初中数学华师大版九年级上册23.2 相似图形优秀课后测评

23.2相似图形同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列说法正确的是

A. 对应边都成比例的多边形相似 B. 对应角都相等的多边形相似
C. 所有的正方形相似 D. 所有的直角三角形都相似

2. 下列四组图形中，相似图形为

A.  B.
C.  D.

3. 给出下列几何图形：两个圆；两个正方形；两个矩形；两个正六边形；两个等腰三角形；两个直角三角形；四个角对应相等的两个等腰梯形；有一个角为的菱形．其中，一定相似的有个．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为

A. 4：1 B. 3：1 C. 2：1 D. 3：2

5. 如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为，则的值为

A.
B.
C.
D.

6. 顺次连接正方形各边中点所成的四边形的面积与原正方形的面积之比为．

A. 1： B. 1： C. 1：3 D. 1：2

7. 如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是

A.
B.
C.
D.

8. 三角形框架三条边长分别为、、，要做一个与它相似的三角形框架，现有长为、的两根材料，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段允许有余料作为另外两边．那么截法共有

A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种

9. 下列图形一定相似的是

A. 两个矩形 B. 对应边成比例的两个四边形
C. 有一个内角相等的菱形 D. 两个等腰梯形

10. 把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长与宽之比为     

A.  B.  C.  D.

11. 如图，已知矩形ABCD中，，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点，若矩形EFDC与矩形ADCB相似，则     

A.
B.
C.
D. 2

12. 下列说法不正确的是

A. 若线段，，则a：：2
B. 四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段
C. 若线段，C是线段AB的黄金分割点，且，则
D. 有一个内角相等的两个平行四边形相似

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为          ．
    
    
     

14. 若两个相似多边形的对应边分别为4cm和8cm，则它们的相似比为______．
15. 如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且，，，，，，则          ，          ，           。

16. 如图，点E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，则矩形ABCD的面积为______．
     

17. 如图，在矩形ABCD中，，，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则______．
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 一块长3m，宽的矩形黑板ABCD如图所示，镶在其外围的木质边框宽，矩形ABCD与边框的外边缘所形成的矩形相似吗为什么

19. 如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
    
     

设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形．

若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于          

当菱形的“接近度”等于          时，菱形是正方形

设矩形相邻两条边长分别是a和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理若不合理，给出矩形的“接近度”的一个合理定义．






 

20. 如图，四边形ABCD是矩形，点F在对角线AC上运动，，，四边形AEFG和矩形ABCD一直保持相似吗？证明你的结论．
     

21. 如图，多边形ABCDEF与多边形相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为，，，，，，，，．
     

求的度数

如果多边形ABCDEF和多边形的相似比是，且，求的长度．






 

22. 如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形．

若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于              

当菱形的“接近度”等于                时，菱形是正方形

设矩形相邻两条边的长分别是a和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理若不合理，给出一个矩形“接近度”的合理定义．

23. 矩形ABCD的长，宽．

如图，矩形ABCD与矩形相似吗请说明理由

如图，x为多少时，矩形ABCD与矩形相似

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】

解：对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；                 
B.对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；                 
C.所有的正方形相似，故正确；                 
D.不是所有的直角三角形都形状相同，故错误．           
故选C．

2.【答案】B
 

【解析】解：形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；
C.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
故选：B．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要是判断对应的角和对应的边．根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．
【解答】
解：下列几何图形：两个圆；两个正方形；两个矩形；两个正六边形；两个等腰三角形；两个直角三角形；四个角对应相等的两个等腰梯形；有一个角为的菱形．
其中，一定相似的有．
故选C．  

4.【答案】B
 

【解析】解：矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
：：1，
设，，则，
，
则，
整理，得：，
则，即AE：：1，
故选：B．
由相似多边形的性质知AB：：1，据此设，，则，，根据面积比得出，整理可得答案．
本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质和矩形的性质．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质和矩形的性质．
由相似多边形的性质知AB：：1，据此设，，则，，根据面积比可得答案．
【解答】
解：矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
：：1，
设，，则，
，
则，
整理，得：，
则，即AE：：1，
故选：B．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

此题考查了四边形、相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方．根据题意作图，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点所得的四边形的与原正方形相似，且相似比是：2，所以可求得的四边形的面积与原正方形的面积的比．

【解答】

解：如图：

四边形ABCD是正方形，
，，
，F，G，H是正方形各边的中点，
，
≌，，
，，
同理：，
四边形EFGH是正方形，
四边形ABCD∽四边形EFGH，
设，则，

所得的四边形的面积与原正方形的相似比为：2

所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为1：2，

故选D．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．
【解答】
解：作于E，
则四边形AECD为矩形，
，，
，
由勾股定理得，，
四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5．
同理可求出A选项的第四条边长为，因此A选项的四边形的四条边与原四边形的四条边不对应成比例；
同理可求出B选项的第四条边长为，因此B选项的四边形的四条边与原四边形的四条边不对应成比例；
同B选项可知：C选项的四边形的四条边与原四边形的四条边不对应成比例；
同理可求出D选项的第四条边长为，因此D选项的四边形的四条边与原四边形的四条边对应成比例，四条边之比为1：3：5：5，因此只有D选项正确．
故选：D．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题比较复杂，考查的是相似三角形的性质及三角形成立的条件．先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．

【解答】
解：两根铝材的长分别为27cm、45cm，若45cm为一边时，
则另两边的和为27cm，，不能构成三角形，
必须以27cm为一边，45cm的铝材为另外两边，
设另外两边长分别为x、y，则
若27cm与24cm相对应时，
，
解得：，，
，故不成立；
若27cm与36cm相对应时，
，
解得：，，，成立；
若27cm与30cm相对应时，
，
解得：，，，故不成立；
故只有一种截法．
故选：B．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．

【解答】

解：两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故该选项错误；
B. 两个四边形的对应角不一定相等，所以对应边成比例的两个四边形不一定相似，故该选项错误；
C.有一个内角相等的两个菱形，对应角相等，对应边成比例，所以有一个内角相等的两个菱形相似，故该选项正确；

D. 两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边的比也不一定相等，所以两个等腰梯形不一定相似，故该选项错误．
故选C．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形对应边成比例的性质，表示出剩下的矩形的长与宽是解题的关键．

设原矩形的长与宽分别为x、y，表示出剩下矩形的长与宽，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求解．
【解答】
解：设原矩形的长与宽分别为x，y，则剩下矩形的长是y，宽是，
剩下的矩形与原矩形相似，
，
整理得，，
解得或舍去，
原矩形的长与宽的比为．
故选：A．

11.【答案】B
 

【解析】解：沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点，
四边形ABEF是正方形，
，
设，则，，
四边形EFDC与矩形ADCB相似，
，
，
解得，负值舍去，
经检验是原方程的解．
故选：B．
可设，根据四边形EFDC与矩形ADCB相似，可得比例式，求解即可．
考查了翻折变换折叠问题，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ADCB相似得到比例式．
 

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可．
【解答】解：若线段，，则a：：2，A正确，不符合题意；
四条长度依次为1cm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段，B正确，不符合题意；
线段，C是线段AB的黄金分割点，且，
则，C正确，不符合题意；
有一个内角相等的两个平行四边形不一定相似   ，D错误，符合题意；
故选D．  

13.【答案】
 

【解析】设，，则，
，
，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比．
 

14.【答案】1：2
 

【解析】解：相似多边形的对应边的比等于相似比，
它们的相似比：：2，
故答案为1：2．
根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可解决问题．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

15.【答案】

28

【解析】略
 

16.【答案】
 

【解析】解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得，
设，则，又，
，
可得：，
矩形的长不能是负数，
解得：，
，
．
故答案为：．
要求矩形ABCD的面积只要求出BC的长就可以，可以依据相似多边形的对应边的比相等，可以求出BC，进而得出面积即可．
此题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边的比相等．
 

17.【答案】5或
 

【解析】解：延长GF交BC于M，
四边形AEFG和ABCD是矩形，
，
，
，
分两种情况：
当AD与AG对应时，
相似比为，
，
，，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
当AD与AE对应时，
相似比为，
，
，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：5或．
若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：
当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；
当AD与AE对应时，同理可得CF的长．
本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：不相似，理由如下：
矩形ABCD的长，宽，
矩形的长，宽，
因为，，
所以，
所以矩形ABCD与矩形不相似．
 

【解析】见答案．
 

19.【答案】解：；

不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近于正方形的程度是相同的，但却不相等
矩形的“接近度”的合理定义不唯一，如将矩形的“接近度”定义为，越接近于1，
矩形越接近于正方形
越大，矩形与正方形的形状差异越大
当时，矩形就变成了正方形，
即只有矩形的越接近于1，矩形才越接近于正方形．
 

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：相似．
理由：，，
∽，∽，
，，
，
四边形ABCD是矩形，
，
四边形AEFG∽矩形ABCD．
 

【解析】由，，可得∽，∽，又由相似三角形的对应边成比例，可得，然后四边形ABCD是矩形，可得，继而证得结论．
此题考查了相似多边形的判定以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

21.【答案】解：多边形ABCDEF和多边形相似，
且和， 和，和是对应角，

，，．

由多边形内角和定理，知六边形的内角和为，
 ．

多边形ABCDEF和多边形的相似比是，且，

．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：

不合理．

例如，对于两个相似但不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等．

合理定义不唯一．

如：将“接近度”定义为，

越小，矩形越接近于正方形

越大，矩形与正方形的形状差异越大

当时，矩形就变成了正方形，

即矩形的“接近度”越接近1，矩形才越接近于正方形．

【解析】见答案
 

23.【答案】解：不相似．

由题意知，，，，

，，

，

矩形ABCD与矩形不相似．

若矩形ABCD与矩形相似，则

当时，，解得

当时，，解得．

或9时，矩形ABCD与矩形相似．

【解析】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角的比相等，两个条件必须同时成立．
要说明相似只要说明对应边的比相等，对应角相等；
如果两个矩形ABCD与相似，对应边的比相等．就可以求出x的值．