2021年四川省南充市蓬安县中考数学适应性试卷（5月份）（Word版 含解析）

这是一份2021年四川省南充市蓬安县中考数学适应性试卷（5月份）（Word版 含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省南充市蓬安县中考数学适应性试卷（5月份）
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．卵细胞是人体中最大的细胞，直径约为0.0002米，直径用科学记数法表示为（　　）米．
A．0.2×10﹣3 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣4 D．2×10﹣3
3．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
4．下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．（m4）2＝m6
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．m3+m3＝2m3
5．下列几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区15户居民进行调查，下表是这15户居民2020年4月份用电量的调查结果：关于这15户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（　　）
居民（户）
5
3
3
4
月用电量（度/户）
30
42
50
51
A．平均数是43.25 B．众数是30
C．方差是82.4 D．中位数是42
7．函数y＝+中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2
8．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝，AD＝，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
10．对二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0），下列说法：
①对任意实数m，都有x1＝1﹣m与x2＝1+m对应的函数值相等；
②在0≤x≤3范围内，函数存在最大值m，最小值n，则m﹣n＝4a；
③设点A（4，y1），B（t，y2）均在函数的图象上，若y1＞y2，则t＜﹣2或t＞4；
④若函数的图象都位于x轴的上方，则方程ax2﹣bx+1＝总有两个不相等的实数根．
其中正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．①③ C．①② D．①③④
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算：|﹣2|﹣（2021﹣π）0﹣2cos60°＝　 　．
12．分解因式：2x2y﹣8y＝　 　．
13．从﹣4，0，1，3中随机选一个数，是3﹣2x＞1的解的概率为 　 　．
14．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝　 　．

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是　 　．

三、解答题（共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
18．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．

19．“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品　 　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为　 　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
20．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2+m＝2mx+1有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）已知x12+x22＝11，求实数m的值．
21．如图，设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）．
（1）若反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若反比例函数的图象与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A、B两点，如图，当△ABO的面积为12时，求直线l的解析式．

22．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，，求DE的长．

23．为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，销售单价y（元）与每天销售量x（千克）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价．
（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？

24．如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，求△PAB周长的最小值．

25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．



参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：B．
2．卵细胞是人体中最大的细胞，直径约为0.0002米，直径用科学记数法表示为（　　）米．
A．0.2×10﹣3 B．0.2×10﹣4 C．2×10﹣4 D．2×10﹣3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：直径约为0.0002米，用科学记数法表示为2×10﹣4米．
故选：C．
3．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，即可得到∠1＝45°﹣30°＝15°．
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．

4．下列运算正确的是（　　）
A．m2•m3＝m6 B．（m4）2＝m6
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．m3+m3＝2m3
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及合并同类项进行一一解答．
解：A、m2•m3＝m5，故不符合题意；
B、（m4）2＝m8，故不符合题意；
C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故不符合题意；
D、m3+m3＝2m3，故符合题意；
故选：D．
5．下列几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；
故选：C．
6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区15户居民进行调查，下表是这15户居民2020年4月份用电量的调查结果：关于这15户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（　　）
居民（户）
5
3
3
4
月用电量（度/户）
30
42
50
51
A．平均数是43.25 B．众数是30
C．方差是82.4 D．中位数是42
【分析】根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，方差，即可做出判断．
解：15户居民2015年4月份用电量为30，30，30，30，30，42，42，42，50，50，50，51，51，51，51，
平均数为×（30+30+30+30+30+42+42+42+50+50+50+51+51+51+51）＝42，
中位数为42；
众数为30，
方差为×[5×（30﹣42）2+3×（42﹣42）2+3×（50﹣42）2+4×（51﹣42）2]＝82.4．
故B、C、D正确．
故选：A．
7．函数y＝+中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x＜3且x≠2 C．x≤3且x≠2 D．x≠2
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
解：由题意，得
，
解得x≤3且x≠2，
故选：C．
8．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，则乙种污水处理器的污水处理效率为（x+20）吨/小时，根据甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，列出方程．
解：设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，则乙种污水处理器的污水处理效率为（x+20）吨/小时，
由题意得，＝．
故选：B．
9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝，AD＝，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△ABC的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题．
解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．

∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△ECA与△DCB中，
，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD＝，
∵∠EDC＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠CDB＝90°，
在Rt△ADB中，AB＝，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×2×2＝2，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM＝ON，
∵，
∴S△AOC＝2×，
故选：B．
10．对二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0），下列说法：
①对任意实数m，都有x1＝1﹣m与x2＝1+m对应的函数值相等；
②在0≤x≤3范围内，函数存在最大值m，最小值n，则m﹣n＝4a；
③设点A（4，y1），B（t，y2）均在函数的图象上，若y1＞y2，则t＜﹣2或t＞4；
④若函数的图象都位于x轴的上方，则方程ax2﹣bx+1＝总有两个不相等的实数根．
其中正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．①③ C．①② D．①③④
【分析】根据二次函数的解析式得出对称轴，由抛物线的性质即可判断①，分a＞0和a＜0讨论它的增减性，表示出在0≤x≤3范围内，表示出m和n的值即可判断②，由函数的增减性即可判断③，根据图象的位置可得出判别式的范围，即可判断④，
解：∵y＝ax2﹣2ax+b，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝，
∴对任意实数m，都有x1＝1﹣m与x2＝1+m对应的函数值相等，
∴①说法符合题意，
当0≤x≤3时，
若a＞0，则m＝9a﹣6a+b＝3a+b，n＝﹣a+b，
∴m﹣n＝4a，
若a＜0，则m＝﹣a+b，n＝3a+b，
∴m﹣n＝﹣4a，
∴②说法不合题意，
若a＞0，则当x＜1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x的增大而增大，
∴t＜﹣2或t＞4，
若a＜0，则当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小，
∴﹣2＜t＜4，
∴③说法不合题意，
若函数的图象都位于x轴的上方，则a＞0且Δ＜0，
∴（﹣2a）2﹣4ab＜0，
∴4a（a﹣b）＜0，
∴a﹣b＜0，
∵ax2﹣bx+1＝，
∴Δ＝＞0，
∴方程ax2﹣bx+1＝总有两个不相等的实数根，
∴④说法符合题意，
故选：A．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算：|﹣2|﹣（2021﹣π）0﹣2cos60°＝　﹣　．
【分析】先化简绝对值，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
解：原式＝2﹣﹣1﹣2×
＝2﹣﹣1﹣1
＝﹣，
故答案为：﹣．
12．分解因式：2x2y﹣8y＝　2y（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：2x2y﹣8y，
＝2y（x2﹣4），
＝2y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．
13．从﹣4，0，1，3中随机选一个数，是3﹣2x＞1的解的概率为 　　．
【分析】首先确定不等式的解集，然后利用概率公式计算即可．
解：解3﹣2x＞1得：x＜1，
所以满足不等式的数有﹣4和0两个，
所以从﹣4，0，1，3中随机选一个数，是3﹣2x＞1的解的概率为＝，
故答案为：．
14．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝　16　．

【分析】由图可知：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．
解：第一个图形有：5个○，
第二个图形有：2×1+5＝7个○，
第三个图形有：3×2+5＝11个○，
第四个图形有：4×3+5＝17个○，
由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，
则可得方程：[n（n﹣1）+5]＝245
解得：n1＝16，n2＝﹣15（舍去）．
故答案为：16．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为　　．

【分析】先根据折叠的性质得DE＝EF，CE＝EF，AF＝AD＝2，BF＝CB＝3，则DC＝2EF，AB＝5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B＝90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH＝DC＝2EF，HB＝BC﹣CH＝BC﹣AD＝1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH＝2，所以EF＝．
【解答】解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，
∴DE＝EF，CE＝EF，AF＝AD＝2，BF＝CB＝3，
∴DC＝2EF，AB＝5，
作AH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠C＝90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AH＝DC＝2EF，HB＝BC﹣CH＝BC﹣AD＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝2，
∴EF＝．
故答案为：．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是　　．

【分析】连接AG，根据旋转变换的性质得到，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG，根据勾股定理求出CG、AD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
解：连接AG，
由旋转变换的性质可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE，
由勾股定理得，CG＝＝4，
∴DG＝DC﹣CG＝1，
则AG＝＝，
∵＝，∠ABG＝∠CBE，
∴△ABG∽△CBE，
∴＝＝，
解得，CE＝，
故答案为：．

三、解答题（共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
18．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD．求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）由AS证明△AED≌△CFD即可；
（2）由全等三角形的性质得AD＝CD，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）由（1）知，△AED≌△CFD，
∴AD＝CD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
19．“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品　24　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为　150°　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
【分析】（1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用A班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出B班的作品数后补全条形统计图；
（2）用360°乘以C班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示C班的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，
4÷＝24，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24﹣4﹣10﹣4＝6（件），
条形统计图为：

（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角＝360°×＝150°；
故答案为抽样调查；24；150°；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝＝．
20．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2+m＝2mx+1有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）已知x12+x22＝11，求实数m的值．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到△＝（1﹣2m）2﹣4（m2+m﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2nm﹣1，x1x2＝m2+m﹣1，再利用完全平方公式得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝11，即（2m﹣1）2﹣2（m2+m﹣1）＝11，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定条件的m的值．
解：（1）∵x2+x+m2+m＝2mx+1，
∴x2+（1﹣2m）x+m2+m﹣1＝0，
根据题意得△＝（1﹣2m）2﹣4（m2+m﹣1）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2＝2nm﹣1，x1x2＝m2+m﹣1，
∵x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝11，
即（2m﹣1）2﹣2（m2+m﹣1）＝11，
∴整理得m2﹣3m﹣4＝0，
∴解得m1＝﹣1，m2＝4，
∵m≤，
∴m的值为﹣1．
21．如图，设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）．
（1）若反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若反比例函数的图象与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A、B两点，如图，当△ABO的面积为12时，求直线l的解析式．

【分析】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；
（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，可得y＝kx+2k，由消去y得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为12，可得•2•3k+•2•k＝12，解方程即可解决问题．
解：（1）∵反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝2x求得x＝1，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入y＝（k＞0），得到3k＝2，
∴k＝；
（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，
∴y＝kx+2k，
由消去y得到x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或1，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为12，
∴•2•3k+•2•k＝12，
解得k＝3，
∴直线l的解析式为y＝3x+6．
22．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，，求DE的长．

【分析】（1）连接OD．欲证ED与⊙O相切，只需证明OD⊥DE；
（2）通过相似三角形△ADC∽△CDB的对应边成比例知＝，由此可以求得线段BC的长度，根据直角三角形斜边中线的性质即可求得．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵BC是⊙O⊙的切线，AC是直径，
，∴∠ACB＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
又∵EB＝EC
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE＝CE＝BC．
∴∠DCE＝∠CDE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝90°
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵，
∴设AD＝x，CD＝2x，
∵AC＝5，AD2+DC2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝52，
∴x＝，
即AD＝，CD＝2，
在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵△ADC∽△CDB，
∴＝，
即＝，
∴BC＝10．
∴DE＝BC＝5．

23．为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，销售单价y（元）与每天销售量x（千克）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价．
（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？

【分析】（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当x＞20时，设y＝kx+b，由待定系数法求得函数解析式；
（2）设所获利润为w（元），分两种情况：①当0＜x≤20且x为整数时，②当20＜x≤64且x为整数时，分别得出w的表达式，并分别得出w的最大值，然后两者比较即可得出答案．
解：（1）当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；
当x＞20时，设y＝kx+b，代入（20，40）和（50，25）得：
，解得．
∴y＝﹣x+50．
当y＝18时，代入y＝﹣x+50，得x＝64．
∴20＜x≤64且x为整数．
综上所述，y与x之间所满足的函数关系式为y＝；
（2）设所获利润为w（元），当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，
∴w＝（40﹣18）x＝22x．
∵22＞0，
∴w随着x的增大而增大，则当x＝20时，w有最大值，最大值为440；
当20＜x≤64且x为整数时，y＝﹣x+50，
∴w＝（﹣x+50﹣18）x＝﹣x2+32x＝﹣（x﹣32）2+512，
∵﹣＜0，
∴当x＝32时，w最大，最大值为512元．
∵512＞440，
∴当x＝32时，获利最大，最大利润是512元．
24．如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．
（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，求△PAB周长的最小值．

【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝AB，∠EAF＝∠ABG＝90°，证出，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的性质得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE＝90°即可；
（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；
（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN＝AB＝4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA＝PB，PM＝MN＝2，连接EG，则EG∥AB，EG＝AB＝4，证明△AOF∽△GOE，得出＝，证出＝，得出AM＝AE＝，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠EAF＝∠ABG＝90°，
∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF＝AB．
∴＝，＝，
∴，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF＝∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO＝90°，
∴∠AEF+∠EAO＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴EF⊥AG；

（2）解：成立；理由如下：
根据题意得：＝，
∵＝，
∴，
又∵∠EAF＝∠ABG，
∴△AEF∽△BAG，
∴∠AEF＝∠BAG，
∵∠BAG+∠EAO＝90°，
∴∠AEF+∠EAO＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴EF⊥AG；

（3）解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：
则MN⊥AD，MN＝AB＝4，
∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB，
作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，与MN交于点P，此时△PAB的周长最小，
∵PA＝PA′，
∴∠PAA′＝∠PA′A，
∵∠PAB+∠PAA′＝90°，∠PBA+∠PA′A＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴PB＝PA＝PA′，
∵PM∥AB，
∴A′M＝AM，
∴PM＝AB，
∵MN＝AB，
∴PM＝PN＝2，
连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG＝AB＝4，
∴△AOF∽△GOE，
∴＝，
∵MN∥AB，
∴＝，
∴AM＝AE＝×2＝，
由勾股定理得：PA＝＝，
∴△PAB周长的最小值＝2PA+AB＝+4．


25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．

【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；
（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2，即y＝．
令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面积为5，
∴S△ABD＝＝5，
∴yD＝，代入抛物线解析式得，，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴D（4，），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝．
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（m，），则M（m，），

∴EM＝﹣＝﹣m+2，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝×EM•1＝＝﹣，
＝﹣．
∴当m＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，

∵E（），OA＝1，
∴AG＝1+＝，EG＝，
∴，
∵∠AGE＝∠AHP＝90°
∴sin∠EAG＝，
∴PH＝AP，
∵E、F关于x轴对称，
∴PE＝PF，
∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，
∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，
∴sin∠AEG＝sin∠HEF＝＝，
∴FH＝＝3．
∴PE+PA的最小值是3．