2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第二章 第5讲　指数与指数函数

第5讲　指数与指数函数

1．根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a⇒

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N*，且n>1)．

②＝

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

②负分数指数幂：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

常用结论

指数函数图象的特点

(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．

(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征，在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．

[思考辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝()n＝a.(　　)

(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)

(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)

(4)函数y＝a(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)

(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

[诊断自测]

1．化简(x<0，y<0)得(　　)

A．2x2y B．2xy

C．4x2y  D．－2x2y

解析：选D．因为x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.

2．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)

A．  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．

解析：选C．根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C．

3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________．

解析：由题意知＝a2，所以a＝，

所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.

答案：

4．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则实数a的值为________．

解析：当0<a<1时，a－a2＝，

所以a＝或a＝0(舍去)．

当a>1时，a2－a＝，

所以a＝或a＝0(舍去)．

综上所述，a＝或.

答案：或

指数幂的化简与求值(自主练透)

1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)

A．(－2)－2＝4　 B．2a－3＝

C．(－2)0＝－1  D．(a)4＝

解析：选D．对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝.

2．计算：－＋＋(0.002)＝________．

解析：原式＝－＋＋＝－＋＋10＝10.

答案：10

3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．

解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，

所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.

所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.

答案：7

4．化简：÷×＝________(a>0)．

解析：原式＝÷×

＝a(a－2b)××＝a2.

答案：a2

[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　

指数函数的图象及应用(典例迁移)

(1)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)

(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

【解析】　(1)y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A．

(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．

【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]

【迁移探究】

1．(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．

解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，

故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．

答案：{0}∪[1，＋∞)

2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．

解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．

由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1]

指数函数图象问题的求解策略

1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0  B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0  D．0<a<1，b<0

解析：选D．由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．

解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．

(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；

(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．

所以0＜a＜.

答案：

指数函数的性质及应用(多维探究)

角度一　比较指数幂的大小

(2021·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　)

A．a>b>c  B．a>c>b

C．b>c>a  D．c>b>a

【解析】　方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b，故选D．

方法二：因为＝0.3<1，且＝<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D．

【答案】　D

比较指数幂大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　

角度二　解指数方程或不等式

若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　)

A．  B．

C．  D．[2，＋∞)

【解析】　因为2x2＋1≤＝24－2x，

则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，

所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.

【答案】　B

解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　

角度三　研究指数型函数的性质

(1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．

(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

所以函数f(x)的减区间为(－∞，1]．

(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．

(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：

当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；

当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．　

1．若函数f(x)＝a|x＋1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)

A．f(－4)>f(1)  B．f(－4)＝f(1)

C．f(－4)<f(1)  D．不能确定

解析：选A．由题意知a>1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．

2．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]  B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：选B．将原函数看成复合函数f(x)＝，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．

3．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为(　　)

A．  B．1

C．  D．2

解析：选B．如图是函数y＝2|x|值域为[1，2]上的图象，使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的区间长度最小的区间为[－1，0]，[0，1]，区间长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.