初中数学北师大版九年级上册6 利用相似三角形测高精品当堂检测题

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.6利用相似三角形测高》同步测评（附答案）

一．选择题（共3小题，满分15分）

1．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（　　）

A．5m B．6m C．7m D．8m

2．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（　　）

A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m

3．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 

C．两人都对 D．两人都不对

二．填空题（共8小题，满分40分）

4．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为　   　米．

5．小明身高1.8m，王鹏身高1.50m，他们在同一时刻站在阳光下，小明影子长为1.20m，则王鹏的影长为　 　m．

6．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2米，CD＝5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离是　              　米．

7．小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米．则电线杆AB长＝　    　米．

8．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为　    　m．

9．如图一腰长为4cm，底边长为3cm的等腰三角形，现在要利用这个等腰三角形加工出一个边长比是1：2的平行四边形，使平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长是　        　．

10．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4米，观察者目高CD＝1.6米，则树（AB）的高度为　    　米．

11．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，在AC，BC上分别取其靠近C点的三等分点M，N．量得MN＝38m，则AB的长为　    　m．

三．解答题（共11小题，满分65分）

12．如图，小明预测了一座铁塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影子长是2m．

（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？

（2）并求出铁塔的高度是多少？

13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．

14．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．

15．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．

（1）求路灯A的高度；

（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？

16．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．

17．如图操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？

18．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？

19．在方格纸上任意连接不在同一直线上的三个格点，便可画出一个三角形．请用这种方式在如下的方格纸上画出两个大小不等的三角形，要求这两个三角形都与格点三角形△ABC相似，且相似比不为1．

20．已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC＝OB：OD＝3，CD＝7cm．求此零件的厚度x．

21．学习投影后，小刚、小雯利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，在同一时间，身高为1.6m的小刚（AB）的影子BC长是3m，而小雯（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB＝6m．

（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；

（3）如果小刚沿线段BH向小雯（点H）走去，当小刚走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长．

22．材料阅读：

如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．

解决问题：

（1）图①中，若∠A＝∠B＝∠DEC＝40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）；

（3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置．

参考答案

一．选择题（共3小题，满分15分）

1．解：设长臂端点升高x米，

则，

∴x＝8．

故选：D．

2．解：由题意可得：AB＝1.5m，BC＝0.5m，DC＝4m，

△ABC∽△EDC，

则＝，

即＝，

解得：DE＝12，

故选：B．

3．解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，

∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，

∴△ABC∽△A′B′C′，

∴甲说法正确；

乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，

∴＝＝，＝＝，

∴≠，

∴新矩形与原矩形不相似．

∴乙说法不正确．

故选：A．

二．填空题（共8小题，满分40分）

4．解：∵＝＝，

∵CE＝2，

∴CD＝4，

∴BD＝BC+CD＝16+4＝20米．

∴AB＝BD＝×20＝10米．

故应填10．

5．解：设王鹏的影长为xm，

由题意可得：＝，

解得：x＝1．

故答案为：1．

6．解：∵AB∥CD

∴△PAB∽△PCD

∴AB：CD＝P到AB的距离：点P到CD的距离．

∴2：5＝P到AB的距离：3

∴P到AB的距离为m，

故答案为．

7．解：∵CD∥AB，

∴△ECD∽△EAB，

∴ED：EB＝CD：AB，

∴2：6＝1.5：AB，

∴AB＝4.5米．

答：电线杆AB长为4.5米．

8．解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，

则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，

所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），

∵AG∥CH，

∴△EAG∽△EHC，

∴＝，即＝，

解得：CH＝3，

∴CD＝CH+DH＝4.6（m）．

故答案为：4.6．

9．解：如图AB＝AC＝4cm，BC＝3cm，

设平行四边形的短边为xcm，

①若BE是平行四边形的一个短边，

则EF∥AB，

＝，

解得x＝1.2厘米，

②若BD是平行四边形的一个短边，

则EF∥AB，

＝，

解得x＝，

综上所述短边为1.2cm或cm．

故答案为：1.2cm或cm．

10．解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，

则△ABE∽△CDE，

则，即，

解得：AB＝5.6米．

故答案为：5.6．

11．解：∵CM：CA＝CN：CB＝1：3

∵∠C＝∠C

∴△CMN∽△CAB

∴MN：AB＝CM：CA＝1：3

∵MN＝38m

∴AB＝114m

故答案是：114．

三．解答题（共11小题，满分65分）

12．解：（1）∵BC⊥AE，DE⊥AE，

可得△ABC∽△ADE，

（2）∵△ABC∽△ADE，

∴＝，即＝，

即＝，

∴DE＝16（米），

∴铁塔的高度为16米．

13．解：在△DEF和△DBC中，，

∴△DEF∽△DBC，

∴＝，

即＝，

解得BC＝4，

∵AC＝1.5m，

∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，

即树高5.5m．

14．解：在△ABC与△AMN中，

＝，＝，∴，又∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△ANM，

∴，即，

解得：MN＝1500米，

答：M、N两点之间的直线距离是1500米；

15．解：（1）设BC＝x米，AB＝y米，

由题意得，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，身高MC＝NE＝1.5米，

∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，

∴，，

，，

解得，

∴路灯A的高度为6米．

（2）如图，连接AG交BF延长线于点H，

∵△ABH∽△GFH，GF＝1.5米，BH＝3+3+2+FH＝8+FH，

∴，

，

解得（米）．

答：当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是米．

16．解：过C作CE⊥AB于E，

∵CD⊥BD，AB⊥BD，

∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，

∴四边形CDBE为矩形，

∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，

设AE＝x，则1：1.5＝x：21，

解得x＝14，

∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．

17．解：由题意知，设AH＝x米，BH＝y米，

△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，

∴＝，＝，

∴3x＝1.5×（y+3），5x＝1.5×（y+30+5）

解得x＝24．

答：旗杆AH的高度为24m．

18．解：过C点作CG⊥AB于点G，

∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．

∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，

∴∠NFM＝∠ACG，

∴△NMF∽△AGC，

∴，

∴AG＝＝＝6，

∴AB＝AG+GB＝6+2＝8（米），故电线杆子的高为8米．

19．解：如图所示：△A′B′C′与△ABC的相似比为：：1，

△A″B″C″与△ABC的相似比为：2：1．

20．解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠AOB＝∠COD，

∴△ODC∽△OAB，

∴AB：CD＝3，

∵CD＝7cm，

∴AB＝7×3＝21cm，

则x＝（25﹣21）÷2＝2cm．

21．解：（1）如图：形成影子的光线，路灯灯泡所在的位置G．

（2）解：由题意得：△ABC∽△GHC，

∴，

∴，

解得：GH＝4.8（m），

答：路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m．

（3）解：△A1B1C1∽△GHC1，

∴，

设B1C1长为xm，

则，

解得：（m），

即（m），

答：小刚的影子B1C1的长是m．

22．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由是：

∵∠A＝40°，

∴∠ADE+∠DEA＝140°，

∵∠DEC＝40°，

∴∠BEC+∠DEA＝140°，

∴∠ADE＝∠BEC，

∵∠A＝∠B，

∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；

（2）作图如下：

（3）若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

则△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，

由折叠得：∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，

∴∠BCE＝∠BCD＝30°，

∴BE＝CE＝AB，

即E为AB的中点