浙教版九年级上册3.3 垂径定理精品随堂练习题

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2021-2022年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》能力提升专题训练（附答案）
1．如图，⊙O的直径CD为26，弦AB的长为24，且AB⊥CD，垂足为M，则CM的长为（　　）

A．25 B．8 C．5 D．13
2．如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD＝4，EM＝6，则所在圆的半径为（　　）

A．3 B．4 C． D．
3．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．4 C．4 D．4
4．⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（　　）
A．16 B．18 C．24 D．32
5．⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在直线距离为2的点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
8．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，则CD的长为（　　）

A． B．6 C．2 D．12
10．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．6 D．8
11．如图，在半径为5的⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC、EB．若CD＝2，则EC的长为（　　）

A．2 B．8 C．2 D．2
12．如图，AB为⊙O的直径，弦CN与AB交于点D，AC＝AD，OE⊥CD，垂足为E，若CE＝4ED，OA＝2，则DN的长为（　　）

A．1 B． C． D．
13．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的边长为2cm，则该半圆的直径PQ的长为（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm
14．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（　　）

A．48 B．45 C．42 D．40
15．如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
16．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是（　　）

A．3≤OP≤5 B．4＜OP＜5 C．4≤OP≤5 D．3＜OP＜5

17．如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，P是弦AB上的一个动点，不在OP取值范围内的是（　　）

A．4 B．5 C．12 D．13
18．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（　　）

A． B．3 C． D．
19．如图，某大桥可以近似地看作半径为250m的圆中的一段圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）

A．60m B．50m C．45m D．40m
20．往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）

A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm


21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点H．若CD＝24，BH＝8，则⊙O的半径长为 　 　．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　 　．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为　 　．

24．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是　 　．

25．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．

26．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．

27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．

28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？为什么？
②若AD＝EC，求的值．


参考答案
1．解：连接OA，

∵⊙O的直径CD为26，
∴OC＝OA＝13，
∵CD⊥AB，CD过O，
∴AM＝BM，
∵AB＝24，
∴AM＝12，
由勾股定理得：OM＝＝＝5，
∴CM＝OC﹣OM＝13﹣5＝8，
故选：B．
2．解：如图，连接OC，
设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，
∴CM＝DM＝CD＝2，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（6﹣R）2+22，
解得：R＝，
故选：D．

3．解：如图，连接OA，OC．

∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
4．解：如图，过O点作OB⊥MN于B，连接OM，
∴MB＝NB，
∵MN＝16，
∴MB＝8，
∵OM＝10，
∴OB＝＝6，
∴点A到直线MN距离的最大值为10+6＝16，
故选：A．

5．解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，
∵AB＝8，
∴AD＝4．
∵OA＝5，
∴OD＝＝3，
∴CD＝OC﹣3＝5﹣3＝2，即C到弦AB所在的直线距离为2，
∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点；
∵DE＝5+3＝8＞2，
∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个．
故选：C．

6．解：如图所示，CD⊥AB于点P．

根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．
∵AB是直径，且CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
7．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝50﹣14＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．

8．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm），
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，
同理可得：OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）；
综上所述，AC的长为4cm或2cm，
故选：C．

9．解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，

∵AB＝AP+BP＝4+8＝12，
∴OD＝OA＝6，
∴OP＝OA﹣AP＝6﹣4＝2，
∵∠OPE＝∠APC＝45°，
∴△OPE是等腰直角三角形，
∴PE＝OE＝，
在Rt△OED中，DE＝＝＝，
∵OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2DE＝2，
故选：C．
10．解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，

∵MO＝6，∠OMA＝30°，
∴OC＝MO＝3，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴BC＝AC，
即AB＝2AC＝2×4＝8，
故选：D．
11．解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OD＝5，
∵CD＝2，
∴OC＝OD﹣CD＝3，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝＝＝4，
∵OA＝OE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
∴EC＝＝＝2，
故选：D．
12．解：过A点作AF⊥CN于F，连接ON，如图，
∵AC＝AD，
∴CF＝DF，
∵OE⊥CN，
∴CE＝NE，
设DE＝x，则CE＝NE＝4x，CD＝5x，
∴CF＝FD＝x，
∴EF＝x﹣x＝x，
∵OE∥AF，
∴DO：OA＝DE：EF，即DO：2＝x：x，解得DO＝，
在Rt△ODE中，OE2＝OD2﹣DE2＝（）2﹣x2，
在Rt△ONE中，OE2＝ON2﹣NE2＝22﹣（4x）2，
∴（）2﹣x2＝22﹣（4x）2，解得x＝，
∴DN＝EN﹣DE＝3x＝3×＝．
故选：C．

13．解：如图，过O点作OH⊥BC于H，连接OC、OF，如图，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠ODC＝∠DCH＝90°，
∴四边形ODCH为矩形，
∴CD＝OH，OD＝CH，
∴OH＝2CH，
设OD＝xcm，则OH＝2xcm，OG＝（2+x）cm，
在Rt△OCH中，OC＝＝x（cm），
在Rt△OGF中，22+（2+x）2＝（x）2，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去），
∴OC＝2cm，
∴PQ＝2OC＝4cm．
故选：D．

14．解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝75，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，最大值为＝24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．

15．解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝AB，
在Rt△AOM中，AM＝＝＝2，
∴AB＝2AM＝4，
则4≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．

16．解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HB＝AB＝3，
由勾股定理得，OH＝＝4，
当点P与点A（或点B）重合时，OP最大，当点P与点H重合时，OP最小，
∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5，
故选：C．

17．解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝12，
在Rt△OAH中，OH＝＝＝5，
∵P是弦AB上的一个动点，
∴5≤OP≤13．
故选：A．

18．解：过点O作OE⊥AB于E，如图：

∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE＝BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
∴弦BC的最大值为：2OP＝2．
故选：A．
19．解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：

则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200，
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：B．
20．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：B．

21．解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OH＝r﹣8，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×24＝12，
在Rt△OCH中，（r﹣8）2+122＝r2，
解得r＝13，
即⊙O的半径长为13．
故答案为13．

22．解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：

在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
23．解：连接OB，
∵直线y＝kx﹣3k+4必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD＝＝5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB＝13，
∴BD＝＝＝12，
∴BC＝2BD＝24，
∴BC的长的最小值为24；
故答案为：24．

24．解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，
∴OE＝＝＝4，OF＝＝＝3，
当AB∥CD时，E、O、F三点共线，
当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，
当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故答案为：1≤EF≤7．

25．（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．

26．（1）证明：∵AD＝DC，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝∠ACB，
∴OD∥BC．

（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝5，
设OA＝OD＝r，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r﹣4）2，
∴r＝，
∴OE＝r﹣DE＝﹣4＝，
∵AE＝EC，AO＝OB，
∴BC＝2OE＝．

27．解：连接OD，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝3，
设⊙O的半径为r，
则OE＝r﹣1，OD＝r，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OE＝4，AE＝5+4＝9，
∴S△AED＝AE•DE＝×9×3＝，S△OED＝OE•DE＝×4×3＝6，
∴S△AOD＝S△AED﹣S△OED＝﹣6＝，
∵OF⊥AD，OA＝OD，
∴AF＝DF，
∴S△AOF＝S△AOD＝×＝．

28．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝59°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝31°；
（2）①由勾股定理得，AB＝，
∴，
解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根；
②∵AD＝AE，
∴AE＝EC＝，
由勾股定理得，a2+b2＝，
整理得，
．