北师大版数学九年级上册期中复习试卷04（含答案）

这是一份北师大版数学九年级上册期中复习试卷04（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题(等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( )
A.3,-4,-2B.3,2,-4
C.3,-2,-4D.2,-2,0
【解析】选B.方程3x2-4=-2x可变形为3x2+2x-4=0,二次项系数是3、一次项系数是2、常数项是-4.
【易错提醒】确定一元二次方程各项的系数时,要先把一元二次方程化为一般形式,本题易出现选A或C的错误.
2.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2.则花边的宽是 ( )
A.2mB.1m
【解析】选B.设花边的宽为x,则地毯的长为(8-2x)m,宽为(5-2x)m,根据题意列方程得(8-2x)(5-2x)=18,
解得x1=1,x2=5.5(不符合题意,舍去).
所以,花边的宽为1m.
3.小明在一个装有红色和白色球各一个的口袋中摸出一个球,然后放回搅匀再摸出一个球,反复多次试验后,发现某种“状况”出现的机会约为50%,则这种状况可能是 ( )
A.两次摸到红色球
B.两次摸到白色球
C.两次摸到不同颜色的球
D.先摸到红色球,后摸到白色球
【解析】选C.因为反复多次试验后,发现某种“状况”出现的机会约为50%,就是指某种“状况”的概率是50%,现在看试验有几种可能的结果,哪种结果的概率是50%;试验结果有4种:两次摸到红色球、两次摸到白色球、先摸到红色球,后摸到白色球、先摸到白色球,后摸到红色球,每种结果的概率都是0.25,概率是50%结果就是把“先摸到红色球,后摸到白色球、先摸到白色球,后摸到红色球”合在一起“两次摸到不同颜色的球”,所以选C.
4.如图,已知在▱ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB延长线于G.若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是 ( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∵AG∥BD,
∴四边形AGBD是平行四边形.
∵四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE.
∵AE=BE,
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形.
【知识归纳】判定矩形的两种思路
(1)直接说明这个四边形有三个角是直角.
(2)先判定它是平行四边形,再说明它的一个角是直角或对角线相等.
5.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2= ( )
A.90°B.100°
C.130°D.180°
【解析】选B.如图,∠BAC=180°-90°-∠1=90°-∠1,
∠ABC=180°-60°-∠3=120°-∠3,
∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,
在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴90°-∠1+120°-∠3+120°-∠2=180°,∴∠1+∠2=150°-∠3,
∵∠3=50°,∴∠1+∠2=150°-50°=100°.
6.一元二次方程2x2-5x+1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
【解析】选A.∵a=2,b=-5,c=1,
∴Δ= b2-4ac=(-5)2-4×2×1=17>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
7.如图,将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD,BD,则下列结论:
①AD=BC;②BD,AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是 ( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】选D.∵△DCE是由△ABC平移得到的,
∴AB∥CD,AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC,BD,AC互相平分,即①②正确.同理四边形ACED是平行四边形,又∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=CE,
∴平行四边形ACED是菱形,即③正确.
8.关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根,则整数a的最大值是 ( )
A.2B.1C.0D.-1
【解析】选C.根据题意得:Δ=(-2)2-4×(a-1)×3≥0,解得a≤ QUOTE \* MERGEFORMAT ,而a-1≠0,得出整数a的最大值为0.
9.如图,点E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,若四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD的边需满足的条件是 ( )
A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC
【解题指南】本题涉及的三个知识点
(1)三角形的中位线定理.
(2)平行四边形的判定.
(3)菱形的判定.
【解析】选D.需满足的条件是AB=CD.
∵E,F是AD,DB的中点,
∴EF∥AB,EF= QUOTE \* MERGEFORMAT AB,
∵H,G是AC,BC中点,
∴HG∥AB,HG= QUOTE \* MERGEFORMAT AB,
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵E,H是AD,AC中点,
∴EH= QUOTE \* MERGEFORMAT CD,
∵AB=CD,
∴EF=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
10.如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE = DF,②∠DAF =15°,③AC垂直平分EF,④BE + DF = EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有 ( )
A.2个B.3个
C.4个D.5个
【解析】选C.∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,∠BAE=∠DAF=15°,故①②正确.
∵BC=CD,
∴BC-BE=CD-DF,即CE=CF,
∵AE=AF,
∴AC垂直平分EF,故③正确.
设EC=x,由勾股定理,得
EF= QUOTE \* MERGEFORMAT x,CG= QUOTE \* MERGEFORMAT x,AG= QUOTE \* MERGEFORMAT x,
∴AC= QUOTE \* MERGEFORMAT ,∴AB= QUOTE \* MERGEFORMAT ,
∴BE= QUOTE \* MERGEFORMAT -x= QUOTE \* MERGEFORMAT ,
∴BE+DF= QUOTE \* MERGEFORMAT x-x≠ QUOTE \* MERGEFORMAT x,故④错误.
∵S△CEF= QUOTE \* MERGEFORMAT ,S△ABE= QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT ,
∴2S△ABE= QUOTE \* MERGEFORMAT =S△CEF,故⑤正确.
综上所述,正确的有4个,故选C.
二、填空题
11.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2,根据这个规则,则方程(x-2)*1=0的解为 .
【解析】∵a*b=a2-b2,∴(x-2)*1=(x-2)2-12,解方程(x-2)2-12=0,
(x-2+1)(x-2-1)=0,∴x1=1,x2=3.答案:x1=1,x2=3
【易错提醒】利用新规则解决问题时,应注意:
(1)充分理解新规则所表达的含义及新运算.
(2)把新规则正确地转化成传统的运算形式.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为 .
【解析】∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴D为BC的中点,
∵点E是AC中点,∴AB=2DE=10.
答案:10
13.如图,矩形ABCD中,E是BC的中点,矩形ABCD的周长是44cm,AE=10cm,则AB长为 cm.
【解析】∵矩形ABCD的周长是44cm,∴2AB+2BC=44cm.
∴BC=22-AB.∵E是BC的中点,
∴BE= QUOTE \* MERGEFORMAT BC=11- QUOTE \* MERGEFORMAT AB.
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2.
∴AB2+ QUOTE \* MERGEFORMAT =102,
AB2+121-11AB+ QUOTE \* MERGEFORMAT AB2=102.解得AB= QUOTE \* MERGEFORMAT 或6.
答案: QUOTE \* MERGEFORMAT 或6
14.在□x2□2x□1的空格中,任意填上“+”,“-”,共有 种不同的代数式,其中能构成完全平方式的有 种.
【解析】因为在□x2□2x□1的空格中,任意填上“+”,“-”,共有8种不同的代数式:
x2±2x+1,x2±2x-1,-x2±2x+1或-x2±2x-1;其中有4种可以构成完全平方式.
答案:8 4
15.若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根,则k的非负整数值是 .
【解析】∵Δ=b2-4ac=16-12k,且一元二次方程有实数根,∴k≠0,且16-12k≥0,
解得k≤ QUOTE \* MERGEFORMAT ,且k≠0,故这样的非负整数只有1.
答案:1
【变式训练】若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
【解析】因为关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根,所以16-4a>0,解得a<4.
答案:a<4
16.对于实数a,b,定义运算“*”:a*b= QUOTE \* MERGEFORMAT 例如:4*2,因为4>2,所以4*2=42-4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1*x2= .
【解析】因为x2-5x+6=0的两个根为x1=2,x2=3或x1=3,x2=2.当x1=2,x2=3时,x1*x2=2×3-32=-3;当x1=3,x2=2时,x1*x2=32-2×3=3.
答案:-3或3
17.如图,正方形AFCE中,D是边CE上一点,B是CF延长线上一点,且AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 cm.
【解析】∵四边形AFCE是正方形,
∴AF=AE,∠E=∠AFC=∠AFB=90°,
∵在Rt△AED和Rt△AFB中
∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL),∴S△AED=S△AFB.
∵四边形ABCD的面积是24cm2,
∴正方形AFCE的面积是24cm2,
∴AE=EC= QUOTE \* MERGEFORMAT =2 QUOTE \* MERGEFORMAT (cm),根据勾股定理得:AC= QUOTE \* MERGEFORMAT =4 QUOTE \* MERGEFORMAT (cm).
答案:4 QUOTE \* MERGEFORMAT
18.如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°.连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连接AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 .
【解析】如图,在菱形ABCD中,取AC的中点M,连接BM,由菱形的性质可得BM⊥AC,且∠BAC=30°.在Rt△ABM中,AB=1,∴AM= QUOTE \* MERGEFORMAT ,∴AC= QUOTE \* MERGEFORMAT ;同理,在菱形ACEF中,可得到AN= QUOTE \* MERGEFORMAT × QUOTE \* MERGEFORMAT ,AE=3;可猜想得其一般规律为第二个菱形边长是第一个菱形边长的 QUOTE \* MERGEFORMAT 倍,第三个菱形边长是第二个菱形边长的 QUOTE \* MERGEFORMAT 倍,…因此第n个菱形的边长是( QUOTE \* MERGEFORMAT )n-1.
答案:( QUOTE \* MERGEFORMAT )n-1
三、解答题(
19.已知实数a满足a2+2a-15=0,求 QUOTE \* MERGEFORMAT - QUOTE \* MERGEFORMAT ÷ QUOTE \* MERGEFORMAT 的值.
【解析】 QUOTE \* MERGEFORMAT - QUOTE \* MERGEFORMAT ÷ QUOTE \* MERGEFORMAT
= QUOTE \* MERGEFORMAT - QUOTE \* MERGEFORMAT · QUOTE \* MERGEFORMAT
= QUOTE \* MERGEFORMAT - QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT .
∵a2+2a-15=0,∴a1=-5,a2=3.
当a=3时,原式= QUOTE \* MERGEFORMAT ;当a=-5时,原式= QUOTE \* MERGEFORMAT ,
∴原式的值为 QUOTE \* MERGEFORMAT .
【一题多解】 QUOTE \* MERGEFORMAT - QUOTE \* MERGEFORMAT ÷ QUOTE \* MERGEFORMAT
= QUOTE \* MERGEFORMAT - QUOTE \* MERGEFORMAT · QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT - QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT .
∵a2+2a-15=0,∴a2+2a+1=16,
∴ QUOTE \* MERGEFORMAT =16,
∴原式= QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT .
20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC,∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.
求证:四边形ABCD是菱形.
【证明】方法一:∵AB=AC,∠B=60°,
∴△ABC是正三角形,
∴∠FAC=120°,AB=AC=BC.
又AD平分∠FAC,∴∠DAC=60°.
同理可证:∠DCA=60°,
∴△ADC是正三角形,
∴AD=AC=DC,
∴AB=BC=AD=DC,
∴四边形ABCD是菱形.
方法二:∵AB=AC,∠B=60°,
∴△ABC是正三角形,
∴∠FAC=120°,AB=BC.
又AD平分∠FAC,
∴∠DAF=60°,
∴∠B=∠DAF,
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
同理可证:AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
21.(8分)已知如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于O,CE∥DB,交AB的延长线于E.
求证:AC=CE.
【证明】∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∴∠OAB=∠OBA.
∵CE∥DB,∴∠OBA=∠E.
∴∠OAB=∠E.∴AC=CE.
22.(8分)已知点E是正方形ABCD中边CD的中点,F是边AD上一点,连接FE并延长交BC延长线于点G,AB=6.
(1)求证:CG=DF.
(2)连接BF,若BF>GF,试求AF的范围.
【解析】(1)∵E是CD的中点,
∴DE=CE,
在正方形ABCD中,∠BCD=∠ECG=∠D=90°,
在△DEF和△CEG中,
∠ECG=∠D=90°,DE=CE,∠DEF=∠CEG,
∴△DEF≌△CEG(ASA),
∴CG=DF.
(2)过点F作FH⊥BC于H,
则四边形ABHF和四边形CDFH都是矩形,
∴DF=HC,AF=BH,∴GH=2DF,
设AF=x,则DF=6-x,GH=2(6-x),
∵BF>GF,∴AF>GH,∴x>2(6-x),
解得x>4,
又∵点F在AD上,∴x<6,
∴423.(8分)某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= QUOTE \* MERGEFORMAT t2+ QUOTE \* MERGEFORMAT t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
【解析】(1)当t =4时,l= QUOTE \* MERGEFORMAT ×42+ QUOTE \* MERGEFORMAT ×4=14(cm).
答:甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得: QUOTE \* MERGEFORMAT +4m=21,
解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: QUOTE \* MERGEFORMAT +4n=21×3,
解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
24.(9分)商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现,当每件商品售价为130元时,每天可销售70件,当每件商品售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此规律,请回答:
(1)当每件商品售价定为170元时,每天可销售多少件商品?商场获得的日盈利是多少?
(2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到1600元?
【解析】(1)当每件商品售价为170元时,比每件商品售价130元高出40元,则每天可销售商品30件,商场可获日盈利为(170-120)×30=1500(元).
答:每天可销售30件商品,商场获得的日盈利是1500元.
(2)设商场日盈利达到1600元时,每件商品售价为x元,则每件商品比130元高出(x-130)元,每件可盈利(x-120)元,每日销售商品为70-(x-130)=200-x(件),依题意得方程(200-x)(x-120)=1600,
整理,得x2-320x+25600=0,即(x-160)2=0,解得x=160.
答:每件商品售价为160元时,商场日盈利达到1600元.
25.(9分)甲、乙两队进行拔河比赛,裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势选择场地位置.规则是:石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头,手势相同再决胜负.请你运用所学知识说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平,为什么?(用树状图或列表法解答)
【解析】裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的.理由如下:
方法一:
用列表法表示所有可能的结果如表:
根据表格得,P(甲获胜)= QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT ,P(乙获胜)= QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT .
∵P(甲获胜)=P(乙获胜),∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.
方法二:用树状图得出所有可能的结果如下:
根据树状图,可得P(甲获胜)= QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT ,P(乙获胜)= QUOTE \* MERGEFORMAT = QUOTE \* MERGEFORMAT .
∵P(甲获胜)=P(乙获胜),
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的.
26.(10分)一张矩形纸片,剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第二次操作;…若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则称原矩形为n阶奇异矩形.如图1,矩形ABCD中,若AB=2,BC=6,则称矩形ABCD为2阶奇异矩形.
(1)判断与操作:
如图2,矩形ABCD长为5,宽为2,它是奇异矩形吗?如果是,请写出它是几阶奇异矩形,并在图中画出裁剪线;如果不是,请说明理由.
(2)探究与计算:
已知矩形ABCD的一边长为20,另一边长为a(a <20),且它是3阶奇异矩形,请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图,并在图的下方写出a的值.
(3)归纳与拓展:
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b,c(b < c),且它是4阶奇异矩形,求b︰c.
【解析】(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形,裁剪线的示意图如下:
(2)裁剪线的示意图如下:
(3)b∶c的值为 QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT ,
规律如下:第4次操作前短边与长边之比为: QUOTE \* MERGEFORMAT ;
第3次操作前短边与长边之比为: QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT ;
第2次操作前短边与长边之比为: QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT ; QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT ;
第1次操作前短边与长边之比为: QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT ; QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT ; QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT ; QUOTE \* MERGEFORMAT , QUOTE \* MERGEFORMAT .
乙
甲
石头
剪刀
布
石头
(石头,石头)
(石头,剪刀)
(石头,布)
剪刀
(剪刀,石头)
(剪刀,剪刀)
(剪刀,布)
布
(布,石头)
(布,剪刀)
(布,布)