初中华师大版2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质精练

26.2.2二次函数的图像与性质同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

2. 如图，在四边形ABCD中，，，，，动点P沿路径从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作，垂足为设点P运动的时间为单位：，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是

A.
B. 图象的对称轴为直线
C. 点B的坐标为
D. 当时，y随x的增大而增大
 

4. 已知二次函数，若x取，且时函数值，则当时，y的函数值为

A. 0 B. 3 C. 18 D. 20

5. 已知二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点如图所示，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为

A. 0 B.  C.  D.

6. 如图，抛物线交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点点C在点D右边，对称轴为直线，连接AC，AD，若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是

A. 点B坐标为
B.
C.
D.
 

7. 关于二次函数，以下说法不正确的是   

A. 图象与y轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴为直线
C. 当时，y随x增大而减小 D. y的最大值为9

8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是

A.  B.
C.  D.

9. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是

A. 开口向下 B. 对称轴是y轴
C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降的

10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是

A.  B.   C.  D.

11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是

A.  B.  C.  D.

12. 若二次函数的图像经过点，且其对称轴为直线，则使函数值成立的x的取值范围是   

A. 或 B.
C. 或 D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数和的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是______．
14. 已知关于x的二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根为______．

15. 已知抛物线与x轴交于、，则关于x的一元二次方程：的解为______．
16. 对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果单位：，，，若用a作为这条线段长度的近似值，当______mm时，最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果单位：，，，，若用x作为这条线段长度的近似值，当______mm时，最小．
17. 函数的图像如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为，则m的值为__________．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 已知抛物线．
     

该抛物线的对称轴是          ，顶点坐标是          

设抛物线与x轴正半轴的交点为A，与y轴交点为B，顶点为C，求的面积

画出函数的图象，根据图象，写出时自变量x的取值范围．






 

19. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
     

写出点A，点B的坐标．

求．

求出抛物线的对称轴．

在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出P点的坐标若不存在，请说明理由．






 

20. 解方程： 
     

利用配方法将函数化为顶点式并写出其对称轴、顶点坐标；






 

21. 已知关于x的函数为常数．

若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值．

若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．






 

22. 已知二次函数．

求函数的对称轴，顶点坐标和与x轴的交点的坐标；

自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？






 

23. 已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点若为直角三角形，求c的值．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴是直线，
当时，若，则，故选项B错误；
当时，若，则，故选项A错误；
若，则，故选项C正确；
若，则，故选项D错误；
故选：C．
根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：当点P在AB上运动时，，则，，
，图象为二次函数；
当点P在BC上运动时，如下图，

由知，，同理，
则，为一次函数；
当点P在CD上运动时，
同理可得：，为一次函数；
故选：D．
分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：观察图形可知，由抛物线的解析式可知对称轴，
，A，B关于对称，
，
故A，B，C正确，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；故D错误，
故选：D．
根据二次函数的性质解决问题即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
由于，当x取和时函数值相等，由此可以确定的值，然后代入，计算即可求解．
【解答】
解：，
对称轴为，
取，且时函数值，
点与点关于对称轴对称，
，
当时，．
故选：C．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及轴对称最短路径问题，确定P的位置是本题的关键．首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得AC的解析式，AC与二次函数的对称轴的交点就是P，求得P的坐标即可求得结果．

【解答】
解：连接AC，交抛物线的对称轴于P点，
、B两点关于抛物线的对称轴对称，
此时取得最小值．

在中，令，则，
解得：或1．
则A的坐标是，B的坐标是，
则对称轴是．
令，解得，则C的坐标是．
设经过A和C的直线的解析式是．
根据题意得：
解得：
则AC的解析式是，
令，则．
．
故选：B．

6.【答案】D
 

【解析】解：抛物线交y轴于点A，
，
对称轴为直线，轴，
．
故A无误；
如图，过点B作轴于点E，

则，，
轴，
，
点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
对称轴为直线，
在中，，，
，
，
故B无误；
设，
将代入得：，
，
故C无误；
，，
，
故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．
由抛物线交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知，再结合平行线的性质可判断，从而可知；过点B作轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由双根式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值．
根据二次函数的图象及性质可作答．
【解答】
解：二次函数，
抛物线的对称轴是直线，故B正确；
，
抛物线的开口向下，故当时，y的最大值为9，故D正确，
当时，y的值随x值的增大而减小，故C正确，
针对于二次函数，
令，则，
图象与y轴的交点坐标为，故A错误，
故选：A．  

8.【答案】B
 

【解析】解：由解析式可得：抛物线对称轴；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
 

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
由，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线，选项B不正确；
代入求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
由及抛物线对称轴为直线，利用二次函数的性质，可得出当时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
综上即可得出结论．

【解答】

解：由，得抛物线开口向上，故选项A错误
对称轴为直线，故选项B错误
当时，，所以抛物线经过原点，故选项C正确
由及抛物线的对称轴为直线，得当时，y随x的增大而增大，故选项D错误．

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【解答】
解：对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，对称轴，在y轴的右侧，符合题意，图形正确；
B.对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误；
C.对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，对称轴，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误；
D.对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误；
故选A．  

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．
根据二次函数开口方向和一次函数与y轴交点排除A，B选项，然后在C，D选项中结合m的正负排除C选项 
【解答】
解：二次函数开口向上，排除B；
一次函数与y轴交于点
  又，
一次函数交y轴于正半轴，
排除A；
对于选项C：二次函数交y轴于负半轴，
，
，
一次函数将随x的增大而增大，
与图C矛盾，排除C；
综上所述，答案选择D．
故选D．  

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数的性质，求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关键．
由抛物线与x轴的交点为且对称轴为直线求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值成立的x的取值范围即可．
【解答】
解：二次函数的图像经过点，且其对称轴为直线，
二次函数的图像与x轴的交点分别为和．
又，
二次函数的图像开口向下．
故使成立的x的取值范围为．
故选D．  

13.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；数形结合的分析问题，将问题转化为不等式的解是解题的关键．
对a进行分类讨论，再根据图象判断即可求解．
【解答】
解：平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，
令，
，
令，
当时，要使与有解，，则；
当时，要使与有解，，则；
或；
故答案为或．  

14.【答案】0或
 

【解析】解：抛物线与x轴的交点为，，
关于x的方程的根是，，对称轴是直线
又将抛物线的图象向下平移4个单位而得到抛物线，
抛物线与x轴的交点坐标是、．
关于x的方程的根为0或．
故答案是：0或．
由图可知可以看作是函数的图象向下平移4个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点坐标进行解答．
本题考查的是二次函数与一元二次方程，解题时是根据二次函数图象的平移变换规律和抛物线的对称性质得到答案的．
 

15.【答案】，
 

【解析】解：抛物线与x轴交于、，
对称轴为直线：．
，
将抛物线向左平移个单位长度后的函数解析式为，即抛物线向左平移7个单位长度后的函数解析式为，
抛物线经过，两点，
当，对应的解是，，
故答案为：，．
将抛物线向左平移6个单位得到，然后根据抛物线经过，两点，可以得到的解．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

16.【答案】  ；  
 

【解析】解：设，
，
当时，y有最小值，
设，
，
当时，w有最小值．
故答案为，．
构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
 

17.【答案】2
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用根与系数的关系得到关于m的方程是解题关键设点A的坐标为，点B的坐标为，然后利用根与系数的关系列出关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】
解：设点A的坐标为，点B的坐标为，．
由根与系数的关系可知：，，
整理得：，
将代入得：．
解得：或舍去．
当时，，经检验满足题意，
故答案为2．  

18.【答案】解：，
抛物线的对称轴是直线，
顶点坐标是．
故答案为：直线；；
令，则，
解得，，
令，则，
，，，
；
函数的图象如图所示，

根据图象得，时自变量x的取值范围为：．
 

【解析】本题考查了函数图象，二次函数的性质和三角形面积等知识．
先把一般式化成顶点式，据此写出对称轴和顶点坐标即可；
根据题意先求得A、B、C的坐标，再根据割补法求三角形的面积即可；
根据函数解析式，画出图象，再利用图象即可写出自变量得范围．
 

19.【答案】解：
在中，令，得令，得．

点A，点B的坐标分别为，．

点A，点B的坐标分别为，，，．

．

抛物线的对称轴为直线．

存在．以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得

以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，易求得．

点P的坐标为或．

【解析】见答案
 

20.【答案】解：，，，，
，
 ，
 或．

 ，

，

或，

所以，．

原函数的对称轴为：直线，顶点坐标为；

【解析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握方法是关键，用公式法解答即可；
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握方法是关键，用因式分解法解答即可；
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法是关键用配方法化方程为顶点式，继而得到答案．
 

21.【答案】解：当时，与x轴只有一个交点，
当时该函数是二次函数，根据题意
方程有两个相等的实数根
，即，解得，
所以或时，函数的图象与x轴恰有一个交点；
顶点在x轴的上方，
，
当，时，
解得；
，时，
解得，
当或时，函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方．
 

【解析】本题主要考查的是函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质是解题的关键．
时，函数为一次函数；当时，时函数的图象与x轴恰有一个交点；
根据顶点在x轴上方则，求得a的范围即可．
 

22.【答案】解：，
顶点坐标为，对称轴，
令可得，解得或，
与x轴的交点是，，
，
二次函数开口向上，且对称轴为，
当时，y随x的增大而增大．
 

【解析】本题考查的是二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程有关知识．
把二次函数解析式化为顶点式可求得顶点坐标，再分别令和可求得与x轴及与y轴的交点坐标；
由可求得其对称轴结合开口方向可求得答案．
 

23.【答案】解：为直角三角形，则只有一种情况，

连接BC，，，
，，则，
而，
解得：或舍去，
故．
 

【解析】为直角三角形，则只有一种情况，证明，，则，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，关键是确定，用解直角三角形的方法确定，即可求解．