2020-2021学年河南省漯河市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省漯河市高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知全集 U={0,1,2,3,4} ，集合 A={1,2,3},B={2,4}，则 (∁UA)∪B 为( )

A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}

2. 根据变量x，y的观测数据得到的散点图如图所示，则( )

A.变量x与y正相关
B.变量x与y负相关
C.变量x与y可能正相关，也可能负相关
D.变量x与y没有相关性

3. 设命题p:∀x∈R，x2+1>0，则¬p为( )
A.∃x0∈R，x02+1>0B.∃x0∈R，x02+1≤0
C.∃x0∈R，x02+1<0D.∀x∈R，x2+1≤0

4. 已知α是第二象限角，sinα=513，则csα=( )
A.−513B.1213C.513D.−1213

5. 若二次函数g(x)满足g(1)=1，g(−1)=5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2x2−3xB.g(x)=3x2−2x
C.g(x)=3x2+2xD.g(x)=−3x2−2x

6. 数列2，5，11，20，x，47，⋯中的x等于( )
A.28B.32C.33D.27

7. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2=3，则S6S4等于( )
A.2B.1或2C.310D.73

8. 函数f(x)=1−2x+1x+3的定义域为( )
A.(−3, 0]B.(−3, 1]
C.(−∞, −3)∪(−3, 0]D.(−∞, −3)∪(−3, 1]

9. f′(x)是函数f(x)=13x3+2x+1的导函数，则f′(−1)的值为( )
A.0B.−73C.4D.3

10. 若复数z=m2+2m+(m2+3m+2)i是纯虚数，则实数m的值是( )
A.0B.−2C.0或−2D.−1

11. 设复数z=2−1−i，则z⋅z等于( )
A.1B.2C.2D.4

12. 如图所示的结构图中“古典概型”的上位是( )

A.频率B.随机事件
C.频率、概率的意义与性质D.概率的应用
二、填空题

计算−4−6i−3+2i+5+4i=________.

“x=0且y=0”的否定形式为________．

在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为A(3, π3)，B(4, π6)，则△OBA（其中O为极点）的面积为________．

若1−3i+z=6+2i，则复数z=________．
三、解答题

在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查．调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．
(1)请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？
注：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d为样本容量.

在一段时间内，某种商品价格x（万元）和需求量y(t)之间的一组数据为：

(1)求出y对x的线性回归方程；

(2)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx.

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：

(1)直线EG//平面BDD1B1；

(2)平面EFG//平面BDD1B1．

已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4=117，a2+a5=22．
(1)求通项an；

(2)求Sn的最小值.

已知函数fx=x4+ax−lnx−32，其中a∈R，且曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=−2x．
(1)求a的值：

(2)求函数fx的单调区间．

已知椭圆C:x2+3y2=3，过点D(1, 0)且不过点E(2, 1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
(1)求椭圆C的离心率；

(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省漯河市高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得∁UA={0,4},
∵ B={2,4},
∴ (∁UA)∪B ={0,2,4}.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
散点图
【解析】
通过观察散点图可以知道，y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y与x正相关．
【解答】
解：由题图可知，y随x的增大而增大，各点整体呈上升趋势，
所以y与x正相关．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
全称命题与特称命题
命题的否定
【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得到结论．
【解答】
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题p：∀x∈R，x2+1>0的否定为∃x0∈R，x02+1≤0．
即¬p为：∃x0∈R，x02+1≤0．
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数间的基本关系
象限角、轴线角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：csα=−1−sin2α
=−1−5132=−1213.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
设出函数的解析式，利用已知条件列出方程，求解即可．
【解答】
解：由题意知，二次函数gx满足g1=1，g−1=5且图象过原点.
设二次函数为gx=ax2+bx，
可得：a+b=1，a−b=5，
解得a=3，b=−2，
所以gx=3x2−2x.
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 5−2=3=1×3，11−5=6=2×3，20−11=9=3×3，
∴ x−20=4×3=12，47−x=5×3=15，
∴ x=32.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
利用等比数列的前n项和公式求解．
【解答】
解：∵ Sn是等比数列{an}的前n项和，S4S2=3，
∴ a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1+q2=3，
∴ q2=2，
∴ S6S4=a1(1−q6)1−qa1(1−q4)1−q=1−q61−q4=1−81−4=73．
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．
【解答】
解：根据题意：1−2x≥0x+3>0，
解得：−3∴ 定义域为(−3, 0]
故选A．
9.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
先由函数fx=13x3+2x+1，求得导函数f′x=x2+2
再求f′1)即可得解．
【解答】
解：因为fx=13x3+2x+1，
则f′x=x2+2，
所以f′−1=(−1)2+2=3.
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
复数的基本概念
【解析】
由纯虚数的定义可得m2+2m=0,m2+3m+2≠0，解得m即可得到结论．
【解答】
解：∵ 复数z=m2+2m+m2+3m+2i是纯虚数，
∴ m2+2m=0，m2+3m+2≠0，
解得m=0.
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
首先化简复数z，然后矩形复数的运算．
【解答】
解：复数z=2−1−i
=2(−1+i)(−1−i)(−1+i)
=−1+i，
所以z⋅z=(−1+i)(−1−i)
=(−1)2−i2
=1+1=2.
故选C．
12.
【答案】
C
【考点】
结构图应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由结构图知，古典概型的上位是：频率、概率的意义与性质.
故选C.
二、填空题
【答案】
−2−4i
【考点】
复数的运算
【解析】
利用复数的加减运算求解即可.
【解答】
解：−4−6i−3+2i+5+4i
=−4−6i−3−2i+5+4i
=−2−4i.
故答案为：−2−4i.
【答案】
x≠0或y≠0
【考点】
命题的否定
【解析】
如果设P:x=0；Q:y=0，那么x，y全为0表示为P交Q，而此命题否定形式为非(P交Q)，根据非(P交Q)=（非P）并（非Q），也就是x≠0或y≠0．
【解答】
解：设p:x=0，q:y=0，
p且q的否定为：¬p或¬q，
所以“x=0且y=0”的否定形式为：“x≠0或y≠0”.
故答案为：x≠0或y≠0．
【答案】
3
【考点】
三角形的面积公式
参数方程的优越性
极坐标的概念
【解析】
由题意可得|OA|=3，|OB|=4，∠AOB=π3−π6=π6，再根据△AOB的面积为12×|OA|×|OB|×sin∠AOB，运算求得结果．
【解答】
解：∵ 两点A、B的极坐标分别为(3, π3)，(4, π6)，
∴ |OA|=3，|OB|=4，∠AOB=π3−π6=π6，
∴ △OBA（其中O为极点）的面积为12⋅|OA|⋅|OB|⋅sin∠AOB=3.
故答案为：3．
【答案】
5+5i
【考点】
复数代数形式的加减运算
【解析】
直接用复数代数形式的加减运算即可．
【解答】
解：∵1−3i+z=6+2i，
∴z=6+2i−(1−3i)
=6+2i−1+3i
=5+5i．
故答案为：5+5i．
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题目所提供的调查结果，可得下列2×2列联表：
(2)根据列联表中的数据，
K2=110×(30×35−20×25)250×60×55×55≈3.667，
∵ 3.667<3.841，
∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）由题意填写列联表即可；
（2）代入数据计算K2的观测值，比较观测值与3.841的大小，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．
【解答】
解：(1)根据题目所提供的调查结果，可得下列2×2列联表：
(2)根据列联表中的数据，
K2=110×(30×35−20×25)250×60×55×55≈3.667，
∵ 3.667<3.841，
∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．
【答案】
解：(1)x=15×(1.4+1.6+1.8+2+2.2)=1.8，
y=15×(12+10+7+5+3)=7.4，
b=62−5×1.8×7.416.6−5×1.82=−11.5，
a=y−bx=7.4+11.5×1.8=28.1，
∴ 线性回归方程为y=−11.5x+28.1．
(2)当价格定为1.9万元，即x=1.9时，
y=−11.5×1.9+28.1=6.25．
∴ 商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25t．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
（2）将表中所给的数据代入公式，求出y对x的线性回归方程y=bx+a；
【解答】
解：(1)x=15×(1.4+1.6+1.8+2+2.2)=1.8，
y=15×(12+10+7+5+3)=7.4，
b=62−5×1.8×7.416.6−5×1.82=−11.5，
a=y−bx=7.4+11.5×1.8=28.1，
∴ 线性回归方程为y=−11.5x+28.1．
(2)当价格定为1.9万元，即x=1.9时，
y=−11.5×1.9+28.1=6.25．
∴ 商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25t．
【答案】
证明：(1)如图，连结SB，
∵ E，G分别是BC，SC的中点，
∴ EG // SB，
又SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴ 直线EG // 平面BDD1B1．
(2)如图，连结SD，
∵ F，G分别是DC，SC的中点，
∴ FG // SD，
又SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴ FG // 平面BDD1B1，
又直线EG // 平面BDD1B1，
且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，
EG∩FG=G，
∴ 平面EFG // 平面BDD1B1．
【考点】
直线与平面平行的判定
平面与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)如图，连结SB，
∵ E，G分别是BC，SC的中点，
∴ EG // SB，
又SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴ 直线EG // 平面BDD1B1．
(2)如图，连结SD，
∵ F，G分别是DC，SC的中点，
∴ FG // SD，
又SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴ FG // 平面BDD1B1，
又直线EG // 平面BDD1B1，
且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，
EG∩FG=G，
∴ 平面EFG // 平面BDD1B1．
【答案】
解：(1)因为数列{an}为等差数列，
所以a3+a4=a2+a5=22．
又a3a4=117，
所以a3，a4是方程x2−22x+117=0的两实根，
又公差d>0，
所以a3所以a3=9，a4=13，
所以a1+2d=9，a1+3d=13，
所以a1=1，d=4，
所以通项an=4n−3(n∈N∗)．
(2)由(1)知a1=1，d=4，
所以Sn=na1+n(n−1)2×d
=2n2−n
=2n−142−18，
所以当n=1时，Sn最小，最小值为S1=a1=1．
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的函数特性
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为数列{an}为等差数列，
所以a3+a4=a2+a5=22．
又a3a4=117，
所以a3，a4是方程x2−22x+117=0的两实根，
又公差d>0，
所以a3所以a3=9，a4=13，
所以a1+2d=9，a1+3d=13，
所以a1=1，d=4，
所以通项an=4n−3(n∈N∗)．
(2)由(1)知a1=1，d=4，
所以Sn=na1+n(n−1)2×d
=2n2−n
=2n−142−18，
所以当n=1时，Sn最小，最小值为S1=a1=1．
【答案】
解：(1)对f(x)求导，得f′(x)=14−ax2−1x，
由f(x)在点(1,f(1))处的切线，知f′(1)=−34−a=−2，
解得a=54．
(2)由(1)知f(x)=x4+54x−lnx−32，
则f′(x)=x2−4x−54x2，
令f′(x)=0，
解得x=−1或x=5，
因为x=−1不在f(x)的定义域(0,+∞)内，故舍去，
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5,+∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5,+∞)内为增函数．
综上，f(x)的单调增区间为(5,+∞)，单调减区间为(0,5)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)对f(x)求导，得f′(x)=14−ax2−1x，
由f(x)在点(1,f(1))处的切线，知f′(1)=−34−a=−2，
解得a=54．
(2)由(1)知f(x)=x4+54x−lnx−32，
则f′(x)=x2−4x−54x2，
令f′(x)=0，
解得x=−1或x=5，
因为x=−1不在f(x)的定义域(0,+∞)内，故舍去，
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5,+∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5,+∞)内为增函数．
综上，f(x)的单调增区间为(5,+∞)，单调减区间为(0,5)．
【答案】
解：(1)∵ 椭圆C:x2+3y2=3，
∴ 椭圆C的标准方程为：x23+y2=1，
∴ a=3，b=1，c=2，
∴ 椭圆C的离心率e=ca=63.
(2)∵ AB过点D(1, 0)且垂直于x轴，
∴ 可设A(1, y1)，B(1, −y1)，
∵ E(2, 1)，
∴ 直线AE的方程为：y−1=(1−y1)(x−2)，
令x=3，
得M(3, 2−y1)，
∴ 直线BM的斜率kBM=2−y1+y13−1=1.
(3)直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由(2)知kBM=1，
又∵ 直线DE的斜率kDE=1−02−1=1，
∴ BM // DE；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x−1)(k≠1)，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则直线AE的方程为y−1=y1−1x1−2(x−2)，
令x=3，
则点M(3, y1+x1−3x1−2)，
∴ 直线BM的斜率kBM=y1+x1−3x1−2−y23−x2，
联立x2+3y2=3，y=k(x−1)，
得(1+3k2)x2−6k2x+3k2−3=0，
∴ x1+x2=6k21+3k2，x1x2=3k2−31+3k2，
∵ kBM−1=1(3−x2)(x1−2)⋅[k(x1−1)+x1−3−k(x2−1)(x1−2)−(3−x2)(x1−2)]
=(k−1)[−x1x2+2(x1+x2)−3](3−x2)(x1−2)
=(k−1)(−3k2+31+3k2+12k21+3k2−3)(3−x2)(x1−2)
=0，
∴ kBM=1=kDE，即BM // DE，
综上所述，直线BM与直线DE平行．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线的斜率
直线的点斜式方程
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；
（2）通过令直线AE的方程中x＝3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；
（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．
【解答】
解：(1)∵ 椭圆C:x2+3y2=3，
∴ 椭圆C的标准方程为：x23+y2=1，
∴ a=3，b=1，c=2，
∴ 椭圆C的离心率e=ca=63.
(2)∵ AB过点D(1, 0)且垂直于x轴，
∴ 可设A(1, y1)，B(1, −y1)，
∵ E(2, 1)，
∴ 直线AE的方程为：y−1=(1−y1)(x−2)，
令x=3，
得M(3, 2−y1)，
∴ 直线BM的斜率kBM=2−y1+y13−1=1.
(3)直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由(2)知kBM=1，
又∵ 直线DE的斜率kDE=1−02−1=1，
∴ BM // DE；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x−1)(k≠1)，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则直线AE的方程为y−1=y1−1x1−2(x−2)，
令x=3，
则点M(3, y1+x1−3x1−2)，
∴ 直线BM的斜率kBM=y1+x1−3x1−2−y23−x2，
联立x2+3y2=3，y=k(x−1)，
得(1+3k2)x2−6k2x+3k2−3=0，
∴ x1+x2=6k21+3k2，x1x2=3k2−31+3k2，
∵ kBM−1=1(3−x2)(x1−2)⋅[k(x1−1)+x1−3−k(x2−1)(x1−2)−(3−x2)(x1−2)]
=(k−1)[−x1x2+2(x1+x2)−3](3−x2)(x1−2)
=(k−1)(−3k2+31+3k2+12k21+3k2−3)(3−x2)(x1−2)
=0，
∴ kBM=1=kDE，即BM // DE，
综上所述，直线BM与直线DE平行．看电视
运动
合计
女
男
合计
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
看电视
运动
合计
女
30
25
55
男
20
35
55
合计
50
60
110
看电视
运动
合计
女
30
25
55
男
20
35
55
合计
50
60
110