2020-2021学年宁夏回族自治区银川市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年宁夏回族自治区银川市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )

A.1B.−1C.2D.−2

2. 0π csxdx等于( )
A.πB.1C.−1D.0

3. 函数y=x2cs2x的导数为( )
A.y′=2xcs2x−x2sin2xB.y′=2xcs2x−2x2sin2x
C.y′=x2cs2x−2xsin2xD.y′=2xcs2x+2x2sin2x

4. 下列说法中正确的个数是( )
①f′x0与[fx0]′表示的意义相同；
②求f′x0时，可先求fx0再求f′x0；
③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点；
④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线；
⑤函数fx=x+1x2的导数是f′x=−1x2+1．
A.1B.2C.3D.4

5. 函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+8，则f(5)+f′(5)=( )

A.12B.1C.2D.0

6. 如图所示：用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )

A.acf(x)dxB.|acf(x)dx|
C.abf(x)dx+bcf(x)dxD.bcf(x)dx−abf(x)dx

7. f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的( )

A.B.
C.D.

8. 原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α，β，γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的哀变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系Nt=N02−t24 ，其中N0为t=0时钍234的含量．已知t=24时，钍234含量的瞬时变化率为−8ln2，则N120=( )
A.12贝克B.12ln2贝克C.6贝克D.6ln2贝克

9. 一物体在力F(x)=2x+3(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=1运动到x=4处，求力F(x)所做的功( )
A.24B.25C.26D.27

10. y=4csx−e|x|图象可能是( )
A.B.
C.D.

11. 已知函数f(x)=x+bex在区间(−∞, 2)上为单调递增函数，则实数b的取值范围是( )
A.(−1, 1)B.[0, 1)C.(1, +∞)D.(−∞, −1]

12. 函数f(x)的定义域为R，f(−1)=2，对任意x∈R，导函数f′(x)>2，则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(−1, 1)B.(−1, +∞)C.(−∞, −1)D.(−∞, +∞)
二、填空题

已知函数f(x)=−x3+ax2−x−1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是________．

若f(x)=x2+2x⋅f′(1)，则f′(0)=________.

对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0，给出定义：设f′x是函数y=fx的导数，f′′x是f′x的导数，若方程f′′x=0有实数解x0，则称点x0,fx0为函数y=fx的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若fx=13x3−12x2+3x−512，请你根据这一发现，则函数fx的对称中心为________．

将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当x=________时，方盒的容积V最大.
三、解答题

已知函数f(x)=x3+x−2．
(1)求曲线y=f(x)在点(2, 8)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

已知函数f(x)=x−1+aex．
(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值.

已知函数fx=ax−2−lnx，a∈R．
(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对∀x∈0,+∞，fx≥bx−3恒成立，求实数b的取值范围．

设函数f(x)=xlnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；

(2)若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，求实数a的取值范围.

已知函数fx=lnx−axa∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若∀x∈0,+∞，fx≤x2恒成立，求实数a的取值范围．

设函数fx=|x+a|+|x+1|．
(1)若a=−1，求不等式fx≤3的解集；

(2)已知关于x的不等式fx+|x+2|≤x+6在x∈−1,1上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年宁夏回族自治区银川市高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
先做出两个自变量对应的函数值，两个函数值的差，用这个差与自变量的差，求两个差的比值得到结果．
【解答】
解：由图可知f(3)=1，f(1)=3，
∴ f(3)−f(1)=1−3=−2，
∴ 函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是
f(3)−f(1)3−1=−22=−1．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
定积分
【解析】
根据定积分的计算法则计算即可．
【解答】
解：0π csxdx=sinx|0π=sinπ−sin0=0.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
根据导数的运算法则和复合函数的求导法则，计算即可
【解答】
解：由题意，得y′=(x2)′cs2x+x2(cs2x)′=2xcs2x−2x2sin2x．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
导数的几何意义
导数的运算
导数的概念
【解析】
无
【解答】
解：①f′x0与[fx0]′表示的意义不相同，[fx0]′=0，故①错误；
②求f′x0时，可先求fx0再求f′x0，即对函数值求导为0，故②错误；
③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点，故③正确；
④与曲线只有一个公共点的直线有可能为割线，故④错误；
⑤函数fx=x+1x2的导数是f′x=−1x2+1，故⑤正确．
综上，可知③⑤正确，正确的有2个．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
导数的几何意义
【解析】
利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′(5)，将切点坐标代入切线方程求出f(5)．
【解答】
解：由题意，得f′(5)=−1，
将x=5代入切线方程得y=f(5)=−5+8=3，
所以f(5)+f′(5)=3+(−1)=2.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
定积分在求面积中的应用
【解析】
先将阴影部分的面积用定积分表示bcf(x)dx−abf(x)dx，然后根据定积分的意义进行选择即可．
【解答】
解：由定积分的几何意义可知，S=bcf(x)dx−abf(x)dx.
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
由导函数图象可知，f(x)在(−∞, −2)，(0, +∞)上单调递减，在(−2, 0)上单调递增；从而得到答案．
【解答】
解：由导函数图象可知，
f(x)在(−∞, −2)，(0, +∞)上单调递减，
在(−2, 0)上单调递增.
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
实际问题中导数的意义
【解析】
利用导数与指数幂的运算得解，难度适中.
【解答】
解：由题意得N′t=N02−t24−124ln2，
N′24=N02−1×−124ln2=−8ln2，
解得N0=383，
解得N120=12.
故选A.
9.
【答案】
A
【考点】
定积分
【解析】
直接应用定积分在物理中的应用公式求解．
【解答】
解：由变力做功公式，得W=14F(x)dx=14(2x+3)dx
=(x2+3x)|14=(42+3×4)−(12+3×1)=24，
∴ 从x=1运动到x=4处，力F(x)所做的功为24N.
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的图象
【解析】
先验证函数y=4csx−e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．
【解答】
解：当x>0时，∵ y=4csx−ex，∴ y′=−4sinx−ex，
当00，
∴ y′=−4sinx−ex4，
y′=−4sinx−ex0时，y′−1，
∴ b≤−1.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
其他不等式的解法
利用导数研究函数的单调性
【解析】
把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F(x)构成一个函数，把x=−1代入F(x)中，由f(−1)=2出F(−1)的值，然后求出F(x)的导函数，根据f′(x)>2，得到导函数大于0即得到F(x)在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F(x)大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．
【解答】
解：设F(x)=f(x)−(2x+4)，
则F(−1)=f(−1)−(−2+4)=2−2=0，
又对任意x∈R，f′(x)>2，
所以F′(x)=f′(x)−2>0，
即F(x)在R上单调递增，
则F(x)>0的解集为(−1, +∞)，
即f(x)>2x+4的解集为(−1, +∞)．
故选B.
二、填空题
【答案】
[−3,3]
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
由求导公式和法则求出f′(x)，由题意和导数与函数单调性的关系可得：f′(x)≤0在R上恒成立，利用二次函数的图象和△列出不等式，求出实数a的取值范围．
【解答】
解：由题意知f(x)=−x3+ax2−x−1，
则f′(x)=−3x2+2ax−1，
∵ f(x)=−x3+ax2−x−1在R上是单调函数，
∴ f′(x)=−3x2+2ax−1≤0在R上恒成立，
∴ Δ=(2a)2−4×(−3)×(−1)≤0，
解得−3≤a≤3，
∴ 实数a的取值范围是[−3,3].
故答案为：[−3,3].
【答案】
−4
【考点】
导数的运算
【解析】
要求某点处函数的导数，应先求函数解析式f(x)，本题求函数解析式f(x)关键求出未知f′(1)．
【解答】
解：∵ f(x)=x2+2x⋅f′(1)，
∴ f′(x)=2x+2f′(1)，
∴ f′(1)=2+2f′(1)，
∴ f′(1)=−2，
∴ f(x)=x2−4x，
∴ f′(x)=2x−4，
∴ f′(0)=−4．
故答案为：−4.
【答案】
12,1
【考点】
简单复合函数的导数
函数新定义问题
【解析】
先求f′(x)得解析式，再求f′′(x)，由f′′(x)=0求得拐点的横坐标．代入函数解析式求拐点的级坐标．
【解答】
解：依题意，得f′(x)=x2−x+3，
∴ f′′(x)=2x−1．
令f′′(x)=0，即2x−1=0，
解得x=12，
又f12=1，
∴ 函数fx=13x3−12x2+3x−512的对称中心为12,1.
故答案为：12,1．
【答案】
a6
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】
（1）由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a−2x，高为x，从而写出函数表达式；
【解答】
解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，
所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a−2x，高为x，
所以无盖方盒的容积V(x)=(a−2x)2x，00时，令f′x=0，得ex=a，x=lna .
当x∈−∞,lna时，f′x0 ，
所以fx在−∞,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
故f(x)在x=lna处取得极小值，且极小值为flna=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0，fx在x=lna处取得极小值lna，无极大值．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
.
.
【解答】
解∶(1)由fx=x−1+aex，
得f′x=1−aex，
又曲线y=fx在点1,f(1)处的切线平行于x轴，
得f′1=0，即1−ae=0，
解得a=e .
(2)f′x=1−aex，
①当a≤0时，f′x>0，f(x)为−∞,+∞上的增函数，
所以函数f(x)无极值；
②当a>0时，令f′x=0，得ex=a，x=lna .
当x∈−∞,lna时，f′x0 ，
所以fx在−∞,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
故f(x)在x=lna处取得极小值，且极小值为flna=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0，fx在x=lna处取得极小值lna，无极大值．
【答案】
解：(1)在区间(0,+∞)上，f′x=a−1x=ax−1x，
①若a≤0，则f′(x)0，令fx=0，得x=1a，
在区间0,1a上，f′x0，fx单调递增；
综上所述，①当a≤0时，fx的单调递减区间是(0,+∞)，无单调递增区间；
②当a>0时，fx的单调递增区间是1a,+∞，
单调递减区间是0,1a．
(2)因为函数fx在x=1处取得极值，所以f′(1)=0，
解得a=1，经检验满足题意．
由已知fx≥bx−3，对∀x∈0,+∞恒成立，
即x+1−lnxx≥b恒成立.
令gx=x+1−lnxx=1+1x−lnxx，
则g′(x)=−1x2−1−lnxx2=lnx−2x2，
令g′(x)=0，解得x=e2，
在区间(0,e2)上，g′(x)0，g(x)单调递增，
所以gxmin=ge2=1−1e2，即b≤1−1e2，
所以实数b的取值范围为(−∞,1−1e2).
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
函数在某点取得极值的条件
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)在区间(0,+∞)上，f′x=a−1x=ax−1x，
①若a≤0，则f′(x)0，令fx=0，得x=1a，
在区间0,1a上，f′x0，fx单调递增；
综上所述，①当a≤0时，fx的单调递减区间是(0,+∞)，无单调递增区间；
②当a>0时，fx的单调递增区间是1a,+∞，
单调递减区间是0,1a．
(2)因为函数fx在x=1处取得极值，所以f′(1)=0，
解得a=1，经检验满足题意．
由已知fx≥bx−3，对∀x∈0,+∞恒成立，
即x+1−lnxx≥b恒成立.
令gx=x+1−lnxx=1+1x−lnxx，
则g′(x)=−1x2−1−lnxx2=lnx−2x2，
令g′(x)=0，解得x=e2，
在区间(0,e2)上，g′(x)0，g(x)单调递增，
所以gxmin=ge2=1−1e2，即b≤1−1e2，
所以实数b的取值范围为(−∞,1−1e2).
【答案】
解：(1)∵ f(x)=xlnx，
∴ f′(x)=lnx+1，
∴ f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率k=f′(1)=1，且f(1)=0，
∴ 切线方程为y=x−1.
(2)∵ F(x)=f(x)−ax2，
∴ F′(x)=f′(x)−2ax=lnx+1−2ax．
又F(x)有两个极值点，
∴ F′(x)有两个零点，即lnx+1−2ax=0有两个不等实根，
即2a=1+lnxx，
令g(x)=1+lnxx，则g′(x)=−lnxx2，
∵ 在(0, 1)上，g′(x)>0，
∴ g(x)在(0, 1)上单调递增；
又在(1, +∞)上，g′(x)f(x1)−m2x12，结合已知不等式的特点可构造函数，结合导数分析新函数的性质，可求．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=xlnx，
∴ f′(x)=lnx+1，
∴ f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率k=f′(1)=1，且f(1)=0，
∴ 切线方程为y=x−1.
(2)∵ F(x)=f(x)−ax2，
∴ F′(x)=f′(x)−2ax=lnx+1−2ax．
又F(x)有两个极值点，
∴ F′(x)有两个零点，即lnx+1−2ax=0有两个不等实根，
即2a=1+lnxx，
令g(x)=1+lnxx，则g′(x)=−lnxx2，
∵ 在(0, 1)上，g′(x)>0，
∴ g(x)在(0, 1)上单调递增；
又在(1, +∞)上，g′(x)0，
①当a≤0时，f′x>0，
∴ 函数fx在0,+∞上单调递增；
②当a>0时，令f′x>0，即1x−a>0，
解得00，gx单调递增；
当x∈1,+∞时， ℎx0，
∴ 函数fx在0,+∞上单调递增；
②当a>0时，令f′x>0，即1x−a>0，
解得00，gx单调递增；
当x∈1,+∞时， ℎx