人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（九）

这是一份人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（九），共22页。试卷主要包含了单选题，四象限，则k的取值可以是，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（九）
一、单选题
1．下列函数：①y＝2x，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝．其中，是反比例函数的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，点是线段的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ）

A． B． C． D．
3．若，则等于（　　）
A．2：5 B．4：25 C．5：2 D．25：4
4．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不是
5．已知是锐角，则的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（1，1） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．图象的两个分支关于x轴成轴对称 D．图象的两个分支分布在第二、四象限
7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
8．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）

A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
9．如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（　　）

A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（，﹣1） D．（﹣1，）
10．关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　 　)
A． B．
C． D．
11．反比例函数y＝与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（　　）

A． B．2 C．3 D．1
12．若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝﹣1或m＝1 D．m＝﹣2或m＝2

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题
13．若反比例函数y＝的图象经过点(－1，2)，则k的值是________．
14．（1）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝_____；
（2）已知α为锐角，且cos（90°﹣α）＝，则a＝_____；
（3）若tan（α+10°）＝1，则锐角a＝_____．
15．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为_______.
16．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米．

17．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y= （k＞0）的图象上，那么y1 ， y2 ， y3的大小关系是________（请用“＜”表示出来）
18．在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是______．

三、解答题
19．计算
（1）
（2）．
20．如图，O是CD的中点．以O为位似中心，用直尺和圆规作四边形ABCD的一个位似图形，使四边形ABCD的边长放大到原来的2倍．（保留作图痕迹，不必写出作法）

21．以点O为位似中心，作出四边形ABCD的位似图形，使得所作图形与原图形的位似比为2：1．

22．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
（1）已知a＝6，b＝2，解这个直角三角形
（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形
（3）已知sinA＝，c＝6，解这个直角三角形．
23．如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B′(6,2).

(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A(,3),则A′的坐标为______；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为______；
(2)若△ABC的面积为m,求△A′B′C′的面积.(用含m的代数式表示)
24．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长．

25．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与周长．

26．如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出y2＞y1时自变量x的取值范围．
27．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

28．如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值.


参考答案
1．C
【分析】
此题应根据反比例函数的定义，解析式符合的形式为反比例函数．
【详解】
解：①是正比例函数，故A选项错误；
②是反比例函数，故B选项正确；
③是反比例函数，故C选项正确；
④y是x+1的反比例函数，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
2．B
【分析】
根据黄金分割性质即可解题.
【详解】
∵点是线段的黄金分割点，由图可知,AC为较短边,
∴
故选B
【点睛】
本题考查了黄金分割的性质,属于简答题,熟悉黄金分割的性质是解题关键.
3．A
【详解】
∵，∴，∴．
故选A．
4．A
【详解】
∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
即k＜1．
故选A．
5．C
【分析】
根据60°角的正弦值等于解答．
【详解】
解：∵，是锐角，
∴=60°，
故选C．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，是需要熟记的知识点．
6．B
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积=k可得A错误；根据反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得B正确、D错误；根据反比例函数图象关于原点成中心对称可得C错误．
【详解】
解：A、1×1=1≠2，因此反比例函数y=的图象不过（1，1），故此选项错误；
B、∵k=2＞0，
∴在图象每一支上，y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故此选项正确；
C、图象的两个分支关于原点对称，故此选项错误；
D、图象的两个分支分布在第一、三象限，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
7．D
【详解】
试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C．当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选D．
考点：相似三角形的判定．
8．A
【分析】
根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】
由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴，
又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
【点睛】
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
9．A
【分析】
利用待定系数法求出点A的坐标，再连立方程组求出点B的坐标即可判断．
【详解】
解：当x=﹣2时，y==1，即A（﹣2，1），
将A点坐标代入，
得k=﹣2×1=﹣2，
反比例函数的解析式为，
联立双曲线、直线，得，
解得：，，
B（2，﹣1）．
故选A．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．D
【详解】
试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D.
考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像.
11．A
【分析】
分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝，再利用面积相减的关系求出答案.
【详解】
分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝，
∴S△AOB＝S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC＝6﹣3﹣＝．
故选：A．

【点睛】
此题考查反比例函数的系数k的几何意义，根据函数图象作出对应的三角形或矩形，利用系数k求出对应图象的面积是解题的关键.
12．A
【分析】
令x的指数为-1，系数不为0列式求值即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得m=-1，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数的定义；反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式；注意不要忽略k≠0．
13．-2
【分析】
由反比例函数可得，将坐标(－1，2)代入即可得出答案.
【详解】
∵反比例函数y＝的图象经过点(－1，2)
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查求反比例函数系数，熟练掌握反比例函数上的点横纵坐标之积即为k是关键.
14． 30° 20°
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据特殊角的三角函数值求出90°-α的度数，即可求出答案；
（3）求出tan（α+10°）=，根据特殊角的三角函数值求出α+10°=30°，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵sinA=，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠B=60°，
∴cosB=．
故答案为：；
（2）∵cos（90°-α）=，
∴90°-α=60°，
∴α=30°．
故答案为：30°；
（3）∵tan（α+10°）=1，
∴tan（α+10°）=，
∴α+10°=30°，
∴α=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键．
15．105°
【分析】
已知，根据非负数的性质可得，，即可得，．根据特殊角的三角函数值求得∠A、∠B的度数，再利用三角形的内角和定理求∠C得度数即可.
【详解】
∵ ，
∴ ，
即，．
又∵ ∠A、∠B均为锐角，∴ ∠A＝45°，∠B＝30°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴ ∠C＝105°．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出，，解决问题时还要熟知特殊角的三角函数值．
16．5
【详解】
根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，即，解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
17．y2＜y1＜y3
【分析】
利用反比例函数的增减性可比较y1、y2，再利用函数值的正负可得出y3为正数，可求得答案．
【详解】
∵y=（k＞0），
∴函数图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∵A（-2，y1），B（-1，y2），
∴y2＜y1＜0，
∵C（2，y3），
∴y3＞0，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为y2＜y1＜y3．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=中，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．
18．（-2，1）或（2，-1）．
【分析】
根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．
【详解】
解：∵顶点E的坐标是（-4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△EFO缩小得到它的位似图形△E′F′O，
∴点E′的坐标是：（×（-4），×2），[- ×（-4），- ×2]，
即（-2，1）或（2，-1）．
故答案为（-2，1）或（2，-1）．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得出是解题的关键．
19．（1）4-；（2）
【分析】
（1）先进行幂的计算，然后按照实数的混合运算顺序计算即可．
（2）将特殊角的三角函数值代入，然后按照实数的混合运算顺序计算即可．
【详解】
解：（1）原式=1+2+1-
=4-；
（2）原式=
=
【点睛】
本题考查实数的运算能力．关键是熟记特殊角的三角函数值，并注意细心运算．
20．见解析
【分析】
根据题意位似中心已知为O，则延长OD，OA，0B，OC，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点D'，A'，B'，C'，再顺次连接所作各点，即可得到放大一倍的图形四边形A'B'C'D'．
【详解】
解：如图所示．

【点睛】
本题主要考查了位似图的画法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
21．见解析
【分析】
根据画位似图形的一般步骤，画出图形即可．
【详解】
解：如图，连接DO延长DO到D′，使得OD′=2OD，连接AO，延长AO到A′，使得OA′=2OA，连接BO，延长BO到B′，使得OB′=2OB，连接CO，延长CO到C′，使得OC′=2OC，
则四边形A′B′C′D′就是所1求作的四边形．

【点睛】
本题考查作图-位似图形，解题的关键是记住画位似图形的一般步骤，利用相似三角形的性质解决问题2倍关系，属于中考常考题型．
22．（1）；（2），；（3），
【分析】
（1）直角三角形中知两边，求第三边，运用勾股定理即可
（2），即，，即可知．再运用勾股定理即可
（3），其中，即可求解．
【详解】
解：依题意
（1）在中，，
，，
根据勾股定理得，，
；
（2），
为等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理得，
，
，
此三角形的三边分别为：，，；
（3）在中，，
，
，
，
根据勾股定理得．
，
此三角形的三边分别为：，，．
【点睛】
此题主要考查直角三角形勾股定理的运用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟练运用勾股定理．
23．（1）①（5，6），②1：2；（2）4m
【分析】
（1）①观察点B点和B′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A′的坐标（5，6）；
②利用对应点坐标的变化即可得出相似比；
（2）利用位似图形面积比等于相似比的平方进而得出答案．
【详解】
解：（1）①∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∵点B（3，1），B′（6，2），∴位似比为2，
∴若点A（，3），则A′的坐标（5，6）；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；
故答案为（5，6），1：2；
（2）∵△ABC与△A'B'C'的相似比为1：2 
∴，
而△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积=4m．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
24．6
【分析】
延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长DA交CB的延长线于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB=120°，
∴∠EAB=60°，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=24，
∵∠D=90°，
∴∠C=60°，
∴DE= CD=30，
∴AD=DE-AE=6．

【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）边长为，周长为
【分析】
（1）根据四边形是正方形，得到，进而得出，，即可判定；
（2）设正方形的边长为，则，，根据，得出，即，进而解得，即可得出正方形的边长与周长．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，
，
，，
；
（2）如图，设与交于点，
，
四边形是矩形，
，
设正方形的边长为，则，，
，
，即，
解得，
正方形的边长为，周长为．

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是运用相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比列方程求解．
26．（1）反比例函数解析式为y1＝，一次函数得到解析式为y2＝x+3；（2）7.5；（3）当﹣4＜x＜0或x＞1时，y2＞y1
【分析】
（1）由题意把点A坐标代入反比例函数求出m的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意先求出直线与x轴的交点坐标，从而x轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的纵坐标分别求出两个三角形的面积，进而相加即可；
（3）根据函数的图象结合函数图象的性质进行分析求得即可．
【详解】
解：（1）点A（1，4）在反比例函数y1＝的图象上，
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的表达式为y1＝，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y1＝的图象上，
∴n＝＝﹣1，即B（﹣4，﹣1），
把点A（1，4），点B（﹣4，﹣1）代入一次函数y2＝kx+b中，
可得，解得，
∴一次函数的表达式为y2＝x+3；
故反比例函数解析式为y1＝，一次函数得到解析式为y2＝x+3；
（2）设直线与x轴的交点为C，
在y2＝x+3中，当y＝0时，得x＝﹣3，
∴直线y2＝x+3与x轴的交点为C（﹣3，0），
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×1＝7.5；
（3）从图象看，当﹣4＜x＜0或x＞1时，y2＞y1．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，注意掌握此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式．
27．CE的长为（4+）米
【分析】
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】
过点A作AH⊥CD，垂足为H，

由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×=2（米），
∵DH=1.5，
∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==（4+）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

28．（1）；（2）1或9.
【详解】
试题分析：（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k、b的值，即可得一次函数的解析式；（2）直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m，根据平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令△=0，即可求得m的值.
试题解析：
(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得，
解得，
所以一次函数的表达式为y＝x＋5.
(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m.由得， x2＋(5－m)x＋8＝0.Δ＝(5－m)2－4××8＝0，
解得m＝1或9.
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．