2020-2021学年河南省周口市高二（下）4月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省周口市高二（下）4月月考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数z满足z=2i⋅1−i，则z=( )
A.2−2iB.2+2iC.−2+2iD.−2−2i

2. 曲线y=x+2x在点2,2处的切线方程为( )
A.x+2y−6=0B.2x+y−6=0C.x+y−4=0D.x−y=0

3. 用反证法证明命题：“已知x，y，z为实数，且满足xyz>0，则x，y，z中至少有一个是正数”时，假设正确的是( )
A.假设x，y，z都不是正数
B.假设x，y，z中至多有一个是正数
C.假设x，y，z不都是正数
D.假设x，y，z至少有一个不是正数

4. 已知函数fx=lnax+2的导函数是f′x，且f′2=−32，则实数a的值为( )
A.13B.−59C.3D.−34

5. 观察下列各式：31=3，32=9，33=27，⋯，则32021的末位数字为( )
A.1B.3C.7D.9

6. 如图是函数y=fx的导函数y=f′x的图像，则函数y=fx的极值点的个数为( )

A.0B.1C.2D.3

7. 已知函数fx=x2−4x+aex在区间−2,3上单调递减，则a的取值范围是( )
A.(−∞,5]B.(−∞,−4]C.(−∞,1]D.(−∞,−8]

8. 已知i是虚数单位，设复数z满足|z−1+2i|=3，则|z+2−2i|的取值范围是( )
A.2,8B.3,5C.0,6D.3,6

9. 用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n>n2n∈N∗的第二步从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是( )
A.2k−1B.2kC.2k−1D.2k+1

10. 已知在平面内，“正三角形的内切圆与外接圆面积之比为14”，拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，正四面体的内切球与外接球的体积之比为( )
A.14B.19C.18D.127

11. 已知定义在R上的可导函数fx对于任意实数x都有f−x+fx=−2x2 成立，且当x∈(−∞,0]时，都有f′x1e，则函数fx=ax−lnx无零点．

如图，某城市有一个古建筑博物馆，古建筑博物馆的外围有两条相互垂直的直线型公路，为了方便游客参观，计划修建一条连接两条公路并经过古建筑博物馆边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1,l2，古建筑博物馆边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=ax2+b（其中a，b为常数）模型，且曲线C的两个边界点为8,125，40,5（单位：百米）设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t．

(1)请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域：

(2)当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

已知数列an是等差数列，a2=3，S8=64．
(1)求数列an的通项公式an；

(2)设数列bn的通项bn=1+1an，记Tn是数列bn的前n项积．试比较Tn与3an+1的大小，并证明你的结论．

已知函数fx=excsx−sinx（其中e是自然对数的底数）.
(1)求函数fx的图像在x=π2处的切线方程；

(2)记gx=fx−ax+sinx，若1232n+1=3an+1 对n∈N∗成立，
所以Tn>3an+1 ．
【答案】
解：(1)f′x=excsx−exsinx−csx=excsx−sinx−csx，
f′π2=−eπ2， fπ2=−1,
所以fx在x=π2处的切线方程为
y+1=−eπ2(x−π2)，即y=−eπ2x+π2eπ2−1．
(2)gx=excsx−sinx−ax+sinx=excsx−ax，x∈[−π2,π2]，
g′(x)=excsx−exsinx−a=ex(csx−sinx)−a，
令ℎx=g′x，
则ℎ′x=excsx−sinx+ex−sinx−csx=−2exsinx，
当−π2