鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数综合与测试课后练习题

这是一份鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数综合与测试课后练习题，共14页。试卷主要包含了下列函数中，是二次函数的是，关于x的二次函数y＝﹣等内容，欢迎下载使用。

2021-2022年鲁教版九年级数学上册《第3章二次函数》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝（x﹣3）x B．y＝（x+2）（x﹣2）﹣x2
C．y＝ D．y＝3x
2．关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
C．图象与y轴的交点坐标为（0，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小
3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论，①ab＜0，②b2﹣4ac＞0，③4b+c＜0，④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2，⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣1关于点（﹣1，2）对称的图象解析式为（　　）
A．y＝x2﹣2x+1 B．y＝x2+4x+11
C．y＝﹣x2﹣2x﹣1 D．y＝x2+4x+19
5．已知3x+y＝6，则xy的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　）
A．（﹣1，﹣6） B．（﹣1，﹣5） C．（﹣1，0） D．（﹣1，4）
7．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
8．如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽12m，拱高8m，设计警戒水位为6m，当拱桥内水位达到警戒水位时，拱桥内的水面宽度是（　　）

A．3m B．6m C．3m D．6m
9．把抛物线y＝2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）
A．y＝（2x﹣3）2﹣5 B．y＝2（x﹣3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2+6 D．y＝2（x+3）2﹣4
10．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（　　）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
二．填空题（共4小题，满分20分）
11．二次函数顶点坐标为（1，4），且图象经过点（﹣2，﹣5），此二次函数的解析式　 ．
12．如果二次函数y＝x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝　 　．
13．点（3，y1），（﹣4，y2），（，y3）都在函数y＝ax2+bx+c的图象上，且a＞0，对称轴为直线x＝﹣2，则y1，y2，y3的大小关系是　 　
14．在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，﹣2），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．已知二次函数y＝x2+mx+m﹣2．
（1）求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）若此函数图象与x轴的一个交点为（﹣3，0），求此函数图象与x轴的另一个交点坐标．
16．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；
（3）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请连接CB，BE并求出△CBE的面积S的值．

17．△ABC是锐角三角形，BC＝6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x；
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；
（3）求公共部分面积的最大值．

18．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为14元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出260千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出210千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？
（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？

19．如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝18cm，BO＝30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm/s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．
（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．

20．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：A、整理得：y＝x2﹣x，是二次函数，符合题意；
B、整理得：y＝﹣4，不是二次函数，不符合题意；
C、D、都是一次函数，不符合题意，
故选：A．
2．解：A：∵a＝﹣1，∴函数的开口向下，故此选项错误，
B：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误，
C：当x＝0，y＝﹣3，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，﹣3），故此选项错误；
D：∵函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确，
故选：D．
3．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴ab＞0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴4b+c＝8a﹣3a＝5a＜0，所以③正确；
∵点B（﹣，y1）到直线x＝﹣1的距离大于点C（﹣，y2）到直线x＝﹣1的距离，
∴y1＜y2，所以④错误；
当﹣3≤x≤1时，y≥0，所以⑤正确．
故选：B．
4．解：y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣2）2+1，抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为（2，1），点（2，1）关于点（﹣1，2）对称的对应点的坐标为（﹣4，3），由于对称后抛物线开口相反，所以对称后的抛物线解析式为y＝（x+4）2+3，即y＝x2+4x+11．
故选：B．
5．解：∵3x+y＝6，
∴y＝﹣3x+6，
∴xy＝﹣3x2+6x＝﹣3（x﹣1）2+3．
∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣3（x﹣1）2+3≤3，即xy的最大值为3．
故选：B．
6．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴两个交点间的距离为2，
∴抛物线与x轴两个交点的坐标为（﹣2，0），（0，0），
∴抛物线解析式为y＝x（x+2），
即y＝x2+2x；
∵y＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
把点（﹣1，﹣1）向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为（1，﹣4），
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
当x＝﹣1时，y＝（x﹣1）2﹣4＝0，
∴点（﹣1，0）在抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上．
故选：C．
7．解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．
故选：C．
8．解：如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2+c，由题意，得，
解得：，
∴y＝﹣x2+8；
当y＝6时，即6＝﹣x2+8，
解得：x＝±3，
∴拱桥内的水面宽度＝6m，
故选：B．

9．解：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1），点（0，1）先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后所得对应点坐标为（3，﹣4），
所以所得函数的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣4．
故选：B．
10．解：抛物线的对称轴是直线x＝1，
则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；
当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分20分）
11．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4＝﹣5，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+4
12．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m﹣1的顶点在x轴上，
∴＝＝0，即4m﹣20＝0，
∴m＝5．
故答案为：5．
13．解：依照题意画出函数图象．
∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，当x＝﹣4时，y＝y2，
∴当x＝0时，y＝y2．
∵a＞0，
∴当x＞﹣2时，y随x值的增大而增大．
又∵0＜＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．

14．解：如图，
抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点坐标为（0，c），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，﹣2），B（5，4）代入得，﹣k+b＝﹣2，5k+b，解得k＝1，b＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
当直线AB与抛物线y＝x2﹣2x+c相切时，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点最高，即c的值最大，
把y＝x﹣1代入y＝x2﹣2x+c得，x2﹣3x+c+1＝0，则Δ＝0，即9﹣4（c+1）＝0，解得c＝；
当抛物线y＝x2﹣2x+c过B点时，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点最低，即c的值最小，
把B（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得，25﹣10+c＝4，解得c＝﹣11．
∴c的取值范围为﹣11≤c≤．
故答案为﹣11≤c≤．

三．解答题（共6小题，满分50分）
15．（1）证明：△＝m2﹣4（m﹣2）
＝m2﹣4m+8
＝（m﹣2）2+4＞0，
∵（m﹣2）2，≥0，
∴Δ＞0，
，∴无论m为任何非零实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3m+m﹣2＝0，解得m＝，
∵二次函数的解析式为：y＝x2+x+；
当y＝0时，x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），
16．解：（1）∵A（1，0），B（5，0），
设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）（x﹣5），
把C（0，5）代入得：5＝a（0﹣1）（0﹣5），
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5，
即抛物线的函数关系式是y＝x2﹣6x+5．
（2）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
又∵二次函数y＝x2﹣6x+5的二次项系数为1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x≥3时y随x的增大而增大；
（3）把x＝4代入y＝x2﹣6x+5得：y＝﹣3，
∴E（4，﹣3），
把C（0，5），E（4，﹣3）代入y＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝5，
∴y＝﹣2x+5，
设直线y＝﹣2x+5交x轴于D，
当y＝0时，0＝﹣2x+5，
∴x＝，
∴OD＝，
BD＝5﹣＝，
∴S△CBE＝S△CBD+S△EBD＝××5+××|﹣3|＝10．
17．解：（1）过A作AD⊥BC于D交PQ于E，则AD＝4，
由△APQ∽△ABC，得，故x＝．
（2）①当RS落在△ABC外部时，由△APQ∽△ABC，得AE＝，
故y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x（＜x≤6）；
②当RS落在△ABC内部时，y＝x2（0＜x＜）．

（3）①当RS落在△ABC外部时，y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣3）2+6 （＜x≤6），
∴当x＝3时，y有最大值6，
②当RS落在BC边上时，由x＝可知，y＝，
③当RS落在△ABC内部时，y＝x2（0＜x＜），
故比较以上三种情况可知：公共部分面积最大为6；

18．解：（1）设一次函数表达式为y＝ax+b，
则，
解之得
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；
（2）根据题意知，（x﹣14）（﹣10x+460）＝1920，
整理得：10x2﹣600x+8360＝0，
解得：x＝22或x＝38，
∵要让消费者得到实惠，
∴x＝22，
答：该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于22元；
（3）设每天获利W元，
W＝（x﹣14）（﹣10x+460）
＝﹣10x2+600x﹣6440
＝﹣10（x﹣30）2+2560，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝30，
∴在0＜x≤28时，W随x的增大而增大，
∴x＝28时，W最大值＝2520（元），
答：售价为28元时，每天获利最大为2520元．
19．解：（1）由题意得，AM＝t，ON＝2t，则OM＝OA﹣AM＝18﹣t，
四边形ABNM的面积S＝△AOB的面积﹣△MON的面积
＝×18×30﹣×（18﹣t）×2t
＝t2﹣18t+270（0＜t≤15）；
（2）S＝t2﹣18t+270
＝t2﹣18t+81﹣81+270
＝（t﹣9）2+189，
∵a＝1＞0，
∴S有最小值，这个值是189．
20．解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示．
当y＝0时，有﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝kx+d中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．
（3）设点M的坐标为（1，m），
则CM＝，AC＝＝，AM＝．
分三种情况考虑：
①当∠AMC＝90°时，有AC2＝AM2+CM2，即10＝1+（m﹣3）2+4+m2，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）；
②当∠ACM＝90°时，有AM2＝AC2+CM2，即4+m2＝10+1+（m﹣3）2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（1，）；
③当∠CAM＝90°时，有CM2＝AM2+AC2，即1+（m﹣3）2＝4+m2+10，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（1，﹣）．
综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，﹣）．