2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在▱ABCD中，AB→+CA→+BD→等于( )
A.AB→B.BD→C.BC→D.CD→

2. 计算sin5∘cs55∘+cs5∘sin55∘的结果是（ ）
A.−12B.12C.−32D.32

3. 已知向量a→=(1, 1)，b→=(−1, 3)，c→=(2, 1)，且(a→−λb→) // c→，则λ的值为（ ）
A.−3B.3C.−17D.17

4. 若函数f(x)=(1+3tanx)csx(0≤x<π2)，则f(x)的最大值为（ ）
A.1B.2C.3D.4

5. 已知a→，b→是非零向量，且满足(a→−2b→)⊥a→，(b→−2a→)⊥b→，则a→与b→的夹角是（ ）
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

6. tan20∘tan30∘+tan30∘tan40∘+tan40∘tan20∘=( )
A.0B.−1C.1D.2

7. 在△ABC中，已知absinC=20sinB，a2+c2=41，且8csB=1，则b的值为( )
A.6B.42C.35D.7

8. 如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A3，⋯，A201中任意相邻两点间的距离相等，OA0→=a→, OA201→=b→，则用a→，b→表示OA→0+OA→1+OA→2+⋯+OA201→，其结果为（ ）

A.100a→+b→B.101a→+b→
C.201a→+b→D.202a→+b→
二、多选题

已知两个单位向量e1→，e2→的夹角为θ，则下列结论正确的是（ ）
A.向量e1→在e2→上的投影向量为csθ
B.e→12=e→22
C.(e1→+e2→)⊥(e1→−e2→)
D.e1→⋅e2→=1

已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ+csθ不能取得的值是（ ）
A.43B.34C.53D.12

在梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设AB→=a→，AD→=b→，则下列结论正确的是（ ）
A.AC→=12a→+b→B.BC→=−12a→+b→
C.BM→=−13a→+23b→D.EF→=−14a→+b→

在△ABC中，若a+b:a+c:b+c=9:10:11，则下列结论正确的有( )
A.sinA:sinB:sinC=4:5:6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的两倍
D.若c=6，则△ABC外接圆的半径为877
三、填空题

若tanα=3，则sin2αcs2α=________.

在锐角△ABC中， 2asinB=3b，则∠A=________.

在△ABC中，若AB=AC=3，cs∠BAC=12，DC→=2BD→，则AD→⋅BC→=________．

已知平面向量a→，b→，满足a→与b→的夹角为锐角， |a→|=4，|b→|=2，且|b→+ta→|的最小值为3，则实数t的值是________.
四、解答题

已知非零向量a→，b→满足|a→|=1，(a→−b→)⋅(a→+b→)=12，且a→⋅b→=12．
(1)求向量a→，b→的夹角；

(2)求|a→−b→|．

在△ABC中，已知b−asinA+sinB=c3sinB−sinC .
(1)求角A的大小；

(2)若a=2，B=π4，求△ABC的面积．

已知cs(α+β)=513．
(1)若cs(α−β)=45，求tanαtanβ的值；

(2)若sinβ=35，且α，β为锐角，求sinα的值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q的右侧），点O为半圆的圆心，已知AB=2，点P(45,35)，设∠POQ=α．

(1)若α=π2，求AQ→⋅AO→的值；

(2)若点Q的纵坐标为12，求csα的值．

已知AB→⋅AC→=0，M是BC的中点．
(1)若|AB→|=2|AC→|，求AB→−AC→与AB→+AC→的夹角的余弦值；

(2)若O是线段AM上任意一点，且|AB→|=2|AC→|=2，求OA→⋅OB→+OC→⋅OA→的最小值．

如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60∘的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB 垂直，街道PR与AC垂直，线段QR表示第三条街道．设∠PAB=θ.

(1)如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；

(2)由于环境的原因，三条街道PQ，PR，QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法运算法则进行运算即可．
【解答】
解：AB→+CA→+BD→
=(AB→+BD→)+CA→
=AD→+CA→
=CA→+AD→
=CD→．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
【解析】
直接利用两角和的正弦定理求解即可.
【解答】
解：sin5∘cs55∘+cs5∘sin55∘
=sin5∘+55∘
=sin60∘
=32.
故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用(a→−λb→) // c→，列出含λ的方程求解即可．
【解答】
解：因为a→−λb→=(1+λ, 1−3λ)，又因为(a→−λb→) // c→，
所以1×(1+λ)−2×(1−3λ)=7λ−1=0，解得λ=17.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
正弦函数的定义域和值域
【解析】
先对函数f(x)=(1+3tanx)csx进行化简，再根据x的范围求最大值．
【解答】
解：f(x)=(1+3tanx)csx
=csx+3sinx=2sin(x+π6)，
∵ 0≤x<π2，∴ π6≤x+π6<2π3，
∴ f(x)∈[1, 2].
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用两个向量垂直，数量积等于0，得到 a→2=b→2=2 a→⋅b→，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】
解：∵ ( a→−2b→)⊥a→，( b→−2a→)⊥b→，
∴ ( a→−2b→)⋅a→=a→2−2 a→⋅b→=0，
( b→−2a→)⋅b→=b→2−2 a→⋅b→=0，
∴ a→2=b→2=2 a→⋅b→
设 a→与 b→的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式，可得
csθ=a→⋅b→|a→||b→|=12 ，∴ θ=π3.
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】

【解答】
解：tan20∘tan30∘+tan30∘tan40∘+tan40∘tan20∘
=tan30∘(tan20∘+tan40∘)+tan40∘tan20∘
=33tan(20∘+40∘)(1−tan20∘tan40∘)+tan40∘tan20∘
=33×3(1−tan20∘tan40∘)+tan40∘tan20∘
=1−tan20∘tan40∘+tan40∘tan20∘=1．
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
直接利用正弦定理和余弦定理求出结果．
【解答】
解：已知absinC=20sinB，
利用正弦定理得：abc=20b，
整理得：ac=20.
8csB=1，则csB=18，
因为a2+c2=41，
所以b2=a2+c2−2accsB．
解得b=6．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的加法及其几何意义
【解析】
本题考察平面向量的加法及其几何意义，多个平面向量加法可以化简为等价的平面向量加法.
【解答】
解：设线段A100A101中点为B，
由题意任意相邻两点距离相等可得B为A100A101，A99A102⋯A0A201的中点，
由向量的平行四边形法则得
OA100→+OA101→=OA99→+OA102→
=2OB→=OA0→+OA201→=a→+b→，
故OA→0+OA→1+OA→2+⋯+OA201→=101(a→+b→).
故选B.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
平面向量数量积
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的投影
【解析】
由已知中两个单位向量e1→，e2→的夹角为θ，根据向量在另一个向量上投影的定义，可以判断A的真假，根据向量平方等于向量模的平方，可以判断B的真假；根据两向量数量积为0，则向量垂直，可以判断C的真假；根据向量数量积的运算公式，我们可以判断D的真假，进而得到答案．
【解答】
解：∵ 两个单位向量e1→，e2→的夹角为θ，
则|e1→|=|e2→|=1，
则e1→在e2→方向上的投影为|e1→|csθ=csθ，故A正确；
e→12=e→22=1，故B正确；
(e1→+e2→)⋅(e1→−e2→)=e→12−e→22=0，
故(e1→+e2→)⊥(e1→−e2→)，故C正确；
e1→⋅e2→=|e1→|⋅|e2→|csθ=csθ，csθ不一定等于1，故D错误.
故选ABC.
【答案】
B,C,D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的正弦公式
【解析】
由题意利用两角和差的三角公式化简sinθ+csθ，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论．
【解答】
解：∵ 0<θ<π2，
∴ θ+π4∈(π4,3π4)，
又sin θ+cs θ=2sin(θ+π4)，
∴ 22∴ 1故选BCD.
【答案】
A,B,D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
结合已知梯形的性质及向量加法及减法的三角形法则及向量共线定理对各选项进行判断即可．
【解答】
解：由题意可得，AC→=AD→+DC→=b→+12a→，故A正确；
BC→=BA→+AC→=−a→+b→+12a→=b→−12a→，故B正确；
BM→=BA→+AM→=−a→+23AC→
=−a→+23b→+13a→=23b→−23a→，故C错误；
EF→=EA→+AD→+DF→=−12a→+b→+14a→
=b→−14a→，故D正确．
故选ABD.
【答案】
A,C,D
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11，
所以可设a+b=9x，a+c=10x，b+c=11x(其中x>0)，
解得：a=4x，b=5x，c=6x，
所以sinA:sinB:sinC=a:b:c=4:5:6，
所以A正确；
由上可知c边最大，所以三角形中C角最大.
又csC=a2+b2−c22ab=(4x)2+(5x)2−(6x)22×4x×5x=18>0，
所以C角为锐角，
所以B错误；
由上可知a边最小，
所以三角形中A角最小.
又csA=c2+b2−a22cb=(6x)2+(5x)2−(4x)22×6x×5x=34，
所以cs2A=2cs2A−1=18，
所以cs2A=csC.
由三角形中C角最大，且C角为锐角可得：2A∈0,π，C∈0,π2，
所以2A=C，
所以C正确；
由正弦定理得2R=csinC，
又sinC=1−cs2C=378，
所以2R=6378，解得：R=877，
所以D正确.
故选ACD.
三、填空题
【答案】
6
【考点】
弦切互化
二倍角的正弦公式
【解析】
利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可．
【解答】
解：sin2αcs2α=2sinαcsαcs2α=2tanα=6.
故答案为：6.
【答案】
60∘
【考点】
正弦定理
【解析】
已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，再由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】
解：利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB=3sinB，
∵ sinB≠0，∴ sinA=32.
∵ A为锐角，∴ A=60∘．
故答案为：60∘．
【答案】
−32
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
由条件可先得出AD→=23AB→+13AC→，且BC→=AC→−AB→，从而带入AD→∗BC→进行数量积的运算即可求出该数量积的值．
【解答】
解：根据条件：
AD→=AB→+BD→
=AB→+13BC→
=AB→+13(AC→−AB→)
=23AB→+13AC→；
∴ AD→⋅BC→=(23AB→+13AC→)⋅(AC→−AB→)
=13AB→⋅AC→−23AB→2+13AC→2
=13×3×3×12−23×9+13×9
=−32．
故答案为：−32.
【答案】
−14
【考点】
向量的模
平面向量数量积
【解析】
由题可知|b→+ta→|2的最小值为3，用含t的式子表示|b→+ta→|2，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于3构建方程，解得a→⋅b→=±4，由a→与b的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得t．
【解答】
解：由题|b→+ta→|2=|b→|2+2ta→⋅b→+t2|a→|2，
因为|a→|=4，|b→|=2，
所以|b→+ta→|2=22+2a→⋅b→t+t2⋅42
=16t2+2a→⋅b→t+4.
因为|b→+ta→|最小值为3，且由二次函数分析可知，
当t=−2a→⋅b→2⋅16=−a→⋅b→16时，|b→+ta→|2最小，
所以|b→+ta→|min2
=16−a→⋅b→162+2a→⋅b→−a→⋅b→16+4
=−(a→⋅b→)216+4=(3)2，
解得a→⋅b→=±4.
又因为a→与b→的夹角为锐角，所以a→⋅b→=4，
故t=−a→⋅b→16=−14．
故答案为：−14．
四、解答题
【答案】
解：(1)∵ |a→|=1且(a→−b→)⋅(a→+b→)=12，
∴ |b→|=22，
∵ a→⋅b→=12，
∴ 向量a→，b→的夹角的余弦为22，
∴ 向量a→，b→的夹角为45∘.
(2)∵ |a→−b→|2=1+12−2×12=12，
∴ |a→−b→|=22．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）先求出|b→|=22，再利用向量的数量积公式，即可求向量a→，b→的夹角；
（2）先求|a→−b→|2，再求|a→−b→|的值．
【解答】
解：(1)∵ |a→|=1且(a→−b→)⋅(a→+b→)=12，
∴ |b→|=22，
∵ a→⋅b→=12，
∴ 向量a→，b→的夹角的余弦为22，
∴ 向量a→，b→的夹角为45∘.
(2)∵ |a→−b→|2=1+12−2×12=12，
∴ |a→−b→|=22．
【答案】
解：(1)∵ (b−a)(sinA+sinB)=c(3sinB−sinC)，
由正弦定理：asinA=bsinB=csinC得(b−a)(a+b)=c(3b−c)，
即b2+c2−a2=3bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc=3bc2bc=32.
又0∴ A=π6．
(2)由正弦定理asinA=bsinB得：
b=a⋅sinBsinA=2×2212=22，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB，
∴ (22)2=4+c2−22c解得c=2+6，
∴ S△ABC=12bc⋅sinA
=12×22×(2+6)×12=3+1．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ (b−a)(sinA+sinB)=c(3sinB−sinC)，
由正弦定理：asinA=bsinB=csinC得(b−a)(a+b)=c(3b−c)，
即b2+c2−a2=3bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc=3bc2bc=32.
又0∴ A=π6．
(2)由正弦定理asinA=bsinB得：
b=a⋅sinBsinA=2×2212=22，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB，
∴ (22)2=4+c2−22c解得c=2+6，
∴ S△ABC=12bc⋅sinA
=12×22×(2+6)×12=3+1．
【答案】
解：(1)因为cs(α + β) = 513，cs(α − β) = 45，
所以 csα csβ − sinα sinβ = 513, csα csβ + sinα sinβ = 45,
解得 2csα csβ = 7765,2sinα sinβ = 2765,
所以tanα tanβ = 2sinα sinβ 2csα csβ= 2765 7765=2777.
(2)因为α，β为锐角，
所以0<α+β<π，sin(α+β)>0，csβ>0，
由cs(α + β) = 513，
得sin(α + β) = 1 − cs2(α + β) = 1213；
由sinβ = 35，得csβ = 1 − sin2β = 45，
所以sinα=sin[(α+β)−β]
=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ
= 3365．
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
同角三角函数间的基本关系
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
结合两角和与差的展开式可求；
结合同角平方关系及和 差角公式可求．
【解答】
解：(1)因为cs(α + β) = 513，cs(α − β) = 45，
所以 csα csβ − sinα sinβ = 513, csα csβ + sinα sinβ = 45,
解得 2csα csβ = 7765,2sinα sinβ = 2765,
所以tanα tanβ = 2sinα sinβ 2csα csβ= 2765 7765=2777.
(2)因为α，β为锐角，
所以0<α+β<π，sin(α+β)>0，csβ>0，
由cs(α + β) = 513，
得sin(α + β) = 1 − cs2(α + β) = 1213；
由sinβ = 35，得csβ = 1 − sin2β = 45，
所以sinα=sin[(α+β)−β]
=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ
= 3365．
【答案】
解：(1)设∠POB=β，则sinβ = 35，csβ = 45，
∴ xQ=cs(α +β) =cs(π2+β)=−sinβ =−35，
由A(−1,0)可知，AQ→=(xQ+1,yQ)，AO→=(1,0)，
∴ AQ→⋅AO→=xQ+1=25.
(2)由题意，得sin(α+β)=12且α+β∈(0, π)，β∈(0,π2)，
∴ α+β∈(π2,π)，
∴ α+β=5π6，即α=5π6−β，
∴ csα=cs(5π6−β)=cs5π6csβ+sin5π6sinβ
=−32×45+12×35=3−4310．
【考点】
任意角的三角函数
诱导公式
平面向量数量积的运算
两角和与差的余弦公式
【解析】
（1）根据条件以及诱导公式求出点Q的坐标，再代入数量积计算公式即可；
（2）根据点Q的纵坐标为12，得到以α + β = 5π6，α = 5π6 − β，再利用诱导公式求解即可.
【解答】
解：(1)设∠POB=β，则sinβ = 35，csβ = 45，
∴ xQ=cs(α +β) =cs(π2+β)=−sinβ =−35，
由A(−1,0)可知，AQ→=(xQ+1,yQ)，AO→=(1,0)，
∴ AQ→⋅AO→=xQ+1=25.
(2)由题意，得sin(α+β)=12且α+β∈(0, π)，β∈(0,π2)，
∴ α+β∈(π2,π)，
∴ α+β=5π6，即α=5π6−β，
∴ csα=cs(5π6−β)=cs5π6csβ+sin5π6sinβ
=−32×45+12×35=3−4310．
【答案】
解：(1)因为AB→⋅AC→=0，所以AB→⊥AC→ .
以A为原点，AB所在直线为x轴，AC在直线为y轴建立平面直角坐标系．
令|AC→|=a，则C0,a，B2a,0，
所以AB→−AC→=2a,−a，AB→+AC→=2a,a，
设向量AB→−AC→与向量AB→+AC→的夹角为θ，
所以csθ=(AB→−AC→)⋅(AB→+AC→)|AB→−AC→|⋅|AB→+AC→|=4a2−a25a⋅5a=35 .
(2)因为AB→⋅AC→=0，所以AB→⊥AC→，
以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
因为|AB→|=2|AC→|=2，所以C(0,1)，B(2,0)，M1,12，
设Ox,x2，x∈[0,1]，
所以OA→⋅OB→+OC→⋅OA→
=OA→⋅(OB→+OC→)
=2OA→⋅OM→
=2−x,−x2⋅1−x,12−x2
=2x2−x+x24−x4
=52x2−x
=52x−122−58.
当且仅当x=12时，OA→⋅OB→+OC→⋅OA→取得最小值，为−58 .
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】


【解答】
解：(1)因为AB→⋅AC→=0，所以AB→⊥AC→ .
以A为原点，AB所在直线为x轴，AC在直线为y轴建立平面直角坐标系．
令|AC→|=a，则C0,a，B2a,0，
所以AB→−AC→=2a,−a，AB→+AC→=2a,a，
设向量AB→−AC→与向量AB→+AC→的夹角为θ，
所以csθ=(AB→−AC→)⋅(AB→+AC→)|AB→−AC→|⋅|AB→+AC→|=4a2−a25a⋅5a=35 .
(2)因为AB→⋅AC→=0，所以AB→⊥AC→，
以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
因为|AB→|=2|AC→|=2，所以C(0,1)，B(2,0)，M1,12，
设Ox,x2，x∈[0,1]，
所以OA→⋅OB→+OC→⋅OA→
=OA→⋅(OB→+OC→)
=2OA→⋅OM→
=2−x,−x2⋅1−x,12−x2
=2x2−x+x24−x4
=52x2−x
=52x−122−58.
当且仅当x=12时，OA→⋅OB→+OC→⋅OA→取得最小值，为−58 .
【答案】
解：(1)由P位于弧BC的中点，在P位于∠BAC的角平分线上，
则|PQ|=|PR|=|PA|sin∠PAB=2×sin30∘
=2×12=1，
|AQ|=|PA|cs∠PAB=2×32=3，
由∠BAC=60∘，且|AQ|=|AR|，
∴ △QAR为等边三角形，则|RQ|=|AQ|=3，
三条街道的总长l=|PQ|+|PR|+|RQ|=1+1+3=2+3（千米）.
(2)0∘<θ<60∘，
则|PQ|=|AP|sinθ=2sinθ，
|PR|=|AP|sin(60∘−θ)=2sin60∘−θ
=3csθ−sinθ，
|AQ|=|AP|csθ=2csθ，
|AR|=|AP|cs(60∘−θ)=2cs60∘−θ
=csθ+3sinθ，
由余弦定理可知：
|RQ|2=|AQ|2+|AR|2−2|AQ||AR|cs60∘，
=(2csθ)2+(csθ+3sinθ)2
−2×2csθ(csθ+3sinθ)cs60∘=3，
则|RQ|=3.
设三条街道每年能产生的经济总效益W，
W=|PQ|×300+|PR|×200+|RQ|×400
=300×2sinθ+3csθ−sinθ×200+4003，
=400sinθ+2003csθ+4003，
=200(2sinθ+3csθ)+4003，
=2007sin(θ+φ)+4003 ，tanφ=32，
当sinθ+φ=1，W取最大值，最大值为2007+4003（万元）．
【考点】
函数模型的选择与应用
三角函数的最值
【解析】
（1）由P位于弧BC的中点，在P位于∠BAC的角平分线上，
则|PQ|=PR=|PA|sin∠PAB=2×sin30∘=2×12=1，
|AQ|=|PA|cs∠PAB=2×32=3，
由∠BAC=60∘，且|AQ|=|AR|，∴ △QAR三角形，则|RQ|=|AQ|=3，
三条街道的总长l=|PQ|+|PR||+|RQ|=1+3=2+3（千米）.
（2）0∘<0<60∘，
则|PQ|=|AP||sinθ=2sinθ，
|PR|=|AP|sin(60∘−θ)=2sin60∘−θ=3csθ−sinθ
|AQ|=|AP|csθ=2csθ，
|AR|=|AP|sin(60∘−θ)=2cs60∘−θ=csθ−3sinθ，
由余弦定理可知：
|RQ|2=|AQ|2+|AR|2−2|AQ||AR|cs60∘，
=(2csθ)2+(csθ+3sinθ)2−2csθcsθ+3sinθ)cs60∘=3
则|RQ|=3，
设三条街道每年能产生的经济总效益W．
W=|PQ|×3000|PR|×200+|RQ|×400，
=300×2sinθ+3csθ−sinθ×200+4003，
=400sinθ+2003csθ+4003，
=200(2sinθ+3csθ)+4003，
=2007sin(θ+φ)+4003 ，tanφ=32，,
当sinθ+φ=1，W取最大值，最大值为2007+4003（万元）．
【解答】
解：(1)由P位于弧BC的中点，在P位于∠BAC的角平分线上，
则|PQ|=|PR|=|PA|sin∠PAB=2×sin30∘
=2×12=1，
|AQ|=|PA|cs∠PAB=2×32=3，
由∠BAC=60∘，且|AQ|=|AR|，
∴ △QAR为等边三角形，则|RQ|=|AQ|=3，
三条街道的总长l=|PQ|+|PR|+|RQ|=1+1+3=2+3（千米）.
(2)0∘<θ<60∘，
则|PQ|=|AP|sinθ=2sinθ，
|PR|=|AP|sin(60∘−θ)=2sin60∘−θ
=3csθ−sinθ，
|AQ|=|AP|csθ=2csθ，
|AR|=|AP|cs(60∘−θ)=2cs60∘−θ
=csθ+3sinθ，
由余弦定理可知：
|RQ|2=|AQ|2+|AR|2−2|AQ||AR|cs60∘，
=(2csθ)2+(csθ+3sinθ)2
−2×2csθ(csθ+3sinθ)cs60∘=3，
则|RQ|=3.
设三条街道每年能产生的经济总效益W，
W=|PQ|×300+|PR|×200+|RQ|×400
=300×2sinθ+3csθ−sinθ×200+4003，
=400sinθ+2003csθ+4003，
=200(2sinθ+3csθ)+4003，
=2007sin(θ+φ)+4003 ，tanφ=32，
当sinθ+φ=1，W取最大值，最大值为2007+4003（万元）．