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2020-2021学年河南省平顶山市高一(下)3月月考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年河南省平顶山市高一(下)3月月考数学试卷人教A版,共10页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 圆心角为π6,半径为6的扇形的面积为( )
A.2πB.3πC.4πD.6π
2. 若sinα+csα>0,则α不可能是( )
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
3. sin840∘=( )
A.32B.22C.12D.−12
4. 若α是第二象限角,Px,2是其终边上的一点,且csα=−13,则x=( )
A.−2B.−1C.−22D.−22或22
5. 函数fx=2sin53x−π6−2在0,3π5上的取值范围为( )
A.−1−2,2−2B.−2,1−2
C.−2−2,−1+2D.−1−2,1−2
6. 已知sinα−β=−1,且csβ=45,则sinα=( )
A.−45B.−35C.35D.45
7. 若函数y=csωx+π6ω>0的图象的一个对称中心是π12,0,则ω的最小值为( )
A.1B.2C.4D.5
8. sin17∘,cs293∘,sin159∘的大小关系是( )
A.sin17∘C.sin159∘
9. 函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则fx=( )
A.sinπx−π6B.sinπ2x−π8C.sinπx−π4D.sinπx+3π4
10. 要得到函数y=csx−π6的图象,只需将函数y=sinx−π12的图象( )
A.向左平移5π12个单位长度
B.向右平移3π10个单位长度
C.向左平移5π6个单位长度
D.向右平移5π18个单位长度
11. 已知函数fx=Atanωx+φ(A>0,ω>0,0<φ<π2)的相邻两个零点之间的距离是π3,且其图象过点π4,0与0,1,则f−π36=( )
A.3B.33C.−33D.−3
12. 若函数fx=sin2x−π3+k在0,π2上有且只有一个零点,则实数k的取值范围是( )
A.{k|−12C.{k|−12≤k<12或k=−1}D.{k|−32二、填空题
—扇形金属板的弧长为200cm,半径为100cm,则该扇形金属板圆心角的弧度数为________.
若角α与9π7的终边相同,且6π<α<9π,则角α=________.
已知函数y=3sin5πx+2θ0<θ≤π在x=3时取得最大值,则θ=________.
有下列命题:
①若角α的终边在函数y=−13xx≤0的图象上,则csα=−31010;
②若角θ的终边经过点1,3,则sinθcsθ=13;
③函数y=sinπ3−xx∈0,π的单调递增区间是π6,5π6;
④函数y=cs−2x+3π2是奇函数.
其中正确的有________.(填写所有正确命题的序号)
三、解答题
化简:
(1)sin−351∘⋅sin99∘+sin−9∘⋅sin−261∘;
(2)sinα−π2⋅csπ+α−2cs2−α+cs23π−α.
已知函数fx=sin2x+π6.
(1)求fx在0,π2上的单调递减区间;
(2)若fx=32,求x的值.
已知4tan2α+tanα−3=0,α为第三象限角.
(1)求tanα的值;
(2)求sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α的值.
某地一年中每个月的平均气温fn与月份n的关系可近似地用函数f(n)=Acs(π6n+2π3)+m(n∈1,12且n∈N∗,A>0)表示,当地2月份的平均气温为−12∘C,6月份的平均气温为18∘C.
(1)求fn的解析式;
(2)若当月平均气温不低于18∘C时,该地进入了一年中的旅游“最舒适季节”,则一年中的哪几个月是该地的旅游“最舒适季节”?请说明理由.
已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,−π2<φ<π2的最大值与最小值之差为2,且最小正周期与gx=sin3x−π6的最小正周期相同,点0,32在fx的图象上.
(1)求fx的解析式;
(2)把fx的图象向左至少平移多少个单位长度可使平移后的图象对应的函数为奇函数?
已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2的图象的相邻对称轴之间的距离是π2,且fx≤fπ6.
(1)求函数fx的解析式;
(2)求函数fx在−π6,π3上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省平顶山市高一(下)3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
【解析】
利用扇形的面积公式计算即可.
【解答】
解:π6=30∘,
S扇形=30×π×62360=3π.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
根据三角函数值的符号进行判断即可.
【解答】
解:∵sinα+csα>0,
第三象限内sinα<0,csα<0,
∴α不可能在第三象限.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
直接利用诱导公式化简函数的表达式,得到特殊角的三角函数求值即可.
【解答】
解:sin840∘=sin2×360∘+120∘
=sin120∘=32.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
根据csα=xx2+4=−13,可得x<0,再由α的终边过点P(x, 2),可得α的终边所在的象限.
【解答】
解:由任意角的余弦函数的定义可得csα=xx2+4=−13,x<0,
解得x=−22.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的定义域和值域
【解析】
根据正弦函数的定义域求出值域可得解.
【解答】
解:f(x)=2sin53x−π6−2,
x∈0,3π5,
53x−π6∈−π6,5π6,
令t=53x−π6,t∈−π6,5π6,
∵f(t)=2sint−2在−π6,π2上单调递增,π2,5π6上单调递减,
∴f(t)max=f(π2)=2×1−2=2−2,
∵f(−π6)=2sin(−π6)−2=2×(−12)−2=−1−2,
f(5π6)=2sin5π6−2=2×12−2=1−2,
∴f(t)min=f(−π6)=−1−2,
∴f(x)在0,3π5上的取值范围为[−1−2,2−2].
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用诱导公式,即可得出答案.
【解答】
解:∵ sin(α−β)=−1,
∴ α−β=−π2+2kπ,k∈Z,
即α=β−π2+2kπ,k∈Z,
∴ sinα=sinβ−π2+2kπ
=sinβ−π2=−csβ=−45.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
【解析】
由题意可得csω×π12+π6=0,故有ω×π12+π6=kπ+π2,k∈Z,再由ω为正整数可得ω的最小值.
【解答】
解:∵函数y=csωx+π6ω>0的一个对称中心为(π12,0),
∴cs(ω×π12+π6)=0,
∴ω×π12+π6=kπ+π2,k∈Z,
即ω=12k+4,k∈Z,
再由ω>0可得ω的最小值为4.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
锐角三角函数的增减性
运用诱导公式化简求值
【解析】
根据三角函数的增减性,以及互余的两个角之间的关系即可作出判断.
【解答】
解:sin159∘=sin21∘,
cs293∘=cs(360∘−293∘)=cs67∘=sin23∘,
∵sin17∘∴sin17∘故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
【解析】
由图象先确定A,再由周期确定ω,再代值求φ,可得解析式.
【解答】
解:图中最大值为A,且A>0,∴A=1,
从14到54的距离为半个周期,
∴T=2×54−14=2,
ω=2πT=π,
∴fx=sinπx+φ,
将(14,0)代入,sinπ4+φ=0,
π4+φ=kπ,k∈Z,
则φ=kπ−π4,k∈Z,
而|φ|<π,令k=0,φ=−π4,
令k=1,φ=3π4,
但φ=−π4时,fx=sinπx−π4,
令x=0,f0=−22(与图不符),
∴φ=3π4,
即fx=sinπx+3π4.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
【解析】
由条件利用函数y=Asinωx+φ的图象变换规律,可得结论.
【解答】
解:∵y=csx−π6=sinx−π6+π2=sinx+π3,
又y=sinx+512π−π12=sinx+412π=sinx+π3,
∴要得到函数y=csx−π6的图象,只需将函数y=sinx−π12的图象向左平移5π12个单位长度.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
三角函数
正切函数的周期性
【解析】
求出fx的表达式,从而可求出则f−π36.
【解答】
解:∵fx=Atanωx+φ的相邻两个零点之间的距离为π3,
∴T=π3=πω,ω=3,
∵fx的图象过点(π4,0)与0,1,
∴fπ4=Atan34π+φ=0,
f0=Atanφ=1,
∵A>0,0<φ<π2,
∴φ=π4,A=1,
∴fx=tan3x+π4,
f−π36=tan−π12+π4=tanπ6=33.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的图象
函数的零点
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
y=sin2x−π3+k的零点判断可看作函数y=sin2x−π3和直线y=−k的交点,数形结合可解题.
【解答】
解:如图画出y=sin2x−π3的大致图象,
y=sin2x−π3+k的零点判断可看作函数y=sin2x−π3和直线y=−k的交点,
故观察可得f0≤−k故求得−32故选D.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
弧长公式
【解析】
直接利用弧长公式,得出答案.
【解答】
解:由于弧长l=200 cm,半径r=100 cm,
所以圆心角α=lr=200100=2.
故答案为:2.
【答案】
51π7
【考点】
终边相同的角
【解析】
写出与9π7终边相同的角的集合{α|a=9π7+2kπ,k∈Z},取k=3得答案.
【解答】
解:∵与9π7终边相同的角的集合为{α|α=9π7+2kπ,k∈Z},
∴取k=3时,α=9π7+6π=51π7,
符合6π<51π7<9π,
即α=51π7.
故答案为:51π7.
【答案】
3π4
【考点】
三角函数的最值
【解析】
利用正弦函数的性质得到5π×3+2θ=π2+2kπk∈Z,求解即可.
【解答】
解:函数y=3sin5πx+2θ在x=3时取得最大值,
则5π×3+2θ=π2+2kπk∈Z,
解得θ=−29π4+kπk∈Z,
因为0<θ≤π,
所以θ=3π4.
故答案为:3π4.
【答案】
①④
【考点】
任意角的三角函数
正弦函数的单调性
诱导公式
函数奇偶性的判断
【解析】
利用三角函数的定义判定①②;利用正余弦函数的性质判定③④.
【解答】
解:①若角α的终边在函数y=−13xx≤0的图象上,
在角α的终边上取一点(−3,1),
则csα=−3(−3)2+12=−31010,故①正确;
②若角θ的终边经过点1,3,
则sinθcsθ=312+32×112+32=310,故②错误;
③函数y=sinπ3−x=−sinx−π3x∈0,π,
令π2+2kπ≤x−π3≤3π2+2kπk∈Z,
可得5π6+2kπ≤x≤11π6+2kπk∈Z,
因为x∈0,π
所以函数的单调递增区间是5π6,π,故③错误;
④函数y=cs−2x+3π2=cs3π2−2x=−sin2x是奇函数,故④正确.
所以正确的有①④.
故答案为:①④.
三、解答题
【答案】
解:(1)原式=sin9∘⋅sin99∘+sin−9∘⋅sin−270∘+9∘
=sin9∘⋅cs9∘−sin9∘⋅cs9∘
=0.
(2)原式=−csα⋅(−csα)−2cs2α+cs2α
=0.
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数的化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)原式=sin9∘⋅sin99∘+sin−9∘⋅sin−270∘+9∘
=sin9∘⋅cs9∘−sin9∘⋅cs9∘
=0.
(2)原式=−csα⋅(−csα)−2cs2α+cs2α
=0.
【答案】
解:(1)令2kπ+π2≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),
可得kπ+π6≤x≤2π3+kπk∈Z.
当k=0时,π6≤x≤2π3,
又∵ 0∴ π6≤x<π2,
故fx在0,π2上的单调递减区间为[π6,π2).
(2)∵ fx=32,
∴ sin2x+π6=32,
∴ 2x+π6=2kπ+π3k∈Z或2x+π6=2kπ+2π3k∈Z,
整理可得x=kπ+π12k∈Z或x=kπ+π4k∈Z.
【考点】
正弦函数的单调性
函数的求值
三角函数的化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)令2kπ+π2≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),
可得kπ+π6≤x≤2π3+kπk∈Z.
当k=0时,π6≤x≤2π3,
又∵ 0∴ π6≤x<π2,
故fx在0,π2上的单调递减区间为[π6,π2).
(2)∵ fx=32,
∴ sin2x+π6=32,
∴ 2x+π6=2kπ+π3k∈Z或2x+π6=2kπ+2π3k∈Z,
整理可得x=kπ+π12k∈Z或x=kπ+π4k∈Z.
【答案】
解:(1)4tan2α+tanα−3=0,
∴ 4tanα−3tanα+1=0,
∴ tanα=34或−1.
又α为第三象限角,
∴ tanα=34.
(2)sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α
=−sinα−csα−sinα+csα
=−tanα−1−tanα+1
=tanα+1tanα−1
=34+134−1
=−7.
【考点】
三角函数值的符号
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)4tan2α+tanα−3=0,
∴ 4tanα−3tanα+1=0,
∴ tanα=34或−1.
又α为第三象限角,
∴ tanα=34.
(2)sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α
=−sinα−csα−sinα+csα
=−tanα−1−tanα+1
=tanα+1tanα−1
=34+134−1
=−7.
【答案】
解:(1)由于当地2月份的平均气温为−12∘C,6月份的平均气温为18∘C,
所以f2=Acsπ6×2+2π3+m=−12,
即−A+m=−12①,
f6=Acsπ6×6+2π3+m=18,
即A2+m=18 ②,
由①②可得A=20,m=8,
所以fn=20csπ6n+2π3+8n∈[1,12且n∈N∗).
(2)令20csπ6n+2π3+8≥18,
可得csπ6n+2π3≥12,
即2kπ−π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3k∈Z,
化简可得12k−6≤n≤12k−2k∈Z.
因为n∈1,12,n∈N∗,
所以当k=1时,6≤n≤10,
故n=6,7,8,9,10,即一年中的6,7,8,9,10五个月是该地的旅游“最舒适季节”.
【考点】
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
三角函数的化简求值
函数的求值
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由于当地2月份的平均气温为−12∘C,6月份的平均气温为18∘C,
所以f2=Acsπ6×2+2π3+m=−12,
即−A+m=−12①,
f6=Acsπ6×6+2π3+m=18,
即A2+m=18 ②,
由①②可得A=20,m=8,
所以fn=20csπ6n+2π3+8n∈[1,12且n∈N∗).
(2)令20csπ6n+2π3+8≥18,
可得csπ6n+2π3≥12,
即2kπ−π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3k∈Z,
化简可得12k−6≤n≤12k−2k∈Z.
因为n∈1,12,n∈N∗,
所以当k=1时,6≤n≤10,
故n=6,7,8,9,10,即一年中的6,7,8,9,10五个月是该地的旅游“最舒适季节”.
【答案】
解:(1)由题可知A−−A=2,
解得A=1.
gx=sin3x−π6的最小正周期为2π3,
∴ 2πω=2π3,ω=3 ,
∴ fx=sin3x+φ,
f0=sinφ=32,−π2<φ<π2,
∴ φ=π3.
∴ fx=sin3x+π3.
(2)设把fx的图象向左平移αα>0个单位长度,
则平移后的图象对应的函数为y=sin3x+α+π3=sin3x+3α+π3.
要使该函数为奇函数,则需3α+π3=kπk∈Z,
即α=kπ3−π9k∈Z .
当k=1时,α取到最小值2π9,
∴ 把fx的图象向左至少平移2π9个单位长度可使平移后的图象对应的函数为奇函数.
【考点】
三角函数的最值
函数y=Asin(ωx+φ)的性质
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
奇函数
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由题可知A−−A=2,
解得A=1.
gx=sin3x−π6的最小正周期为2π3,
∴ 2πω=2π3,ω=3 ,
∴ fx=sin3x+φ,
f0=sinφ=32,−π2<φ<π2,
∴ φ=π3.
∴ fx=sin3x+π3.
(2)设把fx的图象向左平移αα>0个单位长度,
则平移后的图象对应的函数为y=sin3x+α+π3=sin3x+3α+π3.
要使该函数为奇函数,则需3α+π3=kπk∈Z,
即α=kπ3−π9k∈Z .
当k=1时,α取到最小值2π9,
∴ 把fx的图象向左至少平移2π9个单位长度可使平移后的图象对应的函数为奇函数.
【答案】
解:(1)由函数fx图象相邻对称轴之间的距离是π2,可得fx的最小正周期为π,
所以2πω=π,ω=2,
由fx≤|fπ6|可知直线x=π6是函数fx图象的一条对称轴,
所以2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z,
所以φ=π6+kπ,k∈Z.
又0<φ<π2,
所以φ=π6.
故函数fx的解析式为fx=2sin2x+π6.
(2)令t=2x+π6,
因为x∈−π6,π3,
所以−π6≤t≤5π6,
而y=sint在−π6,π2上单调递增,
在π2,5π6上单调递减,
且sin−π6=−12,sin5π6=12,
所以函数y=sint在−π6,5π6上的最小值为−12,
此时,t=−π6,即2x+π6=−π6,
解得x=−π6,函数fx的最小值为−1;
函数y=sint在−π6,5π6上的最大值为1,
此时t=π2,即2x+π6=π2,
解得x=π6,函数fx的最大值为2.
【考点】
正弦函数的图象
函数y=Asin(ωx+φ)的性质
三角函数的最值
复合三角函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由函数fx图象相邻对称轴之间的距离是π2,可得fx的最小正周期为π,
所以2πω=π,ω=2,
由fx≤|fπ6|可知直线x=π6是函数fx图象的一条对称轴,
所以2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z,
所以φ=π6+kπ,k∈Z.
又0<φ<π2,
所以φ=π6.
故函数fx的解析式为fx=2sin2x+π6.
(2)令t=2x+π6,
因为x∈−π6,π3,
所以−π6≤t≤5π6,
而y=sint在−π6,π2上单调递增,
在π2,5π6上单调递减,
且sin−π6=−12,sin5π6=12,
所以函数y=sint在−π6,5π6上的最小值为−12,
此时,t=−π6,即2x+π6=−π6,
解得x=−π6,函数fx的最小值为−1;
函数y=sint在−π6,5π6上的最大值为1,
此时t=π2,即2x+π6=π2,
解得x=π6,函数fx的最大值为2.
1. 圆心角为π6,半径为6的扇形的面积为( )
A.2πB.3πC.4πD.6π
2. 若sinα+csα>0,则α不可能是( )
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
3. sin840∘=( )
A.32B.22C.12D.−12
4. 若α是第二象限角,Px,2是其终边上的一点,且csα=−13,则x=( )
A.−2B.−1C.−22D.−22或22
5. 函数fx=2sin53x−π6−2在0,3π5上的取值范围为( )
A.−1−2,2−2B.−2,1−2
C.−2−2,−1+2D.−1−2,1−2
6. 已知sinα−β=−1,且csβ=45,则sinα=( )
A.−45B.−35C.35D.45
7. 若函数y=csωx+π6ω>0的图象的一个对称中心是π12,0,则ω的最小值为( )
A.1B.2C.4D.5
8. sin17∘,cs293∘,sin159∘的大小关系是( )
A.sin17∘
9. 函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则fx=( )
A.sinπx−π6B.sinπ2x−π8C.sinπx−π4D.sinπx+3π4
10. 要得到函数y=csx−π6的图象,只需将函数y=sinx−π12的图象( )
A.向左平移5π12个单位长度
B.向右平移3π10个单位长度
C.向左平移5π6个单位长度
D.向右平移5π18个单位长度
11. 已知函数fx=Atanωx+φ(A>0,ω>0,0<φ<π2)的相邻两个零点之间的距离是π3,且其图象过点π4,0与0,1,则f−π36=( )
A.3B.33C.−33D.−3
12. 若函数fx=sin2x−π3+k在0,π2上有且只有一个零点,则实数k的取值范围是( )
A.{k|−12
—扇形金属板的弧长为200cm,半径为100cm,则该扇形金属板圆心角的弧度数为________.
若角α与9π7的终边相同,且6π<α<9π,则角α=________.
已知函数y=3sin5πx+2θ0<θ≤π在x=3时取得最大值,则θ=________.
有下列命题:
①若角α的终边在函数y=−13xx≤0的图象上,则csα=−31010;
②若角θ的终边经过点1,3,则sinθcsθ=13;
③函数y=sinπ3−xx∈0,π的单调递增区间是π6,5π6;
④函数y=cs−2x+3π2是奇函数.
其中正确的有________.(填写所有正确命题的序号)
三、解答题
化简:
(1)sin−351∘⋅sin99∘+sin−9∘⋅sin−261∘;
(2)sinα−π2⋅csπ+α−2cs2−α+cs23π−α.
已知函数fx=sin2x+π6.
(1)求fx在0,π2上的单调递减区间;
(2)若fx=32,求x的值.
已知4tan2α+tanα−3=0,α为第三象限角.
(1)求tanα的值;
(2)求sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α的值.
某地一年中每个月的平均气温fn与月份n的关系可近似地用函数f(n)=Acs(π6n+2π3)+m(n∈1,12且n∈N∗,A>0)表示,当地2月份的平均气温为−12∘C,6月份的平均气温为18∘C.
(1)求fn的解析式;
(2)若当月平均气温不低于18∘C时,该地进入了一年中的旅游“最舒适季节”,则一年中的哪几个月是该地的旅游“最舒适季节”?请说明理由.
已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,−π2<φ<π2的最大值与最小值之差为2,且最小正周期与gx=sin3x−π6的最小正周期相同,点0,32在fx的图象上.
(1)求fx的解析式;
(2)把fx的图象向左至少平移多少个单位长度可使平移后的图象对应的函数为奇函数?
已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2的图象的相邻对称轴之间的距离是π2,且fx≤fπ6.
(1)求函数fx的解析式;
(2)求函数fx在−π6,π3上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省平顶山市高一(下)3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
扇形面积公式
【解析】
利用扇形的面积公式计算即可.
【解答】
解:π6=30∘,
S扇形=30×π×62360=3π.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
根据三角函数值的符号进行判断即可.
【解答】
解:∵sinα+csα>0,
第三象限内sinα<0,csα<0,
∴α不可能在第三象限.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
直接利用诱导公式化简函数的表达式,得到特殊角的三角函数求值即可.
【解答】
解:sin840∘=sin2×360∘+120∘
=sin120∘=32.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
根据csα=xx2+4=−13,可得x<0,再由α的终边过点P(x, 2),可得α的终边所在的象限.
【解答】
解:由任意角的余弦函数的定义可得csα=xx2+4=−13,x<0,
解得x=−22.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的定义域和值域
【解析】
根据正弦函数的定义域求出值域可得解.
【解答】
解:f(x)=2sin53x−π6−2,
x∈0,3π5,
53x−π6∈−π6,5π6,
令t=53x−π6,t∈−π6,5π6,
∵f(t)=2sint−2在−π6,π2上单调递增,π2,5π6上单调递减,
∴f(t)max=f(π2)=2×1−2=2−2,
∵f(−π6)=2sin(−π6)−2=2×(−12)−2=−1−2,
f(5π6)=2sin5π6−2=2×12−2=1−2,
∴f(t)min=f(−π6)=−1−2,
∴f(x)在0,3π5上的取值范围为[−1−2,2−2].
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用诱导公式,即可得出答案.
【解答】
解:∵ sin(α−β)=−1,
∴ α−β=−π2+2kπ,k∈Z,
即α=β−π2+2kπ,k∈Z,
∴ sinα=sinβ−π2+2kπ
=sinβ−π2=−csβ=−45.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
【解析】
由题意可得csω×π12+π6=0,故有ω×π12+π6=kπ+π2,k∈Z,再由ω为正整数可得ω的最小值.
【解答】
解:∵函数y=csωx+π6ω>0的一个对称中心为(π12,0),
∴cs(ω×π12+π6)=0,
∴ω×π12+π6=kπ+π2,k∈Z,
即ω=12k+4,k∈Z,
再由ω>0可得ω的最小值为4.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
锐角三角函数的增减性
运用诱导公式化简求值
【解析】
根据三角函数的增减性,以及互余的两个角之间的关系即可作出判断.
【解答】
解:sin159∘=sin21∘,
cs293∘=cs(360∘−293∘)=cs67∘=sin23∘,
∵sin17∘
9.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
【解析】
由图象先确定A,再由周期确定ω,再代值求φ,可得解析式.
【解答】
解:图中最大值为A,且A>0,∴A=1,
从14到54的距离为半个周期,
∴T=2×54−14=2,
ω=2πT=π,
∴fx=sinπx+φ,
将(14,0)代入,sinπ4+φ=0,
π4+φ=kπ,k∈Z,
则φ=kπ−π4,k∈Z,
而|φ|<π,令k=0,φ=−π4,
令k=1,φ=3π4,
但φ=−π4时,fx=sinπx−π4,
令x=0,f0=−22(与图不符),
∴φ=3π4,
即fx=sinπx+3π4.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
【解析】
由条件利用函数y=Asinωx+φ的图象变换规律,可得结论.
【解答】
解:∵y=csx−π6=sinx−π6+π2=sinx+π3,
又y=sinx+512π−π12=sinx+412π=sinx+π3,
∴要得到函数y=csx−π6的图象,只需将函数y=sinx−π12的图象向左平移5π12个单位长度.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
三角函数
正切函数的周期性
【解析】
求出fx的表达式,从而可求出则f−π36.
【解答】
解:∵fx=Atanωx+φ的相邻两个零点之间的距离为π3,
∴T=π3=πω,ω=3,
∵fx的图象过点(π4,0)与0,1,
∴fπ4=Atan34π+φ=0,
f0=Atanφ=1,
∵A>0,0<φ<π2,
∴φ=π4,A=1,
∴fx=tan3x+π4,
f−π36=tan−π12+π4=tanπ6=33.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的图象
函数的零点
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
y=sin2x−π3+k的零点判断可看作函数y=sin2x−π3和直线y=−k的交点,数形结合可解题.
【解答】
解:如图画出y=sin2x−π3的大致图象,
y=sin2x−π3+k的零点判断可看作函数y=sin2x−π3和直线y=−k的交点,
故观察可得f0≤−k
二、填空题
【答案】
2
【考点】
弧长公式
【解析】
直接利用弧长公式,得出答案.
【解答】
解:由于弧长l=200 cm,半径r=100 cm,
所以圆心角α=lr=200100=2.
故答案为:2.
【答案】
51π7
【考点】
终边相同的角
【解析】
写出与9π7终边相同的角的集合{α|a=9π7+2kπ,k∈Z},取k=3得答案.
【解答】
解:∵与9π7终边相同的角的集合为{α|α=9π7+2kπ,k∈Z},
∴取k=3时,α=9π7+6π=51π7,
符合6π<51π7<9π,
即α=51π7.
故答案为:51π7.
【答案】
3π4
【考点】
三角函数的最值
【解析】
利用正弦函数的性质得到5π×3+2θ=π2+2kπk∈Z,求解即可.
【解答】
解:函数y=3sin5πx+2θ在x=3时取得最大值,
则5π×3+2θ=π2+2kπk∈Z,
解得θ=−29π4+kπk∈Z,
因为0<θ≤π,
所以θ=3π4.
故答案为:3π4.
【答案】
①④
【考点】
任意角的三角函数
正弦函数的单调性
诱导公式
函数奇偶性的判断
【解析】
利用三角函数的定义判定①②;利用正余弦函数的性质判定③④.
【解答】
解:①若角α的终边在函数y=−13xx≤0的图象上,
在角α的终边上取一点(−3,1),
则csα=−3(−3)2+12=−31010,故①正确;
②若角θ的终边经过点1,3,
则sinθcsθ=312+32×112+32=310,故②错误;
③函数y=sinπ3−x=−sinx−π3x∈0,π,
令π2+2kπ≤x−π3≤3π2+2kπk∈Z,
可得5π6+2kπ≤x≤11π6+2kπk∈Z,
因为x∈0,π
所以函数的单调递增区间是5π6,π,故③错误;
④函数y=cs−2x+3π2=cs3π2−2x=−sin2x是奇函数,故④正确.
所以正确的有①④.
故答案为:①④.
三、解答题
【答案】
解:(1)原式=sin9∘⋅sin99∘+sin−9∘⋅sin−270∘+9∘
=sin9∘⋅cs9∘−sin9∘⋅cs9∘
=0.
(2)原式=−csα⋅(−csα)−2cs2α+cs2α
=0.
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数的化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)原式=sin9∘⋅sin99∘+sin−9∘⋅sin−270∘+9∘
=sin9∘⋅cs9∘−sin9∘⋅cs9∘
=0.
(2)原式=−csα⋅(−csα)−2cs2α+cs2α
=0.
【答案】
解:(1)令2kπ+π2≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),
可得kπ+π6≤x≤2π3+kπk∈Z.
当k=0时,π6≤x≤2π3,
又∵ 0
故fx在0,π2上的单调递减区间为[π6,π2).
(2)∵ fx=32,
∴ sin2x+π6=32,
∴ 2x+π6=2kπ+π3k∈Z或2x+π6=2kπ+2π3k∈Z,
整理可得x=kπ+π12k∈Z或x=kπ+π4k∈Z.
【考点】
正弦函数的单调性
函数的求值
三角函数的化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)令2kπ+π2≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),
可得kπ+π6≤x≤2π3+kπk∈Z.
当k=0时,π6≤x≤2π3,
又∵ 0
故fx在0,π2上的单调递减区间为[π6,π2).
(2)∵ fx=32,
∴ sin2x+π6=32,
∴ 2x+π6=2kπ+π3k∈Z或2x+π6=2kπ+2π3k∈Z,
整理可得x=kπ+π12k∈Z或x=kπ+π4k∈Z.
【答案】
解:(1)4tan2α+tanα−3=0,
∴ 4tanα−3tanα+1=0,
∴ tanα=34或−1.
又α为第三象限角,
∴ tanα=34.
(2)sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α
=−sinα−csα−sinα+csα
=−tanα−1−tanα+1
=tanα+1tanα−1
=34+134−1
=−7.
【考点】
三角函数值的符号
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)4tan2α+tanα−3=0,
∴ 4tanα−3tanα+1=0,
∴ tanα=34或−1.
又α为第三象限角,
∴ tanα=34.
(2)sinα−3π+csπ−αsin−α−csπ+α
=−sinα−csα−sinα+csα
=−tanα−1−tanα+1
=tanα+1tanα−1
=34+134−1
=−7.
【答案】
解:(1)由于当地2月份的平均气温为−12∘C,6月份的平均气温为18∘C,
所以f2=Acsπ6×2+2π3+m=−12,
即−A+m=−12①,
f6=Acsπ6×6+2π3+m=18,
即A2+m=18 ②,
由①②可得A=20,m=8,
所以fn=20csπ6n+2π3+8n∈[1,12且n∈N∗).
(2)令20csπ6n+2π3+8≥18,
可得csπ6n+2π3≥12,
即2kπ−π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3k∈Z,
化简可得12k−6≤n≤12k−2k∈Z.
因为n∈1,12,n∈N∗,
所以当k=1时,6≤n≤10,
故n=6,7,8,9,10,即一年中的6,7,8,9,10五个月是该地的旅游“最舒适季节”.
【考点】
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
三角函数的化简求值
函数的求值
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由于当地2月份的平均气温为−12∘C,6月份的平均气温为18∘C,
所以f2=Acsπ6×2+2π3+m=−12,
即−A+m=−12①,
f6=Acsπ6×6+2π3+m=18,
即A2+m=18 ②,
由①②可得A=20,m=8,
所以fn=20csπ6n+2π3+8n∈[1,12且n∈N∗).
(2)令20csπ6n+2π3+8≥18,
可得csπ6n+2π3≥12,
即2kπ−π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3k∈Z,
化简可得12k−6≤n≤12k−2k∈Z.
因为n∈1,12,n∈N∗,
所以当k=1时,6≤n≤10,
故n=6,7,8,9,10,即一年中的6,7,8,9,10五个月是该地的旅游“最舒适季节”.
【答案】
解:(1)由题可知A−−A=2,
解得A=1.
gx=sin3x−π6的最小正周期为2π3,
∴ 2πω=2π3,ω=3 ,
∴ fx=sin3x+φ,
f0=sinφ=32,−π2<φ<π2,
∴ φ=π3.
∴ fx=sin3x+π3.
(2)设把fx的图象向左平移αα>0个单位长度,
则平移后的图象对应的函数为y=sin3x+α+π3=sin3x+3α+π3.
要使该函数为奇函数,则需3α+π3=kπk∈Z,
即α=kπ3−π9k∈Z .
当k=1时,α取到最小值2π9,
∴ 把fx的图象向左至少平移2π9个单位长度可使平移后的图象对应的函数为奇函数.
【考点】
三角函数的最值
函数y=Asin(ωx+φ)的性质
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
奇函数
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由题可知A−−A=2,
解得A=1.
gx=sin3x−π6的最小正周期为2π3,
∴ 2πω=2π3,ω=3 ,
∴ fx=sin3x+φ,
f0=sinφ=32,−π2<φ<π2,
∴ φ=π3.
∴ fx=sin3x+π3.
(2)设把fx的图象向左平移αα>0个单位长度,
则平移后的图象对应的函数为y=sin3x+α+π3=sin3x+3α+π3.
要使该函数为奇函数,则需3α+π3=kπk∈Z,
即α=kπ3−π9k∈Z .
当k=1时,α取到最小值2π9,
∴ 把fx的图象向左至少平移2π9个单位长度可使平移后的图象对应的函数为奇函数.
【答案】
解:(1)由函数fx图象相邻对称轴之间的距离是π2,可得fx的最小正周期为π,
所以2πω=π,ω=2,
由fx≤|fπ6|可知直线x=π6是函数fx图象的一条对称轴,
所以2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z,
所以φ=π6+kπ,k∈Z.
又0<φ<π2,
所以φ=π6.
故函数fx的解析式为fx=2sin2x+π6.
(2)令t=2x+π6,
因为x∈−π6,π3,
所以−π6≤t≤5π6,
而y=sint在−π6,π2上单调递增,
在π2,5π6上单调递减,
且sin−π6=−12,sin5π6=12,
所以函数y=sint在−π6,5π6上的最小值为−12,
此时,t=−π6,即2x+π6=−π6,
解得x=−π6,函数fx的最小值为−1;
函数y=sint在−π6,5π6上的最大值为1,
此时t=π2,即2x+π6=π2,
解得x=π6,函数fx的最大值为2.
【考点】
正弦函数的图象
函数y=Asin(ωx+φ)的性质
三角函数的最值
复合三角函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
解:(1)由函数fx图象相邻对称轴之间的距离是π2,可得fx的最小正周期为π,
所以2πω=π,ω=2,
由fx≤|fπ6|可知直线x=π6是函数fx图象的一条对称轴,
所以2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z,
所以φ=π6+kπ,k∈Z.
又0<φ<π2,
所以φ=π6.
故函数fx的解析式为fx=2sin2x+π6.
(2)令t=2x+π6,
因为x∈−π6,π3,
所以−π6≤t≤5π6,
而y=sint在−π6,π2上单调递增,
在π2,5π6上单调递减,
且sin−π6=−12,sin5π6=12,
所以函数y=sint在−π6,5π6上的最小值为−12,
此时,t=−π6,即2x+π6=−π6,
解得x=−π6,函数fx的最小值为−1;
函数y=sint在−π6,5π6上的最大值为1,
此时t=π2,即2x+π6=π2,
解得x=π6,函数fx的最大值为2.