备战2022高考数学圆锥曲线专题7：椭圆中的定点问题33页（含解析）

这是一份备战2022高考数学圆锥曲线专题7：椭圆中的定点问题33页（含解析），共33页。试卷主要包含了已知椭圆Γ，已知椭圆C，已知椭圆过点，离心率为.，已知椭圆过、两点.，如图，已知椭圆等内容，欢迎下载使用。

专题7：椭圆中的定点问题
1．已知椭圆，点在椭圆上，椭圆上存在点与左焦点关于直线对称
（1）求椭圆的方程；
（2）若､为椭圆的左､右顶点，过点的直线，与椭圆相交于点､两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
2．已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．
3．已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为、.

（1）若直线l经过点，求的周长；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）若， ，直线与椭圆Γ的另一个交点为C，直线与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；
（3）设点P是直线上的一个动点，过P做椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D.
（1）求四边形OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围.
（2）证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.
6．已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆的上顶点，、是椭圆上两个不同的动点（不在轴上），直线、的斜率分别为、，且，求证：直线过定点.
7．已知椭圆过、两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设椭圆的右顶点为，点在椭圆上（不与椭圆的顶点重合），直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：直线过定点.
8．已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点.
（1）求的方程;
（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
9．如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.

（1）求的值；
（2）设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
10．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.
11．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点为，点、是椭圆上的两个动点．
（1）当、、三点共线时，直线、分别与轴交于，两点，求的值；
（2）设直线、的斜率分别为，，当时，证明：直线恒过一个定点．
12．已知：椭圆的左右焦点为､，椭圆截直线所得线段的长为，三角形的周长为.
（1）求的方程；
（2）若，为上的两个动点，且.证明：直线过定点，并求定点的坐标.
13．已知椭圆的离心率为，直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2） 若直线与椭圆交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
14．已知为椭圆上的一点，焦距长为2．、为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为，，且（，）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究直线是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
15．已知椭圆的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.

参考答案，仅供参考哦
1．（1）；（2）定点坐标.
【分析】（1）先写出的坐标，得，再联立方程，解方程即可；
（2）设，，设 方程和方程分别为、 ，将它们分别与椭圆方程联立，得到 方程，进而求出定点.
【解析】（1）由题意可得：左焦点关于直线对称点；
解得所以椭圆的方程：；
（2）由题意可知，同时直线斜率存在且不为零，
与椭圆交于，设，
可得，
，
与椭圆交于，设，
可得，
，
当时，直线，，
令时，，
当时，，，
直线恒过点.
【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
2．（1）；（2）存在，；（3）证明见解析．
【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点列方程求解a、b，从而求得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，，联立直线方程与椭圆方程可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式用k表示出线段的中点，，根据所给等式可证明直线为直线的垂直平分线，则可得直线的方程，求出点N的横坐标从而可求得n的范围；（3）联立直线AB的方程与椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设，，，，，，根据韦达定理求出、，求出直线AE的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
【解析】（1）椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，
且经过点，
，解得，
椭圆的方程为：．
（2）设直线的方程为：，，
代入，得：，
恒成立．
设，，，，线段的中点为，，
则，，
由，得：，
直线为直线的垂直平分线，
直线的方程为：，
令得：点的横坐标，
，，．
线段上存在点，使得，其中．
（3）证明：设直线的方程为：，，
代入，得：，
过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，
由，得：，
设，，，，，，
则，，
则直线的方程为，
令得：



．
直线过定点．
【点评】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度较大，考查知识间的联系与综合，着重考查考生运用圆锥曲线的知识进行逻辑推理的能力.
1.参数法 圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题，那么设参数就有两种情况，第一种是设点的坐标，第二种是设直线的斜率.
2.由特殊到一般法 如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.
3．（1）8；（2）；（3）证明见解析，.
【分析】（1）根据椭圆的定义计算；
（2）设直线方程为，由直线与椭圆相交于两点，及直线不过原点求出，应用韦达定理求得弦长，并求得原点到直线的距离得三角形面积，利用的范围结合二次函数性质得面积取值范围；
（3）在（2）基础上，写出直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标，同理得点坐标后再求出直线方程，利用，由此方程关于是恒等式可得定点坐标．
【解析】（1）由题意，．∴，
，，
∴的周长为；
（2）设直线方程为，
由得，∴，，
设，则，，
，
又原点到直线的距离为，
∴，
直线不过原点，∴，∴，
∴．
（3）由（2）直线方程为，
由得，又，代入整理得：
，是此方程的两根，
∴，∴，即，
同理可得，
∴，
∴直线方程为，注意，令，

∴直线过定点．
【点评】 本题考查直线与相交问题，考查椭圆中三角形面积问题，直线过定点问题，对学生的运算求解能力要求较高，属于困难题．解题时采用“设而不求”的思想方法，设直线方程为，设交点坐标为，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由判别式得参数的范围，由韦达定理求得弦长，求出原点到直线的距离后可得三角形面积，利用函数的性质结合参数范围可得面积的范围．而直线过定点问题，就是由参数求出交点坐标，写出直线方程，由方程分析得出直线所过定点坐标．
4．（1）；（2）证明见解析；（3）直线AB过定点.
【分析】（1）当M是椭圆的短轴端点时，的面积最大，得到，再结合离心率及，可求得椭圆方程；
（2）联立，得(*) ，又点在椭圆上得，即可将方程变形为，即直线和椭圆仅有一个公共点，可证得为椭圆的公切线.
（3）设，切点，，由切线方程可知，，又P在切线上，，，可知直线AB的方程为：，可得直线AB过定点
【解析】（1）M是椭圆上的动点 ，
，即时，
，即，又，，，
椭圆Γ的方程为
（2）证明：联立，得(*)
点在椭圆上，
，即
， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点，
为椭圆的公切线
（3）设，切点，，由（2）的结论可知，
切线的方程分别为 ，
在切线上，，
都满足，即直线AB的方程为：
直线AB过定点.
【点评】 本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中定点问题的两种解法：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
5．（1）；（2）证明见解析，定点E．
【分析】（1）直线AB的方程代入椭圆C，结合韦达定理得两根关系，求出四边形OAHB面积表达式，根据基本不等式求得取值范围；
（2）由点坐标写出直线BD的方程的表达式，令y＝0，求出的表达式，结合（1）中两根关系进行化简计算得到定值即可．
【解析】（1）由题设知F(1，0)，设直线AB的方程为x＝my＋1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)
由消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝
所以四边形OAHB的面积S＝×|OH|×|y1－y2|＝×2×＝
令＝t，则，所以S＝＝，
因为t＋≥2(当且仅当t＝1，即m＝0时取等号)，所以0＜S≤，
故四边形OAHB的面积的取值范围为；
（2）由B(x2，y2)，D(2，y1)，可知直线BD的斜率k＝，所以直线BD的方程为y－y1＝ (x－2)
令y＝0，得x＝＝　①
由（1）知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以y1＋y2＝2my1y2　②
将②代入①，化简得x＝＝＝，
所以直线BD过定点E．
【点评】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
6．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）求得点，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得点的坐标，结合计算得出，由此可证得结论成立.
【解析】（1）根据题意得：，解得，所以椭圆的方程为；
（2）因为点为椭圆上顶点，所以点的坐标为，
设点、，
设直线，由得，
解得，则，即点，
，
设直线，同理可得，
又因为，所以，所以，
所以，所以直线过定点.
【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
7．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）将点、的坐标代入椭圆的方程，求出、的值，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率；
（2）设直线的方程为，求出点、的坐标，求出直线的方程，求出点的坐标，进一步可求得直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标.
【解析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程可得，，，同理，
，
因此，椭圆的离心率为；
（2）如下图所示：

直线的方程为，即，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去可得，
由韦达定理可得，，则，
所以，点的坐标为，
联立，解得，即点，
所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
整理可得，
由，解得，因此，直线过定点.
【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
8．（1）；（2）过定点，.
【分析】（1）由题知，，再结合，即可求出，进而求出椭圆方程；
（2）分类讨论直线的斜率存在与否，当其中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在，可知直线为轴；当两条直线斜率均存在，设出直线方程，与椭圆联立，分别求出点M，N坐标，从而求出直线方程，整理直线方程，可得直线过定点.
【解析】（1）由题意可得，解得：或(舍），
故椭圆的方程为.
（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；
当的斜率都存在且不为时，设，
设，联立，整理得
，
则
所以的中点
同理由，可得的中点
则
所以直线的方程为
化简得
故直线恒过定点.
综上，直线过定点
【点评】 本题考查圆锥曲线中定点问题，常用两种解法：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
9．（1）；（2）过定点，定点为.
【分析】（1）联立直线与椭圆，求出的坐标，再利用时，可求出的值；
（2）由（1）知，，椭圆：，设出直线的方程与椭圆方程联立解得的坐标，同理得的坐标，再求出直线的方程，令，可得为定值，从而可知直线过定点.
【解析】（1）设，则，由题意得焦点为
所以，.
当时，有.
联立得，，从而.
将代入，得，即，
所以或（舍），故.
（2）由（1）知，，椭圆：.
设：，代入椭圆：，
消去并整理得，
所以，
而，所以，
由韦达定理得，所以.
同理：，即，，
所以，

所以，
于是.
所以直线：.
令，得，
将代入得，
所以经过定点.
【点评】 将的坐标当已知，求出的坐标和直线的方程，再令得到为定值是本题解题关键.
10．（1）；（2）过定点，.
【分析】（1）利用点差法可得，再由直线的方程为，求出轴上的截距，结合题意即可求解.
（2）设直线的方程分别为，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出，，求出直线方程，化简整理即可求解.
【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
（1）设，
则，
且
两式相减得
即，
即，
所以
又直线的方程为，
令，得
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意得，直线的方程分别为，
设，联立，
得，
所以，
则
同理
所以
由
得，
所以直线的方程为
整理得，
所以直线过定点.
【点评】 本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，求出点、以及直线的方程为，考查了运算求解能力，综合性比较强.
11．（1）2；（2）证明见解析.
【分析】（1）设点的坐标，运用向量的坐标形式的数量积公式，并借助点在椭圆上化简即可；
（2）先探求的坐标,再从这一特殊情形入手求出定点坐标,最后再验证一般情况,很容易求出定点的坐标.
【解析】解：（1）由题意，得，
设，则根据、、三点共线可知，
故直线方程为，，，
直线方程为，，，
，
又点在上，即，由此得．
（2）由题意知直线、的斜率存在，设直线的方程为，直线的方程为，，，由，
得，
因为和是此方程的两个根，
所以，，，
所以，同理得
因为，所以，
当时，，
此时与的横坐标相同，所以直线的方程为．所以的横坐标为．
当时，，的方程为，
令，得．
所以直线恒过定点．
【点评】求定点问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
12．（1）；（2）证明见解析，定点.
【分析】（1）根据截直线所得线段的长为，可得，再结合的周长为，求解即可.
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据，且垂直轴，可得，结合韦达定理可求m与k的关系，再代入直线方程求解.
【解析】解：（1）把代入得，
则.即.
又的周长为，
由椭圆概念得
从而
故的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得.
设，的坐标分别为，，
则，
且，.
设直线，的倾斜角分别为，，∵，且垂直轴，
，即，
，则，
即，
，
，化简可得，
则直线的方程为，故直线过定点.
【点评】 由，且垂直轴，得到，
是解答本题的关键.
13．（1）；（2）证明见解析，定点坐标为.
【分析】（1）求出的值，由已知条件求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，设椭圆的右顶点为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得，可得出与所满足的关系式，由此可求得直线所过定点的坐标.
【解析】（1）由于直线与圆相切，则，
由已知条件可得，解得，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，设椭圆的右顶点为，
由题意可知，直线不过椭圆的左、右顶点，则，
联立，消去并整理得，
，
由韦达定理可得，，
由于以为直径的圆过椭圆的右顶点，则，
，，
所以，，
整理可得，解得或（舍去）.
所以，直线的方程为，所以，直线恒过定点.
【点评】 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
14．（1）；（2）过定点，．
【分析】（1）由题意得、可得椭圆标准方程；
（2）①当直线斜率不存在时，设为由可得结论；
②当直线斜率存在时，设方程为，点坐标为，点坐标为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示化简得，代入直线方程可得答案.
【解析】（1）由题意知，，，且，所以，
所以，椭圆标准方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，设为，设点坐标为，点坐标为，
由于，，，
∴，
∴，
∴直线斜率不存在时，不符合题意．
②当直线斜率存在时，设方程为，点坐标为，点坐标为，
联立，得，
，，，
∵，，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
显然，直线，不经过点，即，，
故有，，
化简得，
∴直线为，∴，
显然当时，上式成立，直线过定点，
综上，直线过定点．
【点评】本题考查了椭圆方程、椭圆中直线过定点的问题，第二问的关键点是利用韦达定理表示，考查了学生分析问题、解决问题及计算问题的能力.
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由即可求解.
（Ⅱ）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，消，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，根据题意可知，即 ，从而求得 或 （都满足），即求；当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，求出即可求解.
【解析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，且经过点 ，
可知
所以 .
所以 .
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得 .
.
设， 则.
因为以线段为直径的圆经过点 ，
所以 . 所以 .






由 ，整理得 .
解得 或 （都满足）.
所以 或 .
因为直线不过点，
所以直线过定点
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
则，.



解得 或（舍）.
综上 直线过定点.
【点评】 本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用韦达定理以及向量的数量积求出直线中与的关系，考查了运算求解能力.