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2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第二章 第6讲 对数与对数函数
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这是一份2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第二章 第6讲 对数与对数函数，共11页。学案主要包含了四象限．等内容，欢迎下载使用。
第6讲 对数与对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，a＝N(a>0且a≠1)
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0
当0
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数图象的特点
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(2)函数y＝logax与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
常见误区
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．( )
(4)若M>N>0，则logaM>logaN.( )
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
[诊断自测]
1．log29·log34＝( )
A． B．
C．2 D．4
解析：选D．原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4××＝4.
2．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是( )
解析：选C．函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C．
3．函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．
答案：(－1，0)∪(0，2]
4．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0
对数式的化简与求值(自主练透)
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B．方法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．
方法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．
方法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．
方法四：因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故选B．
方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，因为alog34＝2，所以log3＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B．
方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4.由alog34＝2，得a＝＝＝log49，所以log4＝log49，所以＝9，t＝，即4－a＝，故选B．
2．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，
所以m＝.
答案：
4．计算：
(1)÷100；
(2).
解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10
＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
对数函数的图象及应用(师生共研)
(1)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________．
【解析】 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B．
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，
当a>1时不满足条件，
当0
则f≥g，即2≥loga，则a≤，
所以a的取值范围为.
【答案】 (1)B (2)
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
1．已知函数y＝ax＋b的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋b)的图象是( )
解析：选D．由题意知00，所以x
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 比较对数值的大小
(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．a52，所以3>5，所以log53>log55＝，所以b>c，所以a
比较对数值的大小的方法
角度二 解对数不等式、方程
(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
(2)设函数f(x)＝若f(a)
(2)由f(a)
解对数方程、不等式的方法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
角度三 对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
所以3－2a>0.所以a<.
又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝logat为增函数，
所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
1．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是( )
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选B．f(x)＝log2(1＋2－x)，因为1＋2－x>1，
所以log2(1＋2－x)>0，所以函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B．
2．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)
解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)
3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
答案：
思想方法系列4 数形结合思想在对数函数问题中的应用
设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0
显然x1<0，x2<0.
不妨令x1
此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)<0，所以0
一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．
已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a.若函数g(x)有两个不同的零点，则( )
A．a≤－2
B．a<－2
C．a>2
D．a∈R
解析：选B．函数g(x)有两个不同的零点，即函数y＝f(x)与y＝x－a的图象有两个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝x－a的图象如图所示，因为x＋＋2>x＋2(x>0)，所以当－a>2，即a<－2时，y＝f(x)与y＝x－a的图象有两个交点，所以选B．
第6讲 对数与对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，a＝N(a>0且a≠1)
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1
0
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0
当0
当0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数图象的特点
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(2)函数y＝logax与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
常见误区
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．( )
(4)若M>N>0，则logaM>logaN.( )
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
[诊断自测]
1．log29·log34＝( )
A． B．
C．2 D．4
解析：选D．原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4××＝4.
2．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是( )
解析：选C．函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C．
3．函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．
答案：(－1，0)∪(0，2]
4．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0
对数式的化简与求值(自主练透)
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B．方法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．
方法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．
方法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B．
方法四：因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故选B．
方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，因为alog34＝2，所以log3＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B．
方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4.由alog34＝2，得a＝＝＝log49，所以log4＝log49，所以＝9，t＝，即4－a＝，故选B．
2．计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
答案：
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，
所以m＝.
答案：
4．计算：
(1)÷100；
(2).
解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10
＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
对数函数的图象及应用(师生共研)
(1)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________．
【解析】 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B．
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，
当a>1时不满足条件，
当0
则f≥g，即2≥loga，则a≤，
所以a的取值范围为.
【答案】 (1)B (2)
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
1．已知函数y＝ax＋b的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋b)的图象是( )
解析：选D．由题意知0
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
对数函数的性质及应用(多维探究)
角度一 比较对数值的大小
(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则( )
A．a
比较对数值的大小的方法
角度二 解对数不等式、方程
(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
(2)设函数f(x)＝若f(a)
(2)由f(a)
解对数方程、不等式的方法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
角度三 对数型函数的综合问题
已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
所以3－2a>0.所以a<.
又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝logat为增函数，
所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
1．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是( )
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
解析：选B．f(x)＝log2(1＋2－x)，因为1＋2－x>1，
所以log2(1＋2－x)>0，所以函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B．
2．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)
解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)
3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
答案：
思想方法系列4 数形结合思想在对数函数问题中的应用
设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝0
C．x1x2>1 D．0
显然x1<0，x2<0.
不妨令x1
此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)<0，所以0
一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．
已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a.若函数g(x)有两个不同的零点，则( )
A．a≤－2
B．a<－2
C．a>2
D．a∈R
解析：选B．函数g(x)有两个不同的零点，即函数y＝f(x)与y＝x－a的图象有两个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝x－a的图象如图所示，因为x＋＋2>x＋2(x>0)，所以当－a>2，即a<－2时，y＝f(x)与y＝x－a的图象有两个交点，所以选B．
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