,D，A,a，A,b，B,C，B,D，B,a，B,b，C,D，C,a，C,b，D,a，D,b，a,b共15种，
其中满足条件的为A,a，A,b，B,a，B,b，C,a，C,b，D,a，D,b共8种情况．
故所求概率P=815.男
女
总计
认为共享产品对生活有益
400
300
700
认为共享产品对生活无益
100
200
300
总计
500
500
1000
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828