初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质精品课堂检测

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步测评（附答案）

一．选择题（共9小题，满分45分）

1．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（　　）

A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9

2．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，15cm和18cm，另一个三角形的最长边长为9cm，则它的最短边为（　　）

A．2cm B．2.5cm C．4cm D．7.5cm

3．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（　　）

A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm

4．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）

A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2

5．已知△ABC∽△DEF，面积比为9：4，则△ABC与△DEF的对应角平分线之比为（　　）

A．3：4 B．2：3 C．9：16 D．3：2

6．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（　　）

A． B． C． D．

7．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（　　）

A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4

8．一个三角形的三边分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（　　）

A． B． C．9 D．10

9．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．32

二．填空题（共4小题，满分20分）

10．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为　                　．

11．若△ABC∽△DEF，且相似比是2：3，它们周长之和是40，则△ABC的周长是　   　．

12．在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D在射线AB上，在构成的图形中，△ACD为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则CD的长是　                　．

13．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE与△DBC相似，若△APD是以AD为底的等腰三角形，则PE的长为　                　．

三．解答题（共7小题，满分55分）

14．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．

（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠B＝50°，∠C＝30°，求证：AD为△ABC的优美线；

（2）在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三角形，求∠BAC的度数．

15．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）

16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S△AOC＝36，求

（1）AO的长．

（2）求S△BOD．

17．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．

18．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3．

（1）求CE的长；

（2）求证：BC⊥AD．

19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：

（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？

（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．

（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

20．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．

（1）求∠ADE和∠AED的度数；

（2）求DE的长．

参考答案

一．选择题（共9小题，满分45分）

1．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，

∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．

故选：C．

2．解：设另一个三角形的最短边长为xcm，

根据题意，得：，

解得：x＝2.5，

即另一个三角形的最短边的长为2.5cm．

故选：B．

3．解：设另一个三角形的最短边长为xcm，

根据题意，得：＝，

解得：x＝6，

即另一个三角形的最短边的长为6cm．

故选：A．

4．解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，

则矩形ABDC∽矩形FDCE，

则，

设DF＝xcm，得到：

解得：x＝4.5，

则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．

故选：B．

5．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为9：4，

∴△ABC与△DEF的相似比为3：2，

∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为3：2，

故选：D．

6．解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，

∴，

∴，

故选：B．

7．解：∵两个相似三角形对应高之比为4：9，

∴它们的相似比为4：9，

∴面积比＝（）2＝16：81．

故选：C．

8．解：当边长为8的边长与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例时，则另两条边长分别为：，；

当与边长为4的对应成比例时，其另两条边长分别为：6，10；

当与边长为5的对应成比例是，其另两条边长分别为：，；

则这个三角形的边长不可能是9，

故选：C．

9．解：设△DEF的周长为x，

∵△ABC∽△DEF，相似比为2，

∴16：x＝2：1，

解得，x＝8．

故选：C．

二．填空题（共4小题，满分20分）

10．解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，

∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；

①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：

∵PE⊥BO，CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），

∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝，即＝，

解得：PE＝3，

∴点P（﹣4，3）；

②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，

过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：

∵CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6），

∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，

∴BC＝＝＝10，

∴BP＝2，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝＝，即：＝＝，

解得：PE＝，BE＝，

∴OE＝8﹣＝，

∴点P（﹣，）；

综上所述：点P的坐标为：（﹣，）或（﹣4，3）；

故答案为：（﹣，）或（﹣4，3）．

11．解：∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，

∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：3，

∴△ABC的周长＝×40＝16．

故答案为：16

12．解：①如图1中，当点D在线段AB上，DC＝AD，且△BCD∽△BAC时，设CD＝x，BD＝y，

则有：＝＝，

∴＝＝，

解得：x＝，y＝，

∴CD＝．

②如图2中，当点D在AB的延长线上时，AC＝AD＝4，△DCB∽△DAC．设CD＝x，BD＝y，

则：＝＝，

∴＝＝，

解得x＝2，y＝1，

∴CD＝2，

③当CA＝CD＝4时，△ACB∽△DCB，

④如图4中，当AC＝AD＝4，△BCD∽△BAC时．

则有＝＝，

∴＝，

∴BD＝2﹣2或﹣2﹣2（舍弃），

∴＝，

∴CD＝4﹣4

综上所述，满足条件的CD的值为或2或4或4﹣4．

13．解：如图，由题意点P在线段AD的垂直平分线上，

∵△PBE与△DBC相似，

∴当点P在对角线BD上时，存在两个点E满足条件，

①当∠PEB＝90°时，易知BE＝BC＝4，PE＝CD＝3，

②当∠BPE′＝90°时，∵△BPE′∽△BCD，

∴＝

∴＝，

∴PE＝．

③当∠PBC＝∠BDC，∠PEB＝90°时，∵△PBE∽△BDC，

∴＝，

∴＝＝，

④当∠PBC＝∠BDC，∠BPE＝90°时，点E在BC的延长线上，不符合题意，

综上所述，满足条件的PE的值为3或或．

三．解答题（共7小题，满分55分）

14．解：（1）如图1中，

∵∠B＝50°，∠C＝30°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC＝50°，

∴∠B＝∠BAD＝50°，

∴DB＝DA，

∴△ABD是等腰三角形，

∵∠C＝∠C，∠DAC＝∠B＝50°，

∴△CAD∽△CBA，

∴线段AD是△ABC的优美线．

（2）如图2中，

若AB＝AD，△CAD∽△CBA，则∠B＝∠ADB＝∠CAD，则AC∥BC，这与△ABC这个条件矛盾；

若AB＝BD，△CAD∽△CBA，∠B＝46°，

∴∠BAD＝∠BDA＝67°，

∵∠CAD＝∠B＝46°，

∴∠BAC＝67°+46°＝113°．

15．已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，＝k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，

求证：＝k．

证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，

∴AD＝AB，A'D'＝A'B'，

∴，

∵△ABC∽△A'B'C'，

∴，∠A'＝∠A，

∵，∠A'＝∠A，

∴△A'C'D'∽△ACD，

∴＝k．

16．解：（1）∵△OBD∽△OAC，

∴＝＝，∵OB＝4，

∴OA＝6．

（2）∵△OBD∽△OAC，

∴＝（）2，

∵S△AOC＝36，

∴S△OBD＝16．

17．解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，

∴AC2+BC2＝25＝AB2，△ABC的周长为12，

∴∠C＝90°，

∵△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，

∴相似比＝＝，∠C＝∠C'，

∴△ABC的周长为12×3＝36，∠C'的度数为90°．

18．解：（1）∵△ABC∽△DEC，

∴

又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3

∴EC＝3.1；

（2）∵△ABC∽△DEC，

∴∠ACB＝∠DCE，

∵∠ACB+∠DCE＝180°，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴BC⊥AD．

19．解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，

（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，

由勾股定理得PQ＝；

（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，

因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；

（3）分两种情况：

①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；

②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．

因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

20．解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，

∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣40°＝65°，

∵△ABC∽△ADE，

∴∠ADE＝∠ABC＝40°，

∠AED＝∠C＝65°；

（2）∵△ABC∽△ADE，

∴＝，

即＝，

解得DE＝12cm．