人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试教案设计，共15页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

《立体几何初步》全章复习与巩固
【学习目标】
1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。
3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。
6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
【知识网络】

【要点梳理】
要点一：空间几何体的结构与特征
本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．
柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．
空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．
与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化．
要点二：平面基本性质
刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．
公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．
要点三：空间的平行与垂直关系
理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理：
(1)空间中的平行关系
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
(2)空间中的垂直关系
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．

【典型例题】
类型一：空间几何体的三视图
例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD平面PEG

【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等．
（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果．
【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

　　　（２）该安全标识墩的体积为：
　　　　　　　　
　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；






【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.

【答案】38
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为
例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG。









【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V长方体-V正三棱锥，求该多面体的体积；
（3）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，在所给直观图中连接BC′，证明EG∥BC′，即可证明BC′∥面EFG．

【解析】
（1）如图
4
6
4
2
2
2
4
6
2
2
（俯视图）
（正视图）
（侧视图）


（2）所求多面体体积


A
B
C
D
E
F
G




．
（3）证明：在长方体中，
连结，则．
因为分别为，中点，
所以，
从而．又平面，
所以面．
类型二：几何体的表面积和体积
例3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示
（单位：m）:
（1）试画出它的直观图；
（2）求它的表面积和体积.
【思路点拨】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．由此可画出直观图．
（2）分别求出个面的面积，之和即为表面积；
法一：将该几何体看作一个长方体被截去一个角，而且被截去的部分为一直三棱柱，利用长方体和棱柱的体积公式求解即可．
法二：该几何体为直四棱柱，体面为直角梯形，故利用棱柱的体积公式求解即可．
【解析】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．直观图如图所示：
（2）法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，∴AA1=BE=1．
在Rt△BEB1中，BE=1，EB1=1，∴BB1=
∴几何体的表面积S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1
=1+
=（m2）
几何体的体积
该几何体的表面积为（）m2，体积为。
法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，
V直四棱柱D1C1CD-A1B1BA=Sh=
该几何体的表面积为（）m2，体积为。
【变式1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】设三棱柱底面所在圆的半径为r，球的半径为R，易知，所以球的半径R满足：，所以．
【变式2】如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为 cm3.

【答案】6.
【解析】∵长方体底面是正方形,∴△中 cm,边上的高是cm(它也是中上的高).
∴四棱锥的体积为.
类型三：直线、平面的位置关系
例4.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.
（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；
（2）求证：A1B⊥AM；
（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；
（1）【证明】
方法一 由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1，
又∵C1M平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1.
又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.
又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.
方法二 由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.
由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B.
（2）【证明】由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，
∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.
∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1，
∴A1B⊥平面AMC1，又AM平面AMC1，∴A1B⊥AM.
（3）【证明】
方法一 由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形，
M、N分别是A1B1、AB的中点，
∴ANB1M.∴四边形AMB1N是平行四边形.
∴AM∥B1N.连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 AB.
∴MB1 BN，∴四边形BB1MN是平行四边形.∴BB1 MN.又由BB1CC1，知MNCC1.
∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1MCN.又C1M∩AM=M，CN∩NB1=N，
∴平面AMC1∥平面NB1C.
方法二 由（1）知C1M⊥平面AA1B1B，
A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.
又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理可证，A1B⊥平面B1NC.
∴平面AMC1∥平面B1NC.
【变式1】如图所示，平面，点C在以AB为直径的⊙O上，，，点E为线段PB的中点，点M在上，且∥．
（Ⅰ）求证：平面∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面PAC平面；
【解析】
（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，[来源:学科网]
所以 ∥.
因为 平面，平面，
所以 ∥平面PAC.
因为 ∥，
因为 平面，平面，
所以 ∥平面PAC.
因为 平面，平面，，
所以 平面∥平面PAC.
（Ⅱ）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，
所以 ，即.
因为 平面，平面，
所以 .
因为 平面，平面，，
所以 平面.
因为 平面，
所以 平面PAC平面.
例5．如图所示，在五棱锥P-ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；
(3)求四棱锥P-ACDE的体积．
【解析】 (1)证明：因为∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，所以在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝，解得．所以AB2+AC2＝8+8＝16＝BC2，所以AB⊥AC．又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB．又PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC．又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC．又因为CDC平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC．
(2)由(1)知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作AH⊥PC于H，则AH⊥平面PCD．又AB∥CD，AB平面PCD，所以AB∥平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离．过点B作BO⊥平面PCD于点O，连接PO，则∠BPO为所求角，且AH＝BO，又容易求得AH＝2，所以sin∠BPO＝，即∠BPO＝30°，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30°．
(3)由(1)知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC．又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形．又容易求得DE＝，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P-AC-DE的体积为．
【变式1】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积。
【证明】（1）在ΔABD中，
因为AD=4，BD=8，AB=4，
所以，
所以。
又因为面面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BD面ABCD
所以BD⊥面PAD。
又BD面BDM，所以面MBD⊥面PAD。
（2）过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=。
在底面四边形ABCD中，AB//DC，AB=2DC，
四边形ABCD为梯形。
在中，斜边AB上的高为，
此即为梯形的高。
∴S四边形ABCD=，
∴
例6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．

(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
【解析】 (1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，又PDDC＝D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD．
因为PC平面PCD，
所以PC⊥BC．
(2)解法一：如图所示，分别取AB、PC的中点E、F，连接DE、DF，则易证DE∥CB，所以DE∥平面PBC，所以点D、E到平面PBC的距离相等．则点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离为2倍．

由(1)知BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD．因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于h．
解法二：(体积法)连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠B＝90°，所以∠ABC＝90°．
从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积．
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD＝DC＝1，所以PC＝．
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积．
由得，解得，
故点A到平面PBC的距离等于．
类型四：折叠问题
例7． 如下图(1)，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB＝AD＝CE＝2，现沿EF把四边形CDFE折起如下图(2)，使平面CDFE⊥平面ABEF．

(1)求证；AD∥平面BCE；
(2)求证：AB⊥平面BCE；
(3)求三棱锥C-ADE的体积．
【解析】
(1)证明：由题意知AF∥BE，DF∥CE，
∴ 平面ADF∥平面BCE．又AD≤平面ADF，
∴ AD∥平面BCE．
(2)证明：在图1-8-14(1)中，EF∥AB，AB⊥AD，
∴ EF⊥AD．
又∵ 平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF＝EF，
∴ CE⊥平面ABEF．
∴ CE⊥AB．
又∵ AB⊥BE，∴ AB⊥平面BCE．
(3)解：∵ 平面CDFE⊥平面ABEF，AB⊥AF，
∴ AF⊥平面CDFE，∴ AF为三棱锥A-CDE的高，且AF＝1．
又∵ AB＝CE＝2，
∴ ．
∴ ．
【变式1】如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使平面平面，连结，.（如图）
（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：.







图1 图2

【解析】
证明：（Ⅰ）取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
因为，
所以∥,且，
所以∥，且．
所以四边形为平行四边形．
所以∥．
又因为平面，且平面，
所以∥平面．
（Ⅱ） 取中点，连结.
因为，，
所以，而，即△是正三角形.
又因为, 所以.
所以在图2中有.
因为平面平面，平面平面，
所以⊥平面. 又平面，所以⊥.
类型五：探索性问题
例8．如下图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．

(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)证明：取PD中点E，连接EM，AE．
∴ EMCD，而ABCD，
∴ EMAB．
∴ 四边形ABME是平行四边形．
∴ BM∥AE．
∵ AE平面ADP，BM平面ADP，
∴ BM∥平面PAD．
(2)解：∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．
又AB⊥AD，∴ AB⊥平面PAD，
∴ AB⊥PD．
∵ PA＝AD，E是PD的中点，
∴ PD⊥AE．
∴ PD⊥平面ABME．
作MN⊥BE，交AE于点N，则MN⊥平面PBD．
易知△BME∽△MEN．
而BM＝AE＝，EM＝CD＝1．
由，得，
∴ ．
即点N为AE的中点．
【变式1】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证；BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
【思路点拨】(1)要证直线与平面垂直，已知PAD⊥平面ABCD，只要证明BG与交线AD垂直即可；(3)是开放性问题，可以选取特殊点，比如取F为PC的中点来讨论．
【解析】
(1)证明：如下图(1)．
∵ 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
∴ BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴ BG⊥平面PAD．

(2)证明：如上图(2)，连接PG．
∵ △PAD为正三角形，G为AD的中点，
∴ PG⊥AD．
由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG平面PAD，BG平面PGB，
∴ AD⊥平面PBG．
∵ PB平面PGB，
∴ AD⊥PB．
(3)解：当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．
证明如下：
在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE＝E，
∴ 平面DEF∥平面PGB．
由(1)知，PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，
∴ 平面PGB⊥平面ABCD，
∴ 平面DEF⊥平面ABCD．