2020-2021学年22.2 一元二次方程的解法综合与测试达标测试

22.2一元二次方程的解法同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若把方程化为的形式，则n的值是   

A. 5 B. 2 C.  D.

2. 已知等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为   

A. 17 B. 13 C. 11 D. 13或17

3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是   

A.  B. 且
C.  D. 且

4. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是   

A. 方程是2倍根方程
B. 若关于x的方程是2倍根方程，则
C. 若且，则关于x的方程是2倍根方程
D. 若且，则关于x的方程是2倍根方程

5. 定义一种新运算“”，对于任意实数a，b，，如，若为实数是关于x的一元二次方程，则它的根的情况为   

A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

6. 若，且 ，，则的值是   

A. 2 B.  C. 3 D.

7. 若关于x的方程的解是，m，b均为常数，，则方程的解是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于

A.  B.  C.  D.

9. 有两个一元二次方程：M：，N：，以下列四个结论中，错误的是        

A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是

10. 给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数，则有已知函数，那么方程的解是   

A. ， B. ，
C. ， D. ，

11. 定义新运算“”对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法，减法乘法运算，例如若为实数是关于x的方程，则它的根的情况为   

A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

12. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是   

A. 7 B. 11 C. 12 D. 16

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算：a，如6，已知m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根，则          ．
14. 设方程的两个根为a和b，则的值为          ．
15. 将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义若，则          ．
16. 在实数范围内定义一种运算“”，其运算法则为根据这个法则，下列结论中错误的是          填序号
    
    若，则
    是一元二次方程
    方程的根是，．
17. 关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 阅读理解：
    转化思想是常用的数学思想之一在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决如解一元二次方程是转化为一元一次方程来解决的解分式方程是转化为整式方程来解决的由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程根号下含有未知数的方程解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
    例如：解方程．
    解：两边平方得，解得，，经检验，是原方程的根，代入原方程中不合理，是原方程的增根，原方程的根是．
    解决问题：
    填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为          
    求满足的x的值
    代数式的值能否等于若能，求出x的值若不能，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

求m的取值范围

当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．






 

20. 已知，是一元二次方程的两个实数根，求下列代数式的值．

21. 关于x的一元二次方程．

当方程有一个根为时，求k的值及另一个根

当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围

若方程有两个实数根，且满足，求k的值．






 

22. 定义新运算：对于任意实数m、n，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如．
    根据上述知识解决问题：
    ，求
    若的值小于0，请判断方程的根的情况．
    
    
    
    
    
    
     
23. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
    【问题】解方程：．
    【提示】可以用“换元法”解方程．
    解：设，则有，
    原方程可化为：，
    【续解】
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】，
，
，
，
，故选A．
 

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形三边关系、等腰三角形的定义、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
因式分解法解方程得出x的值，再利用三角形三边关系及等腰三角形定义确定三边长度，从而得出答案．
【解答】
解：，
，
则或，
解得，，
由三角形三边关系知：
等腰的三边长分别为3、3、7，构不成三角形，
等腰的三边长分别为3、7、7，
的周长为，
故选A．  

3.【答案】D
 

【解析】关于x的一元二次方程 有实数根，
 ，
即，
解得，
又，
的取值范围是且
故选D．
 

4.【答案】B
 

【解析】A.解方程得，，所以A选项的说法正确，不符合题意
B.解方程得，，当时，
当时，，所以B选项的说法错误，符合题意
C.解方程得，，而，则，所以C选项的说法正确，不符合题意
D.解方程得，，而，即，所以，所以D选项的说法正确，不符合题意．
故选B．
 

5.【答案】C
 

【解析】由新定义得 ，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选C．
 

6.【答案】A
 

【解析】由已知得，，
又，
、b是方程的两个不相等的实数根．
由根与系数的关系得，
故选A．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：，
，
又关于x的方程的解是，m，b均为常数，，
方程中或，
解得，，
故选：D．
将方程变形为，再结合关于x的方程的解是，知方程中或，从而得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查黄金分割的应用，解题时要注意一元二次方程的求解方法，根据题设条件，由，知，由此能求出最佳乐观系数x的值．
【解答】
解：，，，
，
，
解得，
，
．
故选D．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，难度适中．求出方程M：的判别式，方程N：的判别式，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．
【解答】

解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么，所以，所以方程N也有两个不相等的实数，结论正确，故本选项不符合题意；
B、如果方程M有两根符号相同，那么两根之积，所以，即方程N的两根之积，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，故本选项不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么，所以，所以是方程N的一个根，结论正确，故本选项不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么，整理得，当时，x为任意数；当时，结论错误，故本选项符合题意；
故选D．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了新定义问题，直接开平方法解一元二次方程，首先根据新定义求出函数中的n，再与方程组成方程组得出，用直接开平方法解方程即可．

【解答】

解：由函数得，则，
，
，
，
，
故选A．

11.【答案】C
 

【解析】由题意得，整理得 
，方程有两个不相等的实数根故选C．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：，n是关于x的一元二次方程的两实数根， 
 

 ．
 的最小值为16．
 

13.【答案】
 

【解析】，n是一元二次方程的两个不相等的实数根，
，．


 




．
 

14.【答案】2
 

【解析】、b是一元二次方程的两个实数根，
，
．
 

15.【答案】，
 

【解析】依题意得，
即，
化简得，
解得，．
 

16.【答案】
 

【解析】根据题中的新定义得，结论正确
若，则，，，即，结论正确
将已知等式变形为，即，整理得，是一元一次方程，结论错误
将方程变形为，即，
，
，，，
，
解得，，结论错误．
综上所述，结论错误的是．
 

17.【答案】且
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程a，b，c为常数根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出m的取值范围即可．
【解答】
解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
且，
且，
故答案为且．  

18.【答案】解：把代入方程得，
两边平方得，
解得，经检验，是方程的解，
的值为2．
，方程两边平方得，
解得，，
经检验， 代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， 
原方程的根是．
不能，理由如下：设，
移项得，
两边平方得，
整理得，
两边平方得，故方程无解，
代数式的值不能等于8．
 

【解析】见答案．
 

19.【答案】解：由题意知，
解得，
则m的取值范围是．
由知，
则方程为，
即，
解得或，
方程的根为或．
 

【解析】见答案．
 

20.【答案】解： ，是一元二次方程的两个实数根，
，．
．
．
 

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：把代入一元二次方程
得，
整理得，
，即原方程为，
，
，
，
故k的值为1，另一个根为．
根据题意得，
解得，
即k的取值范围为．
根据题意得，，
，
 ，
整理得，
解得，，
由易知方程有两个实数根时，，
．
 

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：，
，即，
解得，．
由题意可知，
由的值小于0，得，
解得．
在方程中，
．
，，
，
故方程有两个不相等的实数根．
 

【解析】见答案．
 

23.【答案】解：，
，
或，
，，
当时，，此方程无解；
当时，，则，配方得，解得，；
经检验，原方程的解为，．
 

【解析】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
利用因式分解法解方程得到，，再分别解方程和方程，然后进行检验确定原方程的解．