人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（二）

这是一份人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（二），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（二）

一、单选题
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（   ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2+ =0 C．3x2+2xy=1 D．x2=6
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．下列命题中的真命题是（ ）
A．全等的两个图形是中心对称图形 B．轴对称图形都是中心对称图形
C．中心对称图形都是轴对称图形 D．关于中心对称的两个图形全等
4．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（   ）
A．7 B．5 C． D．5或
6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法①a>0；②b>0；③c<0；④b2-4ac>0，正确的个数是(     )

A．1 B．2 C．3 D．4
7．方程（2x+3）（x﹣1）=1的解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．有一个实数根
8．若A(－3.5，y1)、B(－1，y2)、C(1，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1 9．在同一个直角坐标系中，一次函数y=ax+c，与二次函数y=ax2+bx+c图像大致为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是(　　)

A．3 B．2 C．3 D．3

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题
11．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是________
12．已知点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，则a=____，b=____．
13．使分式 的值等于零的x是___________．
14．已知y=（x+1）2﹣2，图象的顶点坐标为___，当x___时，函数值随x的增大而减小．
15．抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________．
16．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是 ．



三、解答题
17．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x

﹣1

0

1

3

y

﹣1

3

5

3

下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是 ．
18．解方程:(1)﹣x2+4x﹣5=0；
(2)3x(2x+1)=4x+2
19．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）
（1）请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1
（2）请在图中作出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2．

20．已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．
21．向阳村2014年的人均收入为1200元，2016年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率．
22．如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．


23．若α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，求的值．
24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
25．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）线段OA1的长是 ，∠AOB1的度数是 ；
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）求点B旋转到点B1的位置所经过的路线的长．


26．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
（2）若想获得最大利润，每件衬衫应降价多少元？最大利润为多少元？
27．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值；
（3）若抛物线上有一动点Q，使的面积为6，求点Q的坐标．

参考答案
1．D
【详解】
试题分析：根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．A、a=0时，是一元一次方程，故A错误；B、是分式方程，故B错误；C、是二元二次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；
故选D．
【考点】一元二次方程的定义．
2．D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.
3．D
【分析】
根据中心对称及轴对称的性质解答即可．
【详解】
选项A，成中心对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定是中心对称图形，选项A错误；
选项 B.，∵正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴轴对称图形都是中心对称图形错误；
选项C，∵平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，∴中心对称图形都是轴对称图形错误；
选项D.，关于中心对称的两个图形全等，正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了中心对称及轴对称的性质，熟知中心对称及轴对称的性质是解决问题的关键.
4．A
【分析】
根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
【详解】
将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，可得y=3（x-2）2-4．
故选A.．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移变化规律，熟知抛物线的平移变化规律“左加右减，上加下减”是解决问题的关键．
5．D
【解析】
试题分析：求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边．x2﹣7x+12=0，（x﹣3）（x﹣4）=0，
x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1=3，x2=4，即直角三角形的两边是3和4，
当3和4是两直角边时，第三边是=5；当4是斜边，3是直角边时，第三边是=，
即第三边是5或，故选D．
【考点】勾股定理；解一元二次方程-因式分解法．
6．B
【解析】
试题分析：根据抛物线开口方向对①进行判断；根据抛物线的对称轴位置对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系．
7．A．
【解析】
试题分析：将方程左边展开，化为一元二次方程的一般形式，求出根的判别式做出判断．方程（2x+3）（x﹣1）=1可化为2x2+x﹣4=0，∵△=1﹣4×2×（﹣4）=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【考点】根的判别式．
8．C
【详解】
解：∵y=-x2-4x+5=-（x+2）2+9，
∴对称轴是x=-2，开口向下，
距离对称轴越近，函数值越大，
比较可知，B（-1，y2）离对称轴最近，C（1，y3）离对称轴最远，
即y3＜y1＜y2．
故选：C．
9．D
【分析】
先分析一次函数，得到a、c的取值范围后，对照二次函数的相关性质是否一致，可得答案．
【详解】
解：依次分析选项可得：
A、分析一次函数y=ax+c可得，a＞0，c＞0，二次函数y=ax2+bx+c开口应向上；与图不符．
B、分析一次函数y=ax+c可得，a＜0，c＞0，二次函数y=ax2+bx+c开口应向下，在y轴上与一次函数交于同一点；与图不符．
C、分析一次函数y=ax+c可得，a＜0，c＜0，二次函数y=ax2+bx+c开口应向下；与图不符．
D、一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+bx+c常数项相同，在y轴上应交于同一点；分析一次函数y=ax+c可得a＜0，二次函数y=ax2+bx+c开口向下；符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的系数与图象的关系，有一定难度，注意分析简单的函数，得到信息后对照复杂的函数．
10．C
【详解】
如图，

过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E,∵∠ADC=∠ABC=90°,∴四边形DPBE是矩形,∵∠CDE+∠CDP=90°,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠CDP=90°,∴∠ADP=∠CDE,∵DP⊥AB,∴∠APD=90°,∴∠APD=∠E=90°,在△ADP和△CDE中,
,
∴△ADP≌△CDE（AAS）,∴DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18,∴矩形DPBE是正方形,∴DP=故答案为:.
11．x≥﹣1
【分析】
根据二次根式的被开方数大于等于0，列式进行计算．
【详解】
由题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为x≥﹣1．
12．-5 -1
【详解】
试题分析：点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，可知，两点的横纵坐标均互为相反数．
所以有a=﹣5，b=﹣1．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
13．6．
【解析】
试题解析：分式 的值等于

解得：
故答案为
点睛：分式值为零：分子等于零，分母不为零.
14．（﹣1，﹣2） ＜﹣1
【解析】
试题分析：∵y=（x+1）2﹣2，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），对称轴为x=﹣1，且开口向上，
∴当x＜﹣1时，函数值随x的增大而减小，
故答案为（﹣1，﹣2）；＜﹣1．
【考点】二次函数的性质．
15．k≥-且k≠0
【解析】
试题分析：∵二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为k≥﹣且k≠0．
【考点】抛物线与x轴的交点．
16．60°．
【解析】
试题分析：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，
∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°，
∠ACO=∠A=（180°﹣∠AOC）=（180°﹣40°）=70°，
由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°．
故答案为：60°．
【考点】旋转的性质．
17．①③④．
【详解】
试题分析：∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，∴，
解得，∴y=﹣x2+3x+3，∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；
对称轴为直线，所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
方程为﹣x2+2x+3=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，
所以，3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；
﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为①③④．
【考点】二次函数的性质．
18．（1）方程没有实数解（2）x1=﹣，x2=
【详解】
试题分析：（1）通过计算判别式的值可确定方程没有实数解；
（2）先把方程变形为3x（2x+1）﹣2（2x+1）=0，然后利用因式分解法解方程．
试题解析：（1）x2﹣4x+5=0，△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，
所以方程没有实数解；
（2）3x（2x+1）﹣2（2x+1）=0，（2x+1）（3x﹣2）=0，
2x+1=0或3x﹣2=0，所以x1=﹣，x2=．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

20．二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．
【解析】
试题分析：设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，再将点（1，﹣6）代入求出a的值，从而得解．
试题解析：∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），
∴设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a（1+1）2+2=﹣6，
解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
21．该村人均收入的年平均增长率为10%．
【解析】
试题分析：设该村人均收入的年平均增长率为x，2012年的人均收入×（1+平均增长率）2=2014年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．
试题解析：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：
1200（1+x）2=1452，
解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．
答：该村人均收入的年平均增长率为10%．
【考点】一元二次方程的应用．
22．（1）点C的坐标为（0，4）．（2）当x=1时，y有最大值y=﹣++4=．
【解析】
试题分析：（1）首先求得AB，得出OC，求得点C的坐标；
（2）利用待定系数法求的函数解析式，进一步利用顶点坐标公式求得最值即可．
试题解析：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AO=1，OB=3，即AB=AO+OB=1+3=4．
∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）．
（2）设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、C、B三点的坐标分别代入上式，
得，解得a=﹣，b=x，c=4，
∴所求的二次函数解析式为y=﹣x2+x+4．
∵点A、B的坐标分别为点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴线段AB的中点坐标为（1，0），即抛物线的对称轴为直线x=1．∵a=﹣＜0，
∴当x=1时，y有最大值y=﹣++4=．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．
23．．
【解析】
试题分析：根据根与系数的关系可得出α+β=2、α•β=﹣3，将代数式通分可得出，再代入数据即可得出结论．
试题解析：∵α、β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，
∴α+β=2，α•β=﹣3，
∴===．
【考点】根与系数的关系．
24．△ABC是直角三角形．理由见试题解析
【详解】
试题分析：根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
试题解析：△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【考点】根的判别式．
25．（1）135°．（2）证明见解析（3）3π

【解析】
试题分析：（1）图形在旋转过程中，边长和角的度数不变；
（2）可证明OA∥A1B1且相等，即可证明四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）利用弧长公式求得点B划过的弧长即可．
试题解析：（1）因为，∠OAB=90°，OA=AB，
所以，△OAB为等腰直角三角形，即∠AOB=45°，
根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即OA1=OA=6，
对应角∠A1OB1=∠AOB=45°，旋转角∠AOA1=90°，
所以，∠AOB1的度数是90°+45°=135°．
（2）∵∠AOA1=∠OA1B1=90°，∴OA∥A1B1，又OA=AB=A1B1，
∴四边形OAA1B1是平行四边形．
（3）L==3π
【考点】旋转的性质；平行四边形的判定；弧长的计算．
26．（1）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元；
（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．
【解析】
试题分析：（1）设每件衬衫应降价x元，根据每件的利润×销售量=平均每天的盈利，列方程求解即可；
（2）根据：总利润=单件利润×销售量列出函数关系式，配方成二次函数顶点式可得函数最值情况．
试题解析：（1）设每件衬衫应降价x元，
则依题意，得：（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得，﹣2x2+60x+800=1200，
解得：x1=10，x2=20，
答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价10元或20元；
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x）+800=﹣2（x﹣15）2+1250
∵﹣2（x﹣15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，此时y=1250元，
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
27．（1）；（2）；（3）点Q的坐标为或或或
【分析】
（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；
（2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接AC，点P即为AC与对称轴的交点，PA+PD的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；
（3）求得B点坐标，设点，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点Q的坐标即可求得．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点，∴解得
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线．
∵，∴C，D关于抛物线的对称轴对称，连接，可知，当点P为直线与对称轴的交点时，取得最小值，
∴最小值为．
（3）设点，
令，
得或1，
∴点B的坐标为，
∴．∵，
∴，
∴或，
解得：或或0或，
∴点Q的坐标为或或或．
【点睛】
本题考察了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答