初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试单元测试课时训练

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试单元测试课时训练，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年度初中九年级数学上册第二十二章
二次函数测试卷（二）
一、单选题
1．已知二次函数（为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为-3，则的值为（ ）
A．3或4 B．0或4 C．0或7 D．7或3
2．已知的图象是抛物线，若将抛物线分别向上、向右平移2个单位，那么平移后抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．设正的边长为1，为任意的实数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
5．已知二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣6，它的图象经过点（4，c），则c的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．6
6．已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）

A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
7．如图，在中，，，．动点P沿从点A向点B移动（点P不与点A，点B重合），过点P作的垂线，交折线于点Q．记，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，抛物线与轴交于，两点，将抛物线向上平移个单位长度后，点，在新抛物线上的对应点分别为点，，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为（　　）

A． B． C． D．
9．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①abc＞0；②4ac-b2＞0；③ac＜0；④1≤a；⑤关于x的方程ax2+bx+c+2﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数b的取值范围是_____________．
12．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．

13．若点M（-1，y1），N（1，y2 ），P（，y3）都在抛物线y＝-mx2+4mx+m2+1（m＞0）上，则y1、y2、y3大小关系为______________（用“<”连接）．
14．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转180°得，交x轴于点；将绕点旋转180°得，交x轴于点；
……
如此进行下去，直至得．
若在上，则______．
若在第13段抛物线上，则______．

15．二次函数图像上的最低点的横坐标为_________________．
16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，4），则△ABC的面积可以等于4；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1＋x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为﹣1，3，其中正确结论的序号为_____．

17．如果将抛物线y＝x2向右平移2个单位，向上平移3个单位长度，那么所得新的抛物线的表达式是_____．
18．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②m+n＝3；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x≤4时，有y2＜y1，其中正确的是_____

19．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为，拱桥的最高点B到水面OA的距离为．则抛物线的解析式为________．

20．已知抛物线与直线相交于两点，若点的横坐标，则点的横坐标的值为_______．
三、解答题
21．已知二次函数．
（1）当时，求出该二次函数的图象与轴的交点坐标；
（2）若时，该二次函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点为一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，点在运动过程中始终满足．设平面直角坐标系内点、的坐标分别为，、，，则，

（1）若点运动到点时，求CF的值；
（2）设动点的坐标为，求关于的函数表达式；
（3）填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象．


0
2
4
6
8



____
_____
_____
_____
_____


23．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果．如果用x作为这条路线长度的近似值，当x取什么值时，最小？x所取的这个值是哪个常用的统计量？
24．创建文明城市，让老百姓住得更舒心，某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影部分为四个全等的矩形绿化区，剩余区域为活动区，且四周的出口宽度相同（其宽度不小于14m），设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．

（1）请用含x的代数式表示矩形绿化区另一边长，并求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求绿化区较长边x的取值范围．
25．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

求抛物线的函数解析式；
抛物线的对称轴与轴交于点．点与点关于点对称，试问在该抛物线上是否存在点．使与全全等﹖若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
1．C
【详解】
解：∵，
则当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜2≤x≤5，x=2时，y取得最大值-3，
可得：，
解得：0或4（舍）；
②若2≤x≤5＜h，当x=5时，y取得最大值-3，
可得：，
解得：7或3（舍）；
③当2≤h≤5时，最大值为1，不符合题意，
综上，h的值为7或0，
2．A
【详解】
解：向上、向右平移2个单位，那么平移后抛物线的解析式是，
3．B
【详解】
解：∵正△ABC的边长为1，t为任意的实数，
∴
＝1＋t2＋2t×1×1×cos60°＝t2＋t＋1，
当t＝−时，t2＋t＋1取到最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
4．B
【详解】
当时，，故①正确；
由题意得：，故②正确；
日销售利润为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知：，
即，
∵，
∴当时，，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
5．B
【详解】
解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（4，c），
∴c＝16+4b+c，
∴b＝-4．
∴，
∵最小值是﹣6
∴-4+c=-6
∴c=-2
6．C
【详解】
解：A、根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
B、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0,
∴3a+3=0，
∵抛物线开口向下，则a<0，
∴0＞a>-，故B正确；
C、点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，

连接BA´与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，
∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，
∴AB=，BA´=，
即△PAB周长的最小值为+，故C错误；
D、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确．
7．B
【详解】
解：取AB的中点D，连接CD，

当P在AD之间运动时，AC=BC，则∠A=45°，
∴AP=QP=x，
∴y=PQ·AP=x2
是开口向上的抛物线，排除A，C，选项，
当P在DB间运动时，
此时，AP=x，BP=PQ=2-x，
∴y=
是开口向下的抛物线，
∴综上：B选项符合，
8．C
【详解】
解：当时，有，
解得：，，
∴.
∵，
∴，
∴平移后新抛物线的解析式为.
9．B
【详解】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．
10．C
【详解】
解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，
∴a>0
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的右侧，
∴
∴
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交y轴的负半轴，
∴
∴，故①正确，符合题意；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，
∴，即，故②错误，不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，m），与x轴的一个交点为A（-1，0）
∴对称轴为x=1
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
∴当x=3时，y=，
∴ac =0，故③错误，不符合题意；
④当x=-1时，y=a-b+c=0，则c=-a+b，
由-4≤c≤-3，得-4≤-a+b≤-3，
图象的对称轴为x=1，故b=-2a，得-4≤-3a≤-3，
故1≤a≤正确，符合题意；
⑤y=ax2+bx+c的顶点为（1，m），即当x=1时y有最小值m．
而y=m-2和y=ax2+bx+c无交点，即方程ax2+bx+c=m-2无解，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2-m=0没有实数根，故⑤正确，符合题意．
11．
【详解】
解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x-3）2-1，
则，
∴（x-3）2-1=2x+b，
整理得，x2-8x+8-b=0，
∴△=（-8）2-4×1×（8-b）≥0，
解得，b≥-8，
12．．
【详解】
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，
解得 x＝-1或x＝3
故设P（x，y），
设P（x，x2﹣2x-3）（0 ∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长C＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为：．
13．y1＜y3＜y2
【详解】
解：∵y＝-mx2+4mx+m2+1（m＞0）
∴-m<0，
∴该函数图像开口方向向下，对称轴为x=
∵|-1-2|=3，|1-2|=1，|-2|=，
∴3＞＞1
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
14．2 2
【详解】
解：∵点P（1，m）在C1上，
∴m＝﹣1×（1﹣3）＝2，
令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C13在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移6×6＝36个单位得到，
∴抛物线C13的解析式为y＝﹣（x﹣36）（x﹣36﹣3）＝﹣（x﹣36）（x﹣39），
∵P（37，m）在第13段抛物线C13上，
∴m＝﹣（37﹣36）（37﹣39）＝2．
故答案为：2，2．
15．
【详解】
解：二次函数可化为，因为二次项系数为1，大于零，所以函数图像开口向上，所以最低点为顶点，横坐标为，故答案为．
16．①④
【详解】
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故①正确；
②△ABC的面积=AB•yC=AB×4=4，解得：AB=2，
∵函数的对称轴为直线x＝1，
∴点A（0，0），点B（2，0），
即c=0与图象不符，故②错误；
③函数的对称轴为x＝1，若x1＋x2＞2，则(x1＋x2)＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2＋bx＋c＋1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），
故方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为﹣1，3，故④正确；
故答案为：①④．
17．．
【详解】
解:抛物线的平移变换规律为“上加下减，左加右减”，
将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到，
故答案为：．
18．①②④
【详解】
解：由抛物线对称轴为直线x=-＝1，从而b=-2a，则2a+b=0故①正确；
直线y2=mx+n过点A，把A(1，3)代入得m+n=3，故②正确；
由抛物线对称性，与x轴的一个交点B(4，0)，则另一个交点坐标为(-2，0)，故③错误；
方程ax2+bx+c=3从函数角度可以看做是y=ax2+bx+c与直线y=3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为(1，3)，则抛物线与直线有且只有一个交点
故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，因而④正确；
由图象可知，当1≤x≤4时，有y2≤y1 故当x=1或4时y2=y1 故⑤错误．
故答案为：①②④．
19．
【详解】
根据题意可知：顶点B的坐标为(6，6)，
∴设抛物线解析式为y=a（x-6）2+6，将点O（0,0）代入，
36a+6=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
20．3
【详解】
解：把xA=-1代入y=x2-2x+c得，y=1+2+c=3+c，
∴A（-1，3+c），
∵抛物线y=x2-2x+c与直线y=m相交于A，B两点，
∴B的纵坐标为3+c，
把y=3+c代入y=x2-2x+c得，3+c=x2-2x+c，
解得x=-1或x=3，
∴点B的横坐标xB的值为3，
故答案为3．
21．（1），；（2）的值为或
【详解】
解：（1）由题意，得，
当时，．
解得，．
该二次函数的图象与轴的交点坐标为，．
（2）抛物线的对称轴为．
若抛物线与轴只有一个交点，则交点为．
有，解得；
若抛物线与轴有两个交点，
当，时，，解得；
当，时，，解得；
综上所述，的值为或．
22．（1）CF=5；（2）；（3）5，2，1，2，5；画图见解析．
【详解】
解：（1）当运动点时，CF=CO=5或由得,
（2）由题意：
整理得，
函数解析式为
（3）当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
故表中填的数为5，2，1，2，5．
函数图象如下图所示：

23．x所取的值为统计中的平均数．
【详解】
令y＝(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2，则y＝nx2－2(x1＋x2＋x3＋…＋xn)x＋(＋＋…＋)，
∵n＞0，
∴y有最小值，此时x＝＝，
∴当x取x1，x2，x3，…，xn的平均数时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2有最小值．
即：x所取的值为统计中的平均数．
24．（1）y＝﹣4x2+40x+1500；（2）绿化区较长边x的取值范围为15≤x≤18．
【详解】
（1）根据题意得：
绿化区的另一边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10，
∴y＝50×30﹣4x（x﹣10）＝﹣4x2+40x+1500；
（2）设投资费用为w元，由题意得，
w＝50（﹣4x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）
＝﹣40x2+400x+75000
＝﹣40（x﹣5）2+76000，
当w＝72000时，
解得x1＝﹣5（舍去），x2＝15，
∵a＝﹣40＜0，
∴当x≥15时，w≤72000，
又∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，
∴x≤18，
∴15≤x≤18．
答：绿化区较长边x的取值范围为15≤x≤18．
25．（1）；（2）存在，点的坐标为或
【详解】
解：（1）将点坐标代入函数解析式得，
将点的坐标代入，得 ，解得：，
故抛物线的解析式为；
（2）∵点与点关于点对称，
∴，
则在轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，
如图，当点在对称轴右侧时，要使与全等

则点于点关于轴的对称点，
即点，
当点 时， ，
∴点在抛物线上，
当点在对称轴左侧时，
点也满足与全等，
即点，
综上所述，点的坐标为或．