2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第二章 第7讲　函数的图象

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 第7讲　函数的图象1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)y＝－f(x)．②y＝f(x)y＝f(－x)．③y＝f(x)y＝－f(－x)．④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．(3)翻折变换①y＝f(x)y＝|f(x)|；②y＝f(x)y＝f(|x|)．(4)伸缩变换①y＝f(x)→y＝f(ax)．②y＝f(x)→y＝af(x)．常用结论1．函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．2．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．3．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．4．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．常见误区1．函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－.2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√[诊断自测]1．函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)A．y轴对称 B．x轴对称C．原点对称  D．直线y＝x对称解析：选C．函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，关于原点对称．2．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)解析：选C．其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．3．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.答案：y＝f(－x＋1)4．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.答案：(0，＋∞)作函数的图象(师生共研) 分别作出下列函数的图象．(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.【解】　(1)y＝图象如图①所示．(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②所示．(3)y＝图象如图③所示．函数图象的画法[提醒]　(1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．　 　分别作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝.解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.所以y＝这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．函数图象的辨识(师生共研) (1)(2020·高考浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)A．f(x)＝ B．f(x)＝C．f(x)＝－1  D．f(x)＝x－【解析】　(1)令f(x)＝xcos x＋sin x，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcos x－sin x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故选A．(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C．若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．【答案】　(1)A　(2)A(1)抓住函数的性质，定性分析①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(2)抓住函数的特征，定量计算利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．　 1．已知函数f(x)＝ln|x|·cos x，则f(x)的大致图象是(　　)解析：选B．通解：当x＝2π时，f(x)＝ln 2π＞0，故排除C，D；当x＝时，f(x)＝0，当＜x＜时，ln x＞0，cos x＜0，所以f(x)＜0，故排除A．故选B．优解：当x＝和x＝1时，f(x)＝0，故排除A，D；当x＝2π时，f(x)＝ln 2π＞0，故排除C．故选B．2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：选A．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．3．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)A．0<a－1<b<1  B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1  D．0<a－1<b－1<1解析：选A．由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，又y＝2x＋b－1在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，即logaa－1<logab<loga1，所以a－1<b<1.综上有0<a－1<b<1.函数图象的应用(多维探究)角度一　研究函数的性质 对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法不正确的是(　　)A．函数F(x)是偶函数B．方程F(x)＝0有三个解C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增D．函数F(x)有4个单调区间【解析】　根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．【答案】　C对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．　 角度二　解不等式 设增函数f(x)＝的值域为R，若不等式f(x)≥x＋b的解集为{x|c≤x≤e}，则实数c的值为________．【解析】　当x>1时，f(x)为增函数，且f(x)∈(0，＋∞)，当0<x≤1时，＝a－≤a－1，即f(x)∈(－∞，a－1]，因为f(x)为增函数，所以a－1≤0，则a≤1，又函数f(x)的值域为R，所以a－1≥0，即a≥1，从而a＝1，函数f(x)＝作出f(x)的大致图象如图所示，因为不等式f(x)≥x＋b的解集为{x|c≤x≤e}，所以数形结合，得ln x＝x＋b的解集为x＝e，那么b＝1－e，当x＝1时，x＋b＝1＋1－e＝2－e<0，故c<1.令＝x＋1－e，得x2－ex＋1＝0，从而x＝(舍去)，则c＝.【答案】　利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．　 角度三　求参数的取值范围 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．【解析】　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.【答案】　【迁移探究】　(变条件)若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：如图作出函数f(x)的图象，当－1≤k<时，直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．答案：当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．　 1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C．将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，如图，结合函数图象可知a>1.答案：(1，＋∞)