数学九年级上册23.3 相似三角形综合与测试达标测试

23.3相似三角形同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则

A. 30
B. 25
C.
D. 20

2. 如图，在的正方形网格中，是相似三角形的为   

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，，高，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为

A. 15
B. 20
C. 25
D. 30

4. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若，则的值为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为

A.
B.
C. 或
D. 以上均不对

6. 在与中，有下列条件：，；；，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断∽的共有   

A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组

7. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上的点，若BE：：2，AE交BD于F，且的面积，则▱ABCD的面积等于

A. 20
B. 48
C. 32
D. 无法确定

8. 如图，等腰直角三角形ABC，，D、E是BC上的两点，且，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，交于点F，连接AD、其中四边形AMFN是正方形；≌；；当时，正确结论有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9. 如图，已知D是中的边BC上的一点，，的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是

A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽
 

10. 如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是

A.
B.
C.
D.
 

11. 如图，已知AD为的角平分线，交AC于E，如果，那么等于

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P为AB边上一动点，若与相似，则满足条件的点P的个数是

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在中，，，D为边AB上一动点点除外，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则面积的最大值为______．

14. 如图，，，，，在边AB上取点P，使得与相似，则满足条件的AP长为______．

15. 如图，点A是双曲线上一动点，连接OA，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为______．
    
     

16. 如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且，，、、的面积分别记为S、、若，则______．

17. 已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为______．
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在和中，，点B、D、E在一条直线上，求证：∽．

19. 如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，于点F，，，求DF的长度．

20. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，，垂足为F．
    求证：∽；
    若，，求DF的长．
    
    
     

21. 如图，在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，，．
    求证：∽．
    设，
    若，求线段BE的长；
    若的面积是20，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且．
    求证：∽；
    若，，，求FC的长．

23. 【操作发现】如图1，在和中，，，，连接AC，BD交于点M．
    的值为______；
    的度数为______．
    【类比探究】如图2，在和中，，，连接AC交BD的延长线于点计算的值及的度数；
    【实际应用】在的条件下，将绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：、E分别是AB、AC边上的中点，
，，
∽，
，
：：3，
即：：3，
，
．
故选：D．
先根据三角形中位线的性质，证得：，，进而得出∽，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
此题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

2.【答案】C
 

【解析】设正方形网格中每个小正方形的边长为1，
则中三角形的三边长分别是2，，，
中三角形的三边长分别是3，，，
中三角形的三边长分别是 ，2，，
中三角形的三边长分别是3， ，．
与中三角形的三边对应成比例，
与中的三角形相似，
故选 C．
 

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
设正方形EFGH的边长，易证四边形EHDN是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出∽，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】
解：设正方形EFGH的边长，
四边EFGH是正方形，
，，
∽，
是的高，
，
四边形EHDN是矩形，
，
∽，
，
，，
，
，
解得：，
．
故选：B．  

4.【答案】B
 

【解析】解：设，如图所示：

四边形ABCD是菱形，
，，
，
∽，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故选：B．
由菱形的性质得，，根据，分别得∽，∽，其性质与线段的和差求出，，最后计算的值为．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，线段的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是根据比例的应用．
 

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定，注意数形结合思想与分类讨论思想．
首先设t秒钟与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当∽和当∽讨论．
【解答】
解：设运动时间为t秒．
，，，
当∽时，，
即，
解得；
当∽时，，
即，
解得，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，
故选：C．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形判定的有关知识，根据相似三角形的判定定理：三组对应边成比例的两个三角形相似、两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断∽的有：，，，继而求得答案．
【解答】
解：如图，

，，
，
∽三组对应边成比例，两三角形相似，
故组合能判断两个三角形相似；
，，
∽两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；
故组合能判断两个三角形相似；
；，
∽两组角对应相等的两个三角形相似；
故，组合能判断两个三角形相似，
、、组合不能确定两个三角形相似，因为不是对应边的夹角．
故能判断∽的有：
，，，共3组．
故选C．  

7.【答案】B
 

【解析】解：平行四边形ABCD中，，
，，，
∽，
：：AF，
：：2，
：：3，
，，
的面积是2，
，，
，
▱ABCD的面积，
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决本题的重点．利用∽，可求出的面积，再利用来求出的面积，即可得的面积，它的2倍即为平行四边形ABCD的面积．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，
，
又，
四边形AMFN是矩形；
为等腰直角三角形，
，，
，，
和均为等腰直角三角形，
又，
≌，

，
四边形AMFN是正方形，故正确；
，
，
为等腰直角三角形，
，，
≌，故正确；
如图所示，将绕点A顺时针旋转至，则，，
由于≌，故点N落在点M处，连接，则D、M、共线，

，，
，
，
，
当时，，
，，
≌，
，
在没有时，无法证得，故错误；
，，，
≌，
，
当时，，
，
，，
∽，
，
，故正确．
综上，正确的有，共3个．
故选：C．
由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形AMFN是矩形，再证明，从而可判断；利用SAS可判定≌，从而可判断；在没有时，无法证得，故可判断；由，可判定∽，从而可判定．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

9.【答案】A
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【解答】
解：，
，
∽故C正确．
平分，
，
∽故B正确．
，
，
∽故D正确．
而不能证明∽，故A错误．
故选：A．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
错误．通过计算证明，即可判断．
正确．利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】
解：四边形ABCD是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，故正确，
，
，
，
又，，
，
，
，
∽，故正确，
，
与不相似，故错误，
，
，
，
∽，
，
，故正确，
故选：C．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质；由AD为的角平分线，，易得，∽，又由，根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】
解：，
，
为的角平分线，
，
，
，
，
∽，
，
，
，

故选B．  

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，分类思想和方程思想的应用．由于，故要使与相似，分两种情况讨论：∽，∽，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
【解答】
解：，，
，
，
，
设AP的长为x，则BP长为，
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
若∽，则AP：：BC，即x：：4，解得
若∽，则AP：：BP，即x：：，解得或．
满足条件的点P的个数是3个．
故选C．  

13.【答案】8
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点C作于点G，作于点H，作于点由，，得到，易证∽，求得，设，则，易证≌，，所以，当时，面积的最大值为8．
【解答】
解：过点C作于点G，作于点H，作于点M．

，，
，
易证∽，
，
即
，
设，则，
，
，
在和中

≌，
，
，
当时，面积的最大值为8．
故答案为8．  

14.【答案】或1或6
 

【解析】解：
若∽
则

解得．
若∽
则

解得或6．
则满足条件的AP长为或1或6．
故答案为：或1或6．
根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：若∽若∽．
本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相关判定与性质及分类讨论，是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：点A是反比例函数上的一个动点，
可设，
，，
，
，
，且，
∽，
，
，
，，
，
点B反比例函数图象上，
，
故答案为：．
过A作轴于点C，过B作轴于点D，可设，由条件证得∽，从而可表示出B点坐标，则可求得关于k的方程，可求得k的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
 

16.【答案】18
 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
故答案为18．
利用相似三角形的性质求出的面积即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】
 

【解析】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知，
解得，
即阴影梯形的上底就是．
再根据相似的性质可知，
解得：，
所以梯形的下底就是，
所以阴影梯形的面积是
故答案为：．
根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．
 

18.【答案】在和中，，
∽，
，
．
，
，
∽．
 

【解析】见答案
 

19.【答案】四边形ABCD是矩形，
，．
，
．
，
，．
，
， 
∽，
，即，
，
即DF的长度为．
 

【解析】见答案
 

20.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
，
∽；
解：是BC的中点，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
∽，
，
．
 

【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
由矩形性质得，进而由平行线的性质得，由于，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
∽；
解：，
，
，
，
解得：；
，
，
，
∽，
，
．
 

【解析】由平行线的性质得出，，即可得出结论；
由平行线的性质得出，即可得出结果；
先求出，易证∽，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，．
，．
又，
．
∽；
∽，
，
四边形ABCD是平行四边形，
．
．
．
．
 

【解析】【试题解析】

本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出，．
由平行四边形的性质可知，所以，，又因为又，进而可证明：∽；
由可知：∽，所以，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算即可．

23.【答案】1 
 

【解析】解：问题发现
如图1，，
，
，，
≌，
，
；
≌，
，
，
，
在中，，
故答案为：；；
类比探究
如图2，，，理由是：
中，，，
，
同理得：，
，
，
，
∽，
，，
在中，；
拓展延伸
点C与点M重合时，如图3，同理得：∽，
，，
设，则，
中，，，
，，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
点C与点M重合时，如图4，同理得：，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
综上所述，AC的长为或．
证明≌，得，比值为1；
由≌，得，根据三角形的内角和定理得：；
根据两边的比相等且夹角相等可得∽，则，由全等三角形的性质得的度数；
正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：∽，则，，可得AC的长．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：∽，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．