数学九年级上册第23章 图形的相似23.3 相似三角形4. 相似三角形的应用精品课时训练

23.3.4相似三角形的应用同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 已知CD是斜边上的高，则下列各式中不正确的是

A.
B.
C.
D.
 

2. 在中，，，垂足为D，，，则CD的长为

A. 2
B. 3
C.
D.

3. 在直角三角形ABC中，，，，，那么正确的

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在中，，，垂足为点D，结论错误的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是

A.
B. 是等边三角形
C.
D.
 

6. 如图，在中，，于点D，如果，，那么AD的值为    

A.
B.
C.
D.  

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

7. 如图，已知直角中，CD是斜边AB上的高，，，则______．
   
    

8. 中，，CD是高，点E在AB边上，，若，，则AD的长为______ ．
9. 如图，在中，，，，≌点正好落在AB上，与AC相交于点D，那么 ______ ．

10. 如图，已知直角中，CD是斜边AB上的高，，，则______．
    
     

11. 在中，，若，，则______．
12. 如图，在中，，于点D，；若，，则____________。

13. 已知：如图，在矩形ABCD中，于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：：3，，则AC的长度为______cm．

三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）

14. 如图，马路两侧有两根灯杆AB、CD，当小明站在点N处时，在灯C的照射下，小明的影长正好为NB长，在灯A的照射下，小明的影长为NE长，测得，，．
    
    若小明的身高，求AB的长
    试判断这两根灯杆的高度是否相等，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
15. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，其中a、b、c为的三边长．
    试判断的形状，并说明理由；
    若CD是AB边上的高，，，求BD的长．
    
     

16. 如图，在中，，于点D，求证：．
    
     

17. 问题情境：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．
    结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明∽．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握射影定理的内容并灵活运用．根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，进行判断即可．
【解答】
解：根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得AC选项正确；
根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B选项正确；
综上可得：A、B、C选项都正确，D选项错误．
故选D．  

2.【答案】D
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得，，
故选：D．
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：由射影定理得，，即，
解得，舍去，，
，
，
，A选项错误；
由勾股定理得，，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
根据射影定理求出BD，根据余弦的概念求出，得到，判断A；根据勾股定理求出AD，判断B；根据射影定理判断C；根据直角三角形的性质求出AC，判断D．
本题考查的是射影定理、直角三角形的性质，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
 

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项根据射影定理对选项A、B、C进行判断；利用等面积法对选项D进行判断．
【解答】
解：，，
由射影定理知，，，，故选项A、B、C不符合题意．
，即，只有当时才能成立，故选项D符合题意．
故选D．  

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明为等边三角形；运用射影定理求出线段CG、AG之间的数量关系，进而证明选项B、C、D成立，选项A不成立
该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；
解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
【解答】
解：如图，四边形ABCD为矩形，
；由勾股定理得：
，而，，
，，
；由翻折变换的性质得：
，，
，，，
，，，
为等边三角形，
故选项B、C成立，选项A不成立；
由射影定理得：，
，，
；由题意得：
，
，
故选项D正确；
故选：A．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．根据射影定理得到：，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．
【解答】
解：在中，，，
，
又，，
，则．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是射影定理、勾股定理等知识在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可．
【解答】
解：在中，，
由射影定理得，，
，
故答案为：．  

8.【答案】
 

【解析】解：以C为圆心，CE长为半径画弧，交AB于F，则，
，
，
，
，
，
，设，
，
，
，
，，
，
∽，
，
又，
，解得：舍去，，
，
．
故答案为：．
以C为圆心，CE长为半径画弧，交AB于F，则，设，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出x即可．
本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，过点C作于点M，
，，，
，
；设，则，
由勾股定理得，
由射影定理得：，

由≌得：
，，；而，
，，
，，
∽，
，
故答案为：．
作辅助线；首先求出BM的长度，进而求出AC、的长度；证明∽，得，即可解决问题．
此题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是射影定理、勾股定理等知识在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可．
【解答】
解：在中，，
由射影定理得，，
，
故答案为：．  

11.【答案】
 

【解析】解：如图，

，
，
，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
证明∽，推出，可得，由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三角形分得的两个小三角形，与原三角形相似．
解答此题可证明∽，然后可得，代入数据计算即可．
【解答】
解：，
又，
，
∽，
，即，
又，，
，
，
．
故答案为．  

13.【答案】12
 

【解析】解：设，则，
，
，
，
，
∽，
，
，
即，
解得，，
故AC．
根据相似三角形的判断得出∽解答即可．
本题涉及到相似三角形的判定与性质，也可以利用直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项得出．
 

14.【答案】，
∽，
，
，，，
，
．
这两根灯杆的高度相等，
理由如下：由可知 ，
，
∽，
，
 ，
．
 

【解析】见答案
 

15.【答案】解：两根相等，
可得：，
，
是直角三角形；

由可得：，
，，
，
．
 

【解析】根据判别式等于0可得出三边的关系，继而可判断出三角形的形状；
结合的结论，利用射影定理即可直接解答．
本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，综合性较强，注意掌握射影定理的运用．
 

16.【答案】证明：于点D，
，
，
而，
，
∽，
：：AD，
．
 

【解析】利用等角的余角相等得到，则可判断∽，所以AD：：AD，然后根据比例的性质即可得到结论．
本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

17.【答案】证明：如图2，
四边形ABCD为正方形，
，，
，
，
，
，即，
而，
∽．
 

【解析】根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到∽．
本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．