2020-2021学年4.一元二次方程根的判别式精品精练

22.2.4一元二次方程根的判别式同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是   

A.  B. 且 C.  D. 且

2. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

A.  B.
C. 且 D. 且

3. 不解方程，方程的解的情况是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根

4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

A.  B. 且 C. 且 D. 且

5. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为

A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 7

6. 一元二次方程的根的情况是

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

7. 一元二次方程的根的情况是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

8. 关于x的一元二次方程的根的情况，下面判断正确的是

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根 D. 无实数根

9. 求方程的根的个数

A. 没有实根 B. 两个不相等的实数根
C. 两个相等的实数根 D. 无法确定

10. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为

A.  B.  C.  D.

11. 下列方程没有实数根的为

A.  B.
C.  D.

12. 关于x的一元二次方程的根的情况为

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
14. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是______．
15. 已知关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是______．
16. 已知关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是______．
17. 已知a，b，c为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则的形状是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 阅读材料：

为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，

解得，．

当时，，，

当时，，，

原方程的解为，，，．

解答问题：

在由原方程得到方程的过程中，利用          法达到了降次的目的，体现了          的数学思想

利用上述材料中的方法解方程：．






 

19. 已知关于x的方程．
    求证：方程总有两个不相等的实数根；
    如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一根．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于x的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程的一个根为1，求方程的另一个根．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在中，，，，若点P从点A沿AB边向B点以的速度移动点，点Q从B点沿BC边向点C以的速度移动，两点同时出发．
     

问几秒后，的面积为？

出发几秒后线段PQ的长为？

的面积能否为？若能，求出时间；若不能说明理由．






 

22. 在中，BC边的长为x，BC边上的高为y，的面积为2．
    关于x的函数关系式是______，x的取值范围是______；
    在平面直角坐标系中画出该函数图象；
    将直线向上平移个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

23. 已知抛物线．

求抛物线与x轴的交点坐标

若一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选C．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0．
【解答】
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且
且，
故选：D．  

3.【答案】B
 

【解析】解：，，，
，
方程有两个相等的实数根，
故选：B．
计算出此方程根的判别式的值即可得出答案．
本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得且．
的取值范围为且．
故选：B．
根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出k值．再根据三角形三边关系判断是否符合题意即可．
【解答】
解：当3为腰长时，将代入，得：，
解得：，
的两个根是，，，符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的两个根是，，符合题意．
的值为3或4．
故选C．  

6.【答案】D
 

【解析】解：方程化为，
，
方程无实数根．
故选：D．
先把方程化为一般式，然后计算判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的情况，本题属于基础题型．根据根的判别式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
故选B．  

8.【答案】C
 

【解析】解：由题意可可知：

，
故选：C．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的的判别式，本题属于基础题型．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：根据题意得：，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：C．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
先计算出各选项中方程的判别式，再进行判断求解．
【解答】
解：A中，所以方程有两个相等的实数根，此项不符合题意；
B中，所以方程有两个不相等的实数根，此项不符合题意；
C中，所以方程没有实数根，此项符合题意；
D中，所以方程有两个不相等的实数根，此项不符合题意．
故选：C．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况． 
【解答】
解：， 
方程有两个不相等的两个实数根． 
故选B  

13.【答案】且
 

【解析】解：由关于x的方程有两个不相等的实数根
得，
解得
则且
故答案为且
由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程的根的判别式是即可进行解答
本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

14.【答案】
 

【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
故答案为：．
根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能熟记根的判别式得出关于m的不等式是解此题的关键，注意：一元二次方程、b、c为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
 

15.【答案】
 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
，，
解得：，
除以m得：，
，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出，，求出，再求出答案即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式求出是解此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：当，解，原方程变形为，解得；
当，即，则，
解得：，
即当，且时，原方程有两个不相等实数根，
所以m的取值范围为：且．
故答案为．
分类讨论：当，解，原方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当，即，方程为一元二次方程，根据判别式的意义得到，然后综合两种情况即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

17.【答案】直角三角形
 

【解析】略
 

18.【答案】解：换元化归．
设，则，
，
或，
解得或．
当时，，
即，
，
则或，
解得，．
当时，，
即，
，
此方程无解．
综上所述，原方程的解为，．
 

【解析】见答案．
 

19.【答案】证明：由于是一元二次方程，
，
无论k取何实数，总有，，
所以方程总有两个不相等的实数根．
解：把代入方程，有，
整理，得 ．
解得 ，
此时方程可化为 ．
解此方程，得 ，．
所以方程的另一根为．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
根据进行判断；
把代入方程即可求得k，然后解这个方程即可；
 

20.【答案】证明：．
，即，
方程总有两个实数根；
解：将代入方程，
，
解得：．
原方程为，
解得：，．
另一个根为2．
 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可证出方程总有两个实数根；
将代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程求出方程的解，此题得解．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；将代入原方程求出m值．
 

21.【答案】解：设P，Q经过t秒时，的面积为，
则，，
，
，
解得，，
当P，Q经过2或4秒时，的面积为；
设x秒后，，
由题意，得，
解得，，
故经过秒或2秒后，线段PQ的长为；
设经过y秒，的面积等于，
，
即，
，
的面积不能等于．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设经过t秒，使的面积等于，根据等量关系，列出方程求解即可；
根据勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
假设能，根据三角形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得知该方程无解，即假设不成立，进而即可得出的面积不能为．
 

22.【答案】解：；；
在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；

将直线向上平移个单位长度后，得到直线的解析式为，
由，
得，
平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，
，
解得或不合题意舍去，
故此时a的值为1．
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何变换、一元二次方程根的判别式等知识点，正确的理解题意是解题的关键．
根据三角形的面积公式即可得到结论；
根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；
将直线向上平移个单位长度后，得到直线的解析式为，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【解答】
解：在中，BC边的长为x，BC边上的高为y，的面积为2，
，
，
关于x的函数关系式是，
x的取值范围为．
故答案为；；
见答案；
见答案．  

23.【答案】解：由题意得，令，则．
，
解方程，得．
，．
抛物线与x轴的交点坐标为，；
一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根．
整理该方程，得，
，
解得．
一次函数的解析式为．
 

【解析】本题考查了二次函数与一元二次方程、根的判别式及待定系数法求一次函数解析式等知识点．
令，则，利用求根公式可以求得方程的解，即该抛物线与x轴交点横坐标；
根据已知条件成立方程：，则有两个相等的实数根，再根据根的判别式求解即可．