高中数学10.1 计数原理教学设计

【教学过程】

*揭示课题

10.1 计数原理

*情境导入

由太原去北京可以乘火车，也可乘汽车，还可以乘飞机．如果一天之内火车有4个班次，汽车有17个班次，飞机有6个班次，那么，每天由太原去北京有多少种不同的方法？

解决这个问题需要分类进行研究．由太原去北京共有三类方案．第一类是乘火车，有4种方法；第二类是乘汽车，有17种方法；第三类是乘飞机，有6种方法．并且，每一种方法都能够完成这件事（从太原去北京）．所以每天从太原去北京的方法共有

                   （种）．

从唐华、张凤、薛贵3个候选人中，选出2个人分别担任班长和团支部书记，会有多少种选举结果呢？

解决这个问题需要分步骤进行研究．第一步选出班长，第二步选出团支部书记．每一步并不能完成选举工作，只有各步骤都完成，才能完成选举这件事．

如图10－1所示，第一步从3个人中选出1个人，共有3种结果，对第一步的每种结果，第二步都有2种结果．因此共有种结果．

【想一想】

 如果第一步选团支部书记，第二步选班长，计算出的结果与上面的结果相同吗？

*引入新知

一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有种方法，第2类方式有种方法，……，第n类方式有种方法，那么完成这件事的方法共有

      （种）．                   （10.1）

上面的计数原理叫做分类计数原理．

一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有种方法，完成第2个步骤有种方法，……，完成第n个步骤有种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有

             （种）．               （10.2）

    上面的计数原理叫做分步计数原理．

*例题讲解

例1  三个袋子里分别装有9个红色球，8个蓝色球和10个白色球．任取出一个球，共有多少种取法？

例2  某校电子八班有男生26人，女生20人，若要选男、女生各1人作为学生代表参加学校伙食管理委员会，共有多少种选法？

例3  邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒，共有多少种投法？

*练习强化

1．书架上有7本数学书，6本语文书，4本英语书．如果从书架上任取一本，共有多少种不同取法？

2．某职业学校电子一班的同学分为三个小组，甲组有10人，乙组有11人，丙组有9人．现要选派1人参加学校的技能活动，有多少种不同的方法？

3. 两个袋子中分别装有10个红色球和6个白色球．从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？

4. 北京市电话号码为八位数字，问8461支局共有多少个电话号码？

*揭示课题

10.2 概率

*情境导入

【观察】

 观察下列各种现象：

（1）掷一颗骰子 (图10－2)，出现的点数是4．

（2）掷一枚硬币，正面向上．

（3）在一天中的某一时刻，测试某个人的体温为36.8℃．

（4）定点投篮球，第一次就投中篮框．

（5）在标准大气压下，将水加热到100℃时，水沸腾．

（6）在标准大气压下，100℃时，金属铁变为液态．

【实验】反复抛掷一枚硬币，观察并记录抛掷的次数与硬币出现正面向上的次数．

*引入新知

上面的（1）、（2）、（3）、（4）种现象，有可能发生，也有可能不发生．像这样，在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象叫做随机现象(偶然现象)．

上面的（5）、（6）两种现象都是确定性现象，其结果在一定条件下，必然发生（现象（5））或者必然不发生（现象（6））．

我们通常使用试验和观察的方法来研究随机现象，试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用英文大写字母A、B、C等表示．

在描述一个事件的时候，采用加大括号的方式．如抛掷一枚硬币，出现正面向上的事件，记作

              A={抛掷一枚硬币，出现正面向上}．

在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，用表示．在一定条件下，不可能发生的事件叫做不可能事件，用表示．

设在n次重复试验中，事件A发生了 m次（），m叫做事件A发生的频数．事件A的频数在试验的总次数中所占的比例，叫做事件A发生的频率．一般地，当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P(A).

那对于概率的求算，我们除了用大量重复实验的结果来判断外，我们还可以借由其他方法，如掷骰子，一次扔掷正面朝上的概率为，那两次扔掷正面朝上的概率如何判断呢？我们可以先来计算所有可能发生的情况总数n，再来算符合具体情况的个数m，即是某事件发生的概率。

*例题讲解

例1  设在100件商品中有3件次品．

A ＝ { 随机抽取1件是次品 }；B ＝ { 随机抽取4件都是次品 }；C ＝ { 随机抽取10件有正品}．指出其中的必然事件及不可能事件．

例2  从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是多少？

例3  从甲乙丙丁四位男生和ABC三名女生中，随机抽取2人参加一项活动，抽到男生甲和女生B的概率是多少？

*练习强化

１．掷一颗骰子，观察掷出的点数，指出下列事件出现的概率？

（1）A＝{点数是1 }；              （2）B＝{点数是3 }；

（3）C＝{点数是5 }；           （4）D＝{点数是奇数 }．

2在对60个数据进行整理时，各个数据出现的频数之和为多少？频率之和为多少？

*归纳小结

本节是计数原理的开篇，加法与乘法规则的运用是重重之重，因此一定要分清分类讨论时用加法连接，而遇到完成一件事要分好几步时则需用到乘法原理。