初中数学华师大版九年级上册第25章 随机事件的概率25.2 随机事件的概率2.频率与概率课后练习题

25.2.2频率与概率同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种频率结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是

A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C. 在“石头剪刀、和”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D. 袋子中有1个红球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球

2. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有

A. 3个 B. 5个 C. 15个 D. 17个

3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是

A. 20个 B. 15个 C. 10个 D. 5个

4. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：

下面有三个推断：
 当时，绿豆发芽的频率为，所以绿豆发芽的概率是；
 根据上表，估计绿豆发芽的概率是；
 若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是

A.  B.  C.  D.

5. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：

下面有四个推断：

当移植的树数是时，表格记录成活数是，所以这种树苗成活的概率是；

随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；

若小张移植棵这种树苗，则可能成活棵；

若小张移植棵这种树苗，则一定成活棵．
其中合理的是

A.  B.  C.  D.

6. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是

A. 5 B. 10 C. 12 D. 15

7. 在做针尖落地的实验中，正确的是

A. 甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地
B. 乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C. 老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D. 老师安排同学回家做实验，图钉统一发完全一样的图钉同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要

8. 下列四种说法：
   如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
   将2020减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的依次减下去，一直到减去余下的，结果是1；
   实验的次数越多，频率越靠近理论概率；
   对于任何实数x、y，多项式的值不小于其中正确的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是

A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
 

10. 小明做“用频率估计概率”的实验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是

A. 同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上
B. 一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3
D. 一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球

11. 一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，其中黄色16个，白色8个和红色若干，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则摸到黄球的概率约为

A.  B.  C.  D.

12. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的球，其中有9个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中球的个数n为   

A. 20 B. 24 C. 28 D. 30

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共计15个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为______．
14. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同。小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是_________个。
15. 在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出n的值大约是______．
16. 如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为______ 结果取整数．

17. 任意写出一个三位数三位数字都不相同，重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大数减去最小数，得到差，不断重复这个过程，最后一定会得到相同的结果，这个结果是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到红球的频率逐渐稳定在．

估计摸到黑球的概率是          ；

如果袋中原有红球12个，又放入n个黑球，再经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，求n的值．






 

19. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．
    若先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”，则m的最大值为______；
    若在盒子中再加入2个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，问n的值大约是多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
    摸到黑球的频率会接近______精确到，估计摸一次球能摸到黑球的概率是______；袋中黑球的个数约为______只；
    若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在左右，则小明后来放进了多少个黑球？写过程

21. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘如图所示，并规定：顾客购买10元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组数据：

计算并完成表格

请估计n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？

假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少






 

22. 某种玉米种子在相同条件下的发芽实验结果如下表：

计算并完成表格；
请估计，当n很大时，频率将接近____________；
这种玉米种子的发芽概率的估计值是但是多少？请简要说明理由．






 

23. 为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力．某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分．为了了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩单位：分如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．

注：分数在80分以上不含80分为优秀．

为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：

九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如下：

根据题目信息填空：________，________，________；

八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名谁的更靠前，并简述你的理由；

若九年级共有600人参加竞赛，请估计九年级80分以上不含80分的人数．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
D、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率，不符合题意；
故选：B．
分别计算出每个事件的概率，其值约为的即符合题意；
本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
 

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，
根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题时，由频数数据总数频率计算即可．
【解答】
解：摸到红色球的频率稳定在左右，
口袋中红色球的频率为，
故红球的个数约为个．
故选A．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近，这个固定数值就可以近似地看作是这个事件的概率．
利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为和，则摸到白球的概率为，然后求解即可．
【解析】
解：多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，
摸到红色球、黑色球的概率分别为和，
摸到白球的概率为，
口袋中白色球的个数可能为个．
故选B．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
【解答】
解：当时，绿豆发芽的频率为，所以绿豆发芽的概率大约是，此时样本总量不足，无法确定绿豆发芽概率，此推断错误；
 根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，所以估计绿豆发芽的概率是，此推断正确；
 若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．
故选：D．  

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，据此进行判断即可．

【解答】

解：当移植的树数是时，表格记录成活数是，这种树苗成活的概率不一定是，故错误；
随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是，故正确；
若小张移植棵这种树苗，则可能成活棵，故正确；
若小张移植棵这种树苗，则不一定成活棵，故错误．
故选C．

6.【答案】A
 

【解析】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：，
解得，
袋子中红球的个数最有可能是5个，
故选：A．
设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；
B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；
C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；
D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；
故选：B．
根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．
考查模拟实验的条件；实验器具和实验环境应相同；实验的结果带有一定的偶然性．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误；
将2020减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的依次减下去，一直到减去余下的，结果是1，正确，



．
故正确；
实验的次数越多，频率越靠近理论概率，故正确；
对于任何实数x、y，多项式的值不小于2，正确，


，
，，
，
故正确．
其中正确的个数是3．
故选：C．
根据平行线的性质即可判断；
根据题意列出算式，进行化简计算即可；
利用频率估计概率的方法即可判断；
根据配方法先将多项式进行配方，再利用非负数的性质进行计算即可．
本题考查了频数估计概率、非负数的性质：偶次方、配方法的应用、平行线的性质、规律型：数字的变化类，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合这一结果，故此选项错误；
B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为，不符合这一结果，故此选项错误；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：，符合这一结果，故此选项正确．
故选：D．
利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【解答】
解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率
A、同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上的概率为，故A选项错误；

B、一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故 B选项错误；
C、抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3的概率是，故C选项正确；
D、一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球的概率为，故 D选项错误．
故选：C．
【分析】
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了概率公式，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出红球个数，从而求出黄球的概率即可．
【解答】
解：设红球个数为x个，
摸到红色球的频率稳定在左右，
口袋中得到红色球的概率为，
，
解得：，
即袋中的红球大约有24个，
黄球的概率为，
故选：C．  

12.【答案】D
 

【解析】略
 

13.【答案】6
 

【解析】解：


答：估计这个袋中红球的个数约为6．
故答案为：6．
先求出摸到红球的频率，再利用红球个数总数摸到红球的频率，进而得出答案．
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
 

14.【答案】16
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．
【解答】
解：白色球的个数是：，
故答案为16，  

15.【答案】100
 

【解析】解：由题意可得，，
解得，．
故估计n大约是100．
故答案为：100．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】7
 

【解析】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，
解得．
故答案为：7．
首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
 

17.【答案】495
 

【解析】解：任选三个不同的数字，如327，
组成一个最大的数732和一个最小的数237，
用大数减去小数，，
用所得的结果的三位数重复上述的过程，
；
如234，，，，，；
这一现象在数学上被称之为卡普耶卡猜想．
故答案为：495
任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程即可发现规律．
此题考查了数字的变化规律，关键是根据对卡普耶卡猜想的认识解答．
 

18.【答案】解：；
原来有红球12个，
原来共有球个，
原来有黑球个，
由题意可得：，
解得：．
经检验是方程的解，
的值为6．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是弄清频率与概率的关系．
取出黑球的概率取出红球球的概率；
先求出原来的球的总数，然后可得原来黑球的数量，然后根据关系式：列出关于n的方程解之即可．
【解答】
解：摸到黑球的概率是：，
故答案为；
见答案．  

19.【答案】5
 

【解析】解：
一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，先从盒子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球是黄球的事件为“随机事件”
不透明的盒子中至少有一个黄球，
的最大值
故答案为：5；
不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，又在盒子中再加入2个黄球，
，
解得：．
经检验是分式方程是根．
故．
由随机事件的定义可知：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，则不透明的盒子中至少有一个黄球．所以m的值即可求出；
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算n的值即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
 

20.【答案】    20
 

【解析】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近，
故摸到黑球的频率会接近，
摸到黑球的频率会接近，
估计袋中黑球的个数为只，
故答案为：，，20；

设放入黑球x个，
根据题意得：，
解得，
经检验：是原方程的根，
故答案为：25；
根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案；大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率；
设向袋子中放入了黑个红球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

21.【答案】解：填表如下：

当n很大时，落在铅笔区域的频率将会接近．

因为，所以获得洗衣粉的概率大约是．

【解析】见答案
 

22.【答案】解：，；
   ；
估计是，
理由：在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率．
 

【解析】

【分析】
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
用发芽的粒数每批粒数n即可得到发芽的频率；
批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于，所以估计当n很大时，频率将接近；
这种玉米种子的发芽概率的估计值是，因为在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率．
【解答】
解：填表如下：

当n很大时，频率将接近．
故答案为；
见答案．  

23.【答案】解：，  3，   
小宇在八年级的排名更考前
理由如下：
八年级竞赛成绩的中位数为，而小宇的分数为80分，所以小宇的成绩为中上游；
而九年级竞赛成绩的中位数为分，小乐的分数为80分，所以他的成绩为中下游。
从而判断小宇在八年级的排名更考前。
人
答：估计九年级80分以上的人数为300。
 

【解析】本题考查用样本估计总体、统计表、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、b、c的值；
中间的两个数为75，80，所以
根据表格中的数据，对比中位数即可判断两位学生分别在各自班级的相对位置； 
考查用样本的优秀率估计总体的优秀率．