2020-2021年安徽省宣城市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年安徽省宣城市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列说法错误的是( )
A.向量OA→的长度与向量AO→的长度相等
B.零向量与任意非零向量平行
C.长度相等方向相反的向量共线
D.方向相反的向量可能相等

2. 已知向量a→=1,−3,b→=(3,12)，则a→+2b→=( )
A.7,−2B.7,2C.(5,−112)D.(−5,−112)

3. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

4. 已知向量a→,b→的夹角为3π4，|a|→=2，|b|→=1，则|3a→−b→|=( )
A.4B.5C.42D.52

5. △ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p→=(a+c,b)，q→=(b−a,c−a)，若p→ // q→，则C等于( )
A.π6B.π3C.π2D.2π3

6. 已知向量a→，b→不共线，且AB→=a→+2b→，BC→=−5a→+6b→，CD→=7a→−2b→，则一定共线的三点是( )
A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D

7. 在△ABC中，若lgsinA−lgcsB−lgsinC=lg2，则该三角形的形状是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

8. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点， BE⊥AC．若BE→=λBA→+μBC→，则λ+μ的值为( )

A.−925B.2516C.1625D.1
二、多选题

有下列说法，其中错误的说法为（ ）
A.若a→//b→,b→//c→，则a→//c→
B.若PA→⋅PB→=PB→⋅PC→=PC→⋅PA→，则P是三角形ABC的垂心
C.两个非零向量a→,b→，若|a→−b→|=|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向
D.若a→//b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→

设向量a→=(2, 0)，b→=(1, 1)，则（ ）
A.|a→|=|b→|B.(a→−b→) // b→
C.(a→−b→)⊥b→D.a→与b→的夹角为π4

对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B.若A>B，则sinA>sinB
C.若a=8，c=10，B=60∘，则符合条件的△ABC有两个
D.若sin2A+sin2B
已知向量a→=(2,1)，b→=(1,−1)，c→=(m−2,−n)，其中m，n均为正数，且a→−b→//c→，下列说法正确的是( )
A.a→与b→的夹角为钝角
B.向量a→在b→方向上的投影为55
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
三、填空题

已知AB→=(2,3)，AC→=(−1,m)，若AB→⊥BC→，则实数m的值为________．

在平行四边形ABCD中，AD→⋅AB→=|BD→|=5，AC→⋅BD→=0，则该四边形ABCD的面积是________.

在△ABC中，若C=60∘，BC=2AC=23，点D在边BC上，且BD→=2DC→，sin∠BAD=________.

已知平面向量a→，b→ 的夹角为120∘，且|a→|=2，|b→|=5，则b→在a→方向上的投影是________，|a→−λb→|(λ∈R)的最小值是________．
四、解答题

已知α，β为锐角，csα=17，cs(α+β)=−1114．
(1)求sin(α+β)的值；

(2)求csβ的值.

已知函数fx=2sinxcsx−2sin2x+1．
(1)求fπ4的值及函数的最小正周期；

(2)求fx在区间−π2,0上的最值及对应的x值．

已知函数fx=sinxcsx+3sinx−32．
(1)求fπ3的值及函数fx的单调增区间；

(2)若∀x∈π12,π2，不等式m
已知在直角坐标系中（O为坐标原点），OA→=2,5，OB→=3,1，OC→=x,3．
(1)若A，B，C共线，求x的值；

(2)当x=6时，直线OC上存在点M使MA→⊥MB→，求点M的坐标．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsB=2a−b.
(1)求C的大小；

(2)若CA→−12CB→=2，求△ABC面积的最大值．

在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足∠BAD=90∘），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120∘，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD=60∘，路宽AD=24m．设灯柱高AB=ℎm，∠ACB=θ30∘≤θ≤45∘．

(1)当θ=30∘时，求四边形ABCD的面积；

(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；

(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021年安徽省宣城市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
相等向量与相反向量
平行向量（共线向量）
零向量
【解析】
向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况．向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项．
【解答】
解：A．向量OA→与向量AO→的方向相反，长度相等，故A正确；
B．规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C．能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D．长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D错误．
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a→=(1,−3)，b→=(3,12)，
所以a→+2b→=7,−2．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，
EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→
=AB→−12×12AB→+AC→
=34AB→−14AC→.
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积
向量的模
【解析】
根据平面向量的数量积公式可得a→⋅b→=−1，再根据3a→−b→=3a→−b→2可求得结果．
【解答】
解：因为a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cs3π4
=2×1×−22=−1，
所以3a→−b→=3a→−b→2
=9a→2−6a→⋅b→+b→2
=18+6+1=5.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
因为p→ // q→，根据向量平行定理可得(a+c)(c−a)=b(b−a)，展开即得b2+a2−c2=ab，又根据余弦定理可得角C的值．
【解答】
解：∵ p→ // q→，
∴ (a+c)(c−a)=b(b−a)，
∴ b2+a2−c2=ab，
∴ csC=b2+a2−c22ab=ab2ab=12.
∵ C∈(0,π)，
∴ C=π3.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
向量的共线定理
【解析】
先判断向量BD→与AB→共线，又有公共点，进而判断出三点共线．
【解答】
解：∵ BD→=BC→+CD→=−5a→+6b→+7a→−2b→
=2a→+4b→=2AB→，
∴ AB→ // BD→，
又∵直线AB，BD有公共点B，
∴点A，B，D在同一条直线上．
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
对数及其运算
【解析】
利用对数的运算法则可求得sinAcsB⋅sinα=2，利用正弦定理求得csB根据余弦定理求得csB的表达式进而建立等式，整理求得b=c，判断出三角形为等腰三角形．
【解答】
解：∵lgsinA−lgcsB−lgsinC=lg2，
∴sinAcsB⋅sinC=2，
由正弦定理得asinA=csinC，即sinAsinC=ac，
∴csB=a2c，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=a2c，
整理得c2=b2，即c=b，
∴ △ABC的形状是等腰三角形.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的坐标运算
【解析】
无
【解答】
解：建立如图所示的坐标系，
因为AB=3，BC=4，
所以B0,0，A0,3，C4,0，
所以BA→=0,3，AC→=4,−3，BC→=(4,0)，
设BE→=a,3，
因为BE⊥AC，
所以AC→⋅BE→=4a−9=0，解得a=94．
因为BE→=λBA→+μBC→，即94,3=λ0,3+μ4,0，
所以4μ=94,3λ=3,
解得λ=1,μ=916,
所以λ+μ=2516.
故选B．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
命题的真假判断与应用
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A中，若b→=0→，a→，c→均不为零向量，
则a→，c→未必平行，选项错误；
B中，由于PA→⋅PB→=PA→⋅PC→⇒PA→⋅(PB→−PC→)=0
⇒PA→⋅CB→=0，故PA⊥CB，
同理PB⊥CA， PC⊥BA，故P为三角形ABC的垂心，选项正确；
C中，由于|a→−b→|=|a→|+|b→|⇒|a→−b→|2=(|a→|+|b→|)2，
化简得，−2a→⋅b→=2|a→|⋅|b→|⇒cs=−1，
故a→与b→共线且反向，选项正确；
D中，若b→=0→，a→≠0→，则不存在实数λ，使得a→=λb→，选项错误.
故选AD.
【答案】
C,D
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
可以求出|a→|=2,|b→|=2，从而判断A错误；容易得出(a→−b→)⋅b→=0，从而判断B错误，C正确；可以求出cs=22，从而判断D正确．
【解答】
解：∵ |a→|=2，|b→|=2，∴ A错误；
a→−b→=(1,−1)，∴ (a→−b→)⋅b→=1−1=0，∴ (a→−b→)⊥​→b，∴ B错误，C正确；
∵ cs=a→⋅b→|a→||b→|=222=22，且0≤≤π，∴ a→与b→的夹角为π4，∴ D正确．
故选CD.
【答案】
B,D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断．
【解答】
解：A，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，
当A=B时，△ABC为等腰三角形；
当A+B=π2时，△ABC为直角三角形，故A不正确；
B，若A>B，则a>b，
由正弦定理asinA=bsinB=2R，得2RsinA>2RsinB，
即sinA>sinB成立，故B正确；
C，由余弦定理可得b=82+102−2×8×10×12=84，只有一解，故C错误；
D，若sin2A+sin2B∴csC=a2+b2−c22ab<0，∴ C为钝角，∴ △ABC是钝角三角形，故D正确.
故选BD．
【答案】
C,D
【考点】
向量的投影
基本不等式在最值问题中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，a→⋅b→=2×1+1×−1=1>0，
故a→，b→的夹角为锐角，A错误；
B，向量a→在b→方向上的投影为：
a→⋅b→|b→|=112+−12=22，B错误；
C，a→−b→=(1,2)，
由a→−b→//c→，得1×(−n)−2×(m−2)=0，
即2m+n=4，C正确；
D，由基本不等式得4=2m+n≥22mn，即mn≤2，
当且仅当2m=n=2时取等号，
因此mn的最大值为2，D正确．
故选CD．
三、填空题
【答案】
5
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．
【解答】
解：∵ 已知AB→=(2,3)，AC→=(−1,m)，
∴ BC→=AC→−AB→=(−3, m−3)．
若AB→⊥BC→，
∴ AB→⋅BC→=−6+3(m−3)=0，
则实数m=5．
故答案为：5．
【答案】
1552
【考点】
平面向量数量积
【解析】
由题意可知，该四边形是菱形，然后建立坐标系，容易求出另一条对角线的长，面积可求．
【解答】
解：∵AC→⋅BD→=0，∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
如图建立平面直角坐标系，设|AC|=2x，
则A(−x, 0)，B(0, −52)，C(x, 0)，D(0, 52)．
∴ AD→⋅AB→=(x,52)⋅(x,−52)=x2−254=5，
解得x=352，所以|AC|=35．
所以四边形ABCD的面积为
12×|AC|×|BD|=12×35×5=1552．
故答案为：1552.
【答案】
277
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由余弦定理可得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcsC ，
即AB2=3+12−2×3×23×12=9，
所以|AB|=3.
因为BD→=2DC→ ，
所以|BD|=23×23=433.
由正弦定理可得ACsinB=ABsinC，即3sinB=332，
解得sinB=12.
因为|AC|<|BC|，且B∈(0,π)，
所以B=π6.
由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB，
即AD2=9+4332−2×3×433×32=73，
解得|AD|=213.
由正弦定理可得|AD|sinB=|BD|sin∠BAD，即21312=433sin∠BAD，
解得sin∠BAD=277.
故答案为：277.
【答案】
−52,3
【考点】
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
向量的投影
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为平面向量a→，b→的夹角为120∘，且|a→|=2，|b→|=5，
所以向量b→在a→方向上的投影为
|b→|cs=5×cs120∘=−52.
因为a→−λb2=|a→|2+λ2|b→|2−2λ|a→||b→|cs120∘
=4+25λ2+10λ
=25λ+152+3，
所以当λ=−15时， |a→−λb→|min=3．
故答案为：−52；3．
四、解答题
【答案】
解：(1)因为α，β为锐角，csα+β=−1114，
所以π2<α+β<π，
所以sinα+β=1−cs2α+β
=1−−11142
=5314.
(2)因为α为锐角，csα=17，
所以sinα=1−cs2α=1−172=437，
所以csβ=csα−α+β
=csα⋅csα+β+sinα⋅sinα+β
=17×−1114+437×5314
=12.
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的余弦公式
【解析】
由α和β都为锐角，得到α+β的范围，进而由csα及cs(α+β)的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sin(α+β)的值，然后把所求式子中的角β变为(α+β)−α，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】
解：(1)因为α，β为锐角，csα+β=−1114，
所以π2<α+β<π，
所以sinα+β=1−cs2α+β
=1−−11142
=5314.
(2)α为锐角，csα=17，
所以sinα=1−cs2α=1−172=437，
所以csβ=csα−α+β
=csα⋅csα+β+sinα⋅sinα+β
=17×−1114+437×5314
=12.
【答案】
解：(1)因为fx=2sinxcsx−2sin2x+1
=sin2x+cs2x
=2sin2x+π4，
所以fπ4=2sinπ2+π4=1，
fx的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π．
(2)因为x∈−π2,0，
所以−3π4≤2x+π4≤π4，
所以sin2x+π4∈−1,22，
当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，fx取得最小值为−2，
当2x+π4=π4，即x=0时，fx取得最大值为1．
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
正弦函数的周期性
函数的求值
两角和与差的正弦公式
三角函数的最值
【解析】
本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的性质，考查了函数思想．
本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的性质，考查了函数思想．
【解答】
解：(1)因为fx=2sinxcsx−2sin2x+1
=sin2x+cs2x
=2sin2x+π4，
所以fπ4=2sinπ2+π4=1，
fx的最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π．
(2)因为x∈−π2,0，
所以−3π4≤2x+π4≤π4，
所以sin2x+π4∈−1,22，
当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，fx取得最小值为−2，
当2x+π4=π4，即x=0时，fx取得最大值为1．
【答案】
解：(1)fx=sinxcsx+3sinx−32
=sinxcsx+3sin2x−32
=12sin2x+3×1−cs2x2−32
=sin2x−π3，
所以fπ3=sin2×π3−π3=sinπ3=32，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以fx的单调递增区间是−π12+kπ,5π12+kπ，k∈Z．
(2)因为x∈π12,π2，
所以2x−π3∈−π6,2π3，
所以当2x−π3=π2时，fx取得最大值1，
当2x−π3=−π6时，fx取得最小值−12．
因为m所以m<−12，m+2>1，
解得−1所以实数m的取值范围是−1,−12．
【考点】
正弦函数的单调性
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
三角函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：(1)fx=sinxcsx+3sinx−32
=sinxcsx+3sin2x−32
=12sin2x+3×1−cs2x2−32
=sin2x−π3，
所以fπ3=sin2×π3−π3=sinπ3=32，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以fx的单调递增区间是−π12+kπ,5π12+kπ，k∈Z．
(2)因为x∈π12,π2，
所以2x−π3∈−π6,2π3，
所以当2x−π3=π2时，fx取得最大值1，
当2x−π3=−π6时，fx取得最小值−12．
因为m所以m<−12，m+2>1，
解得−1所以实数m的取值范围是−1,−12．
【答案】
解：(1)AB→=OB→−OA→=1,−4，
BC→=OC→−OB→=x−3,2，
∵ A，B，C共线，
∴ AB→//BC→，∴ 2+4x−3=0，
解得x=52．
(2)∵ M在直线OC上，
∴ 设OM→=λOC→=6λ,3λ，
∴ MA→=OA→−OM→=2−6λ,5−3λ，
MB→=OB→−OM→=3−6λ,1−3λ，
∵ MA→⊥MB→，
∴ 2−6λ3−6λ+5−3λ1−3λ=0，
即45λ2−48λ+11=0，
解得λ=13或1115．
∴ OM→=(2,1)或225,115，
∴ 点M的坐标为2,1或225,115．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)AB→=OB→−OA→=1,−4，
BC→=OC→−OB→=x−3,2，
∵ A，B，C共线，
∴ AB→//BC→，∴ 2+4x−3=0，
解得x=52．
(2)∵ M在直线OC上，
∴ 设OM→=λOC→=6λ,3λ，
∴ MA→=OA→−OM→=2−6λ,5−3λ，
MB→=OB→−OM→=3−6λ,1−3λ，
∵ MA→⊥MB→，
∴ 2−6λ3−6λ+5−3λ1−3λ=0，
即45λ2−48λ+11=0，
解得λ=13或1115．
∴ OM→=(2,1)或225,115，
∴ 点M的坐标为2,1或225,115．
【答案】
解：(1)∵ 2ccsB=2a−b，
∴2sinCcsB=2sinA−sinB，
∴ 2sinCcsB=2sinB+C−sinB，
∴ 2sinBcsC=sinB.
∵sinB≠0，
∴ csC=12.
∵C∈(0,π)，
∴C=π3．
(2)取BC中点D，则CA→−12CB→=2=|DA→|，
在△ADC中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcsC，
即4=b2+a22−ab2，
≥2a2b24−ab2=ab2，
∴ab≤8，当且仅当a=4，b=2时取等号．
此时S△ABCmax=12absinC=34×8=23.
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
诱导公式
基本不等式在最值问题中的应用
余弦定理
【解析】
无
【解答】
解：(1)∵ 2ccsB=2a−b，
∴2sinCcsB=2sinA−sinB，
∴ 2sinCcsB=2sinB+C−sinB，
∴ 2sinBcsC=sinB.
∵sinB≠0，
∴ csC=12.
∵C∈(0,π)，
∴C=π3．
(2)取BC中点D，则CA→−12CB→=2=|DA→|，
在△ADC中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcsC，
即4=b2+a22−ab2，
≥2a2b24−ab2=ab2，
∴ab≤8，当且仅当a=4，b=2时取等号．
此时S△ABCmax=12absinC=34×8=23.
【答案】
解：(1)因为θ=30∘，∠ABC=120∘，
所以∠BAC=∠BCA=30∘，
又∠BAD=90∘，
所以∠CAD=60∘，
又∠ACD=60∘，
所以△ACD为正三角形，
所以AC=24m，
在△ABC中，因为ABsin∠ACB=ACsinB，
所以AB=ACsin30∘sin120∘=83(m)，
故四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD
=12×832×sin120∘+12×242×sin60∘=1923(m2).
(2)因为∠ABC=120∘，∠ACB=θ，
所以∠BAC=60∘−θ，
又因为灯柱AB与地面垂直，即∠BAD=90∘，
所以∠CAD=30∘+θ，
因为∠ACD=60∘，
所以∠ADC=90∘−θ，
在△ACD中，因为ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，
所以AC=24csθsin60∘=163csθ，
在△ABC中，因为ABsin∠ACB=ACsinB，
所以ℎ=AB=ACsinθsin120∘=16sin2θ30∘≤θ≤45∘．
(3)在△ABC中，因为BCsin∠BAC=ACsinB，
所以BC=ACsin60∘−θsin120∘=32csθsin60∘−θ
=83+83cs2θ−8sin2θ，
则S=AB+BC=83+83cs2θ+8sin2θ
=83+16sin2θ+60∘，
因为30∘≤θ≤45∘，所以120∘≤2θ+60∘≤150∘，
所以当θ=45∘时， Smin=83+8．
【考点】
正弦定理
根据实际问题选择函数类型
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)因为θ=30∘，∠ABC=120∘，
所以∠BAC=∠BCA=30∘，
又∠BAD=90∘，
所以∠CAD=60∘，
又∠ACD=60∘，
所以△ACD为正三角形，
所以AC=24m，
在△ABC中，因为ABsin∠ACB=ACsinB，
所以AB=ACsin30∘sin120∘=83(m)，
故四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD
=12×832×sin120∘+12×242×sin60∘=1923(m2).
(2)因为∠ABC=120∘，∠ACB=θ，
所以∠BAC=60∘−θ，
又因为灯柱AB与地面垂直，即∠BAD=90∘，
所以∠CAD=30∘+θ，
因为∠ACD=60∘，
所以∠ADC=90∘−θ，
在△ACD中，因为ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，
所以AC=24csθsin60∘=163csθ，
在△ABC中，因为ABsin∠ACB=ACsinB，
所以ℎ=AB=ACsinθsin120∘=16sin2θ30∘≤θ≤45∘．
(3)在△ABC中，因为BCsin∠BAC=ACsinB，
所以BC=ACsin60∘−θsin120∘=32csθsin60∘−θ
=83+83cs2θ−8sin2θ，
则S=AB+BC=83+83cs2θ+8sin2θ
=83+16sin2θ+60∘，
因为30∘≤θ≤45∘，所以120∘≤2θ+60∘≤150∘，
所以当θ=45∘时， Smin=83+8．