浙教版九年级上册3.4 圆心角优秀课时作业

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2021-2022学年浙教版九年级数学上册《3.4圆心角》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，圆的半径为2，且CB＝CD＝2，AB＝AD，则该S四边形ABCD＝（　　）

A．4 B．2 C．3 D．6
3．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为（　　）

A．6π B．4π C．3π D．4π
4．如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．3
5．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．2
6．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（　　）

A．10 B．13 C．15 D．16
7．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（　　）

A．60° B．75° C．80° D．90°
8．如图，⊙A的半径为2，B，C在⊙A上且∠BAC＝120°，若点P，Q，R分别为BC，AC、AB上的动点，则PR+PQ的最小值为（　　）

A．2﹣ B．﹣1 C．1 D．

9．已知⊙O的直径CD为2，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC　 　BD（填“＞”“＜”或“＝”）．

11．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，＝，则
∠DAB＝　 　°．

12．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为　 　．

13．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝　 　．

14．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2020秒点P所在位置的坐标为 　 　．

15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝4，则OP的长为　 　．

16．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，则∠EOB的度数为　 　．

17．长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
18．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．


19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．



20．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．



21．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积．


22．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．

23．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．


参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：A．
2．解：连接AC，

∵CB＝CD，AD＝AB，
∴＝，＝，
∴＝，
即AC是圆的直径，
∴∠D＝∠B＝90°，
∵圆的半径为2，
∴AC＝4，
∵CB＝CD＝2，
由勾股定理得：AD＝AB＝＝2，
∴S四边形ABCD
＝S△ADC+S△ABC
＝+
＝+
＝4，
故选：A．
3．解：连接AB，AO，DO，

∵⊙O的弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3，
∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，
故选：A．
4．解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．

∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，
∴OM＝ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
∴OE＝OM＝3，
故选：D．
5．解：连接OA，OD，

∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝2，
∴R＝2，
故选：C．
6．解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，＝，
∵点D是弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF＝12，
∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴AB＝2x＝15，
故选：C．
7．解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
连接AQ，CQ，
在△APQ与△CQN中
，
∴△APQ≌△CQN（SAS），
∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN
∵∠AQP+∠PAQ＝90°，
∴∠AQP+∠CQN＝90°，
∴∠AQC＝90°，
即所对的圆心角的大小是90°，
故选：D．
8．解：如图，作BH⊥CA交CA的延长线于H．连接PA．

在Rt△ABH中，∵AB＝2，∠BAH＝60°，
∴BH＝，
当PR⊥AB，PQ⊥AC时，PR+PQ的值最小，
∵S△ABC＝•AC•BH＝•AB•PR+•AC•PQ，
∴PR+PQ＝BH＝，
故PR+PQ的最小值为，
故选：D．
9．解：过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O与点E，连接B′E．
∵点B与点B′关于CD对称，
∴PB＝PB′，＝，
∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．
∵点B是的中点，
∴＝120°．
∴∠B′EA＝60°．
∴AB′＝．
故选：D．

二．填空题（共8小题，满分32分）
10．解：∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AC＝BD，
故答案为：＝．
11．解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠B＝44°．
∴∠ADC＝180°﹣44°＝136°．
∵＝，
∴AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA＝＝22°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝22°+46°＝68°．
故答案是：68．

12．解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝，
∴OE＝＝1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，
∴OM＝，
故答案为：．

13．解：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，
∴AB＝CD＝6．
故答案是：6．

14．解：∵动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，
360÷45＝8，
∴点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，
∵2020÷8＝252•••4，
∴第2020秒点P所在位置与B点重合，即（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
15．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
在Rt△OBE中，OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OE＝OF＝1，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OP＝OE＝，
故答案为：．

16．解：∵CD＝OA，OA＝OD，
∴CD＝OD，
∵∠C＝23°，
∴∠DOC＝∠C＝23°，
∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝88°，
∵∠DOC＝23°，
∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣23°﹣88°＝69°，
故答案为：69°．
17．解：如图AB＝6，∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝＝＝6，
故答案为6．

三．解答题（共6小题，满分52分）
18．证明：连接BD．

∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
19．解：（1）如图，连接AD．

∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．

∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵•AF•BC＝•AC•AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
20．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，
∴CE＝＝＝．
21．（1）证明：∵AC＝BD，
∴，
则，
∴AB＝CD；
（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则BH＝DH，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD＝120°，
∴∠BOH＝60°，
∴∠OBH＝30°，
则BH＝OB＝4，
∴AC＝BD＝8，
则四边形ABCD的面积＝×AC×BD＝×8×8＝96．

22．（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，
解得：x＝4.5，
∴OM＝4.5．

23．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．