初中2. 相似三角形的判定精品随堂练习题
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23.3.2相似三角形的判定同步练习华师大版初中数学九年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形阴影部分与相似的是
A.
B.
C.
D.
- 如图，点P在的边AC上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是
A.
B.
C.
D.
- 如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形阴影部分与相似的是
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是
A. B. C. D.
- 如图，在三角形纸片中，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有
A. B. C. D.
- 如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：；；；；，能满足∽的条件有
A. 1个 B. 2 C. 3个 D. 4个
- 如图，，，，，，若在边DC上有点P，使与相似，则这样的点P有
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
- 如图，，如果增加一个条件就能使结论∽成立，那么这个条件可以是
A. B. C. D.
- 如图，和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与相似的阴影三角形为
A. B. C. D.
- 已知如图所示，下列选项中的4个三角形与相似的是
A.
B.
C.
D.
- 如图，，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
- 平面直角坐标系中，直线和x轴，y轴分别交于A，B两点，在第二象限内有一点P，使和相似，则符合要求的点P的个数为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 如图，已知，图中有 对相似三角形．
|
- 如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交CD于点F，连结写出图中任意一对相似三角形：__________________．
|
- 如图，P是的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截，使所截得的三角形与相似满足这样条件的直线最多能作出______条．
|
- 若AB CD EF，则图中相似的三角形有________对．
|
- 如图，在中，，D、E分别为边AB、AC上的点，，，点F为BC边上一点，添加一个条件：_________，可以使得与相似．只需写出一个
|
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
- 如图，在中，，求证：∽．
|
- 在中，，，点D是BC边上一点，过点D作，DE交AC于点E，求证：∽．
- 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿OA边以的速度向点A移动，点Q从点B开始沿BO边以的速度向点O移动如果P，Q同时出发，用单位：表示移动的时间，那么当t为何值时，与相似
- 如图所示，在等腰中，，点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为连接DE，设运动时间为，解答下列问题：
当t为何值时，的面积为；
在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得与相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
- 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是的重心．求证：．
|
- 如图，在中，，，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E．
用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．
证明：∽．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
根据正方形的性质求出，根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】
解：由正方形的性质可知，，
A、C、D图形中的钝角都不等于，
由勾股定理得，，，
对应的图形B中的边长分别为1和，
，
图B中的三角形阴影部分与相似，
故选B．
2.【答案】D
【解析】本题考查相似三角形的判定，根据每个选项所给的条件，再加上隐含条件公共角，即可判断是否能判定三角形相似．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】
解：根据题意得：，，，
：BC：：2：，
A.三边之比为3：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
B.三边之比，图中的三角形阴影部分与相似；
C.三边之比为：，图中的三角形阴影部分与不相似；
D.三边之比为：：2，图中的三角形阴影部分与不相似．
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，属于中档题．
根据题意结合相似三角形的判定依据，逐项判断即可．
【解答】
解：、当，
，
∽，符合题意；
、当，
，
∽，符合题意；
、当，
即AC：：AC，
，
∽，符合题意；
、当，即PC：：AB，
而，
不能判断和相似，不符合题意；
故选D．
5.【答案】B
【解析】解：阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：，，则可判断∽，故符合题意；
，则∽，故不符合题意，
，且，能确定∽，故符合题意；
由可得，此时不确定，故不能确定∽；
故不符合题意，
，，则可判断∽，故符合题意；
故选：C．
根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：．，
，
．
设DP的长为x，则CP长为．
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
若∽，则DP：：BC，
即x：：4，
解得：
若∽，则DP：：PC，
即x：：，
整理得：，
，
这种情形不存在，
满足条件的点P的个数是1个，
故选：A．
根据已知分两种情况∽或∽来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数．
此题考查了相似三角形的判定，依据相似三角形的判定定理列出关于x的方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：，
，
添加或或，可以推出∽，
故选：D．
根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
9.【答案】C
【解析】解：观察图象可知只有选项C含有角，且两边的比为：1，
故选：C．
根据AC：：：1，，即可判断．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】，，
，
．
选项A中，三角形各角的度数分别为，，
选项B中，三角形各角的度数都是
选项C中，三角形各角的度数分别为， ，
选项D中，三角形各角的度数分别为，，，
只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数分别相等，
故选C．
11.【答案】C
【解析】略
12.【答案】C
【解析】解：如图，
分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点，则与相似全等，
作，垂足为则与相似．
作交于，则与相似．
作垂足为，则与相似．
故选：C．
根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
13.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据相似三角形的判定方法，结合所给图形进行判定即可．
【解答】
解：，，
∽，
，，
∽，
∽，
，
，
，
，
∽．
共有4对相似三角形．
故答案为4．
14.【答案】∽答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质得到，则根据相似三角形的判定方法可判断∽．
【解答】
解：四边形ABCD为平行四边形，
，
∽．
故答案为∽答案不唯一．
15.【答案】3
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法有两组角对应相等的两个三角形相似来判定两个三角形相似．
过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【解答】
解：由于是直角三角形，
过P点作直线截，则截得的三角形与有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故答案为：3．
16.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可判断∽，∽，∽．
【解答】
解：，
∽；
，
∽；
，
∽．
17.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
结论：根据相似三角形的判定方法证明即可．
【解答】
解：理由：，
，
∽．
，，
∽，
∽．
故答案为．
18.【答案】证明：，
．
，
又，
．
∽．
【解析】根据已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
19.【答案】证明：如图所示：
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
∽．
【解析】先判断为等腰直角三角形得到，再利用三角形内角和得到，利用平角定义得到，则，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论．
本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；熟记有两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
20.【答案】解：，
若∽，
则，即 ．
解得．
，
若∽，
则，即．
解得．
综上所述，当或时，与相似．
【解析】见答案
21.【答案】解：分别过点D、A作、，垂足为F、G
如图
，
，，
，
．
，
，
解得
解得．
答：t为5秒时，的面积为．
存在．理由如下：
当时，∽，
即，
解得，
当时，∽，
即，
解得．
答：存在时间t为或秒时，使得与相似．
【解析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；
根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
22.【答案】证明：连接DE，
点G是的重心，
点E和点D分别是AB和BC的中点，
是的中位线，
且，
∽，
，
，
，
，
即．
【解析】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，可以得到DE时的中位线，从而可以得到且，然后即可得到∽，即可得到DG和AG的比值，从而可以得到DG和AD的比值，然后即可得到AD和GD的关系．
23.【答案】解：如图，DE为所求．
证明：是AB的垂直平分线，
，
，
．
．
，
∽．
【解析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图，也考查了相似三角形的判定．
利用基本作图作线段AB的垂直平分线；
先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再通过计算得到，然后根据相似三角形的判定方法得到∽．
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