初中数学华师大版九年级下册1. 二次函数y=ax2的图象与性质课后练习题

26.2.1二次函数的图像与性质同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）

1. 如图，若抛物线与四条直线，，，围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是．

A.
B.
C.
D.

2. 如图，函数与函数在同一坐标系中的图象大致为．

A.  B.
C.  D.

3. 已知二次函数的图象经过点，，且，则与的大小关系是．

A.  B.  C.  D. 不能确定

二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）

4. 已知抛物线，当自变量x满足时，对应函数值y的范围是________．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）

5. 已知二次函数的图象过点和点．

求a和t的值；

试判断这个函数的图象是否过点．






 

6. 对于函数，当时，求y的取值范围．
   
   
   
   
   
   
    
7. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面．

在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线对应的函数关系式；

在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出d关于h的函数关系式；

设正常水位时桥下的水深为，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于求水深超过多少时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？






 

8. 如图所示为三条抛物线：，：，：的图象，求k的取值范围．
   
   
    

9. 已知一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点O为顶点的抛物线，且经过点．

求出这个函数的关系式；

画出函数的图象；

写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算的面积．






 

10. 如图，某大桥是一道拉索桥，有人说拉索AOB是一段抛物线，王红同学亲自验证了一下，她测得每根拉杆之间相隔，拉索OA之间共有10根拉杆，拉杆，，，．
    

你认为拉索AOB是抛物线的一段吗？为什么？

如果是，那么拉杆的长度为多少？






 

11. 若函数的图象是一条抛物线．

当a满足什么条件时，抛物线有最低点？求出这个最低点，并说明这时抛物线的开口方向、增减性如何；

当a满足什么条件时，二次函数存在最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？






 

12. 若函数的图象与直线交于点．

求a与b的值；

取何值时，中的y随x的增大而减小？

求抛物线与直线的两个交点及顶点构成的三角形的面积．






 

13. 某公园的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图甲所示，其拱形图形为抛物线的一部分，其跨径AB间按相同的间距用5根立柱加固，拱高OC为．
    

以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线对应的函数关系式；

计算这段栅栏所需立柱的总长度．精确到






 

14. 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．

求k的值；

求顶点坐标和对称轴．






 

15. 如图，点和在抛物线上．
     

求抛物线对应的函数关系式和m的值；

在抛物线上是否存在一点C，使的面积等于面积的一半？如果存在，请你求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象及性质，解析式的求法有关知识，根据图形，求出过AC两点的抛物线解析式可确定a的取值范围．
【解答】
解：四条直线，，，围成的正方形ABCD
，，
再根据抛物线的性质，越大开口越小，
把A点代入得，
把C点代入得，
则a的范围介于这两点之间，故．
故选D．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握，根据二次项系数a的符号分类，采用逐一排除的方法，选择正确结论．
【解答】
解：当时，函数的图象开口向下，反比例函数的图象在一三象限，故可排除B；
从二次函数的图象还可知顶点，故C可排除；
当时，函数的图象开口向上，反比例函数的图象在二四象限，
故选D．  

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数的图象，二次函数的性质，解决本题的关键是，在抛物线对称轴的同一侧还是异侧不能确定，则与的大小关系不能确定．
【解答】
解：二次函数的图象经过点，，且，
而，在抛物线对称轴的同一侧还是异侧不能确定，
则与的大小关系不能确定．
故选D．  

4.【答案】．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的性质有关知识，根据二次函数判断函数有最低点，然后再进行解答即可．
【解答】
解：当时，；当时，．
又因为，
所以抛物线有最低点，
即当时，．
故当时，对应函数值y的范围是．
故答案为．  

5.【答案】解：把点代入得，
．
．
再把代入得，
解得，．
把代入得．
这个函数的图象不经过点．
 

【解析】本题主要考查的是二次函数的解析式的求法，二次函数的图象的有关知识．
把点代入求出a，再将代入函数解析式求解即可；
把代入求出y即可求解此题．
 

6.【答案】解：根据函数的图像性质：当x小于0时，y随x的增大而减小；当x大于0时，y随x的增大而增大可知，当时，，当时，，当时，，
所以，当时，y的取值范围是．
故答案为．
 

【解析】这是主要考查二次函数的图象及性质，关键是熟练掌握二次函数的图象及性质．
由函数的图象，可知其顶点是原点、对称轴是y轴，当x小于0时，y随x的增大而减小；当x大于0时，y随x的增大而增大．
根据题意，根据函数的图像性质，当x小于0时，y随x的增大而减小；当x大于0时，y随x的增大而增大可知，当时，，当时，，当时，即可求出y的范围．
 

7.【答案】解：设二次函数解析式为，
代入点得，
解得，
因此二次函数解析式为；

把点代入函数解析式，
得；

当桥下水面的宽度等于18m时，抛物线上第四象限点的横坐标为9，
把代入函数解析式中，
米，
．
答：当水深超过米时，超过了正常水位，就会影响过往船只在桥下顺利航行．
 

【解析】此题考查待定系数法求函数解析式以及利用图象上的点解决实际问题．
设出二次函数顶点式解析式，代入一个点的坐标即可解答；
把点代入中的函数解析式就可以解决；
把点代入中的函数解析式就可以解决．
 

8.【答案】解：由题意可得，，
解得．
的取值范围是．
 

【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键熟练掌握二次函数中二次项系数与开口大小及方向的关系．
 

9.【答案】解：抛物线对称轴是y轴，顶点是原点，可设，
把点代入，得，
；
函数的图象如图：

，

．

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，三角形的面积的有关知识．
根据题意可直接设把点代入得，所以；
根据以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线的解析式即可画出图象；
通过抛物线的轴对称性得到B点的坐标，根据三角形的面积公式得出结果．
 

10.【答案】解：若拉索AOB是抛物线的一段，设其关系式为，
点在抛物线上，
，
，
，
将，，代入中，均符合题意，
所以拉索AOB是抛物线的一段；
由题意可推知点的横坐标为，设其纵坐标为，
则，
拉杆的长度为．
 

【解析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用．
利用待定系数法求二次函数的解析式，可得答案；
利用二次函数的性质求得答案．
 

11.【答案】解：是关于x的二次函数，
解得，
当抛物线有最低点时，抛物线开口向上，
则，即．
故当时，此抛物线有最低点，这个最低点是．
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小．
当抛物线有最大值时，抛物线开口向下，
则，即．
故当时，二次函数有最大值，且这个最大值是0．
当时，y随x的增大而减小；
当，y随x的增大而增大．
 

【解析】本题考查了二次函数的最值和二次函数的定义以及二次函数的性质根据二次函数的性质和定义即可解答．
根据二次函数的定义得到且，从而可得到满足条件的a的值；根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，所以，然后根据二次函数的性质确定增减性；
根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
 

12.【答案】解：把代入得．
再将代入得．
由知抛物线表达式为．
当时，y随x的增大而减小．
把代入得．
两交点之间的距离为．
所求三角形面积．
 

【解析】本题主要考查二次函数的图象与性质．
将交点坐标代入直线解析式可求解，再将代入中可求解a值；
由可得抛物线解析式，根据二次函数的性质可求解；
将代入抛物线解析式求解x值，即可的两交点间的距离，进而可求解三角形的面积．
 

13.【答案】解：在图中建立直角坐标系，如图乙所示，
由已知条件可知，，
得点B的坐标为，代入，得，
抛物线对应的函数关系式为；
结合图形及题设可知点、的横坐标分别为、，代入，
得点、的纵坐标分别为，，
立柱，，
由于抛物线关于y轴成轴对称，故这段栅栏所需立柱的总长度为：．
 

【解析】本题主要考查的是二次函数的应用．
这是抛物线解析式的最简形式，只需要已知抛物线上一个点的坐标，就可以求a，从而确定解析式；

根据抛物线的对称性，求出每根栅栏下端的纵坐标，利用上端纵坐标下端纵坐标每根长度，然后求总长．

14.【答案】解：根据题意得且，解得，，
二次函数当时，y随x的增大而增大，
二次函数的图象的开口向上，即，
；
，
函数的开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴．
 

【解析】本题考查了二次函数的定义：形如a、b、c为常数的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质：二次函数的二次项系数，则抛物线开口向下；函数有最大值，顶点是最高点，利用公式法的顶点坐标公式为，对称轴是．
根据二次函数的定义得到且，解得，，由于当时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有，于是得到；
根据二次函数的性质即可求解．
 

15.【答案】解：把代入抛物线对应的函数关系式，得．
解得．
．
把代入，得．
点，，
．
．
假设存在满足条件的点．
由题意知，，即．
解得，．
将代入，得，；
将代入，得，．
存在点，，，满足条件．
 

【解析】本题主要考查的是二次函数的图象和性质以及三角形面积的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
直接把代入抛物线中求出，进而得到抛物线对应的函数关系式，再把代入中即可求出m的值．
由点和可得，则，假设存在满足条件的点，根据题意即可求出满足条件的C的坐标．