备战2022高考数学圆锥曲线专题20：双曲线的范围问题22页（含解析）

专题20：双曲线的范围问题

1．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．

2．已知双曲线的离心率，其一条准线方程为．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，设双曲线C的左右焦点分别为A,B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支 交于点E，若，求实数的取值范围．

3．

已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．

（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；

（2）求直线的方程；

（3）求三角形面积的最大值．

4．如图，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，圆是以为直径的圆，直线：与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．

（Ⅰ）根据条件求出b和k的关系式;

（Ⅱ）当时，求直线的方程；

（Ⅲ）当，且满足时，求面积的取值范围．

5．已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

（1）求双曲线的方程

（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值．

6．在平面直角坐标系内，已知双曲线：()，

（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；

（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值；

（3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围.

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．

（1）求双曲线E的方程；

（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．

8．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.

9．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.

10．已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，且的周长为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线，点P是双曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

11．已知双曲线，直线

若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求k的取值范围；

 P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值．

12．已知点是双曲线上的点．

（1）记双曲线的两个焦点为，若，求点到轴的距离；

（2）已知点的坐标为，是点关于原点的对称点，记，求的取值范围．

参考答案

1．（1）；（2）

【分析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；

（2）将代入，得

由直线与双曲线交于不同的两点，得的取值范围，设，由韦达定理得则

代入可求得的范围．

【解析】(1)设双曲线的方程为，

则，再由，得

故的方程为

(2)将代入，

得

由直线与双曲线交于不同的两点，得

①

设

则

又，得，

，即，解得②

由①②得＜k2＜1，

故的取值范围

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交中的范围问题．应注意：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

2．（I）；（II）.

【分析】(I)由可求的值，由可求的值,从而可求双曲线的方程；（II）由(I)知,设,由可得,,结合在双曲线上,可求,结合双曲线的性质可得关于的不等式，进而可得结果.

【解析】(I)由题意可得, ,
,
所以双曲线的方程为.
（II）由(I)知,设,
,
则由,
可得,
在双曲线上
,
,
在双曲线

代入上式可得,



在双曲线的左支,点D在右支
.

【点评】本题主要考查了利用双曲线的性质、求解双曲线的方程以及双曲线的性质的应用,属于综合试题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.

3．（1）； （2）；（3）．

【分析】（1）由，知，由及圆的性质，知四边形是正方形，所以．由此能求出双曲线离心率的取值范围；（2）因为，所以以点为圆心，为半径的圆的方程为，联立方程组，得直线AB的方程；（3）直线的方程为，所以点到直线的距离为，由，知的面积，因为点在双曲线上，所以．设，所以．再由导数能够求出．

【解析】（1）因为，所以，所以．

由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．

因为，所以，所以．

故双曲线离心率的取值范围为．

（2）因为，

所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．

因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，

所以联立方程组 ，

消去，，即得直线的方程为．

（3）由（2）知，直线的方程为，

所以点到直线的距离为．

因为，

所以三角形的面积．

以下给出求三角形的面积的三种方法：

因为点在双曲线上，

所以，即．

设，

所以．

因为，

所以当时，，当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，当，即时，．

综上可知，当时，；当时，．

【点评】本题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法（导数）以及均值不等式法求解.

4．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）由直线与圆相切，利用原点到直线的距离等于半径可得出和的关系式；

（Ⅱ）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理进行计算，得出和的值，于此可得出直线的方程；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得出，再代入（Ⅰ）中的关系式得出，利用弦长公式求出的表达式，利用圆的半径作高计算出的面积的表达式，转化为的代数式，利用函数思想求出面积的取值范围．

【解析】（Ⅰ）圆，；

（Ⅱ）设点、，由，得，

，，

，

，，，因此，直线的方程为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，于是，

，

又到的距离，

.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标运算，考查双曲线中三角形面积的取值范围，要抓住问题的本质加以转化，同时在处理直线与双曲线的综合问题时，充分利用韦达定理进行求解，难点在于计算，属于难题．

5．（1）；（2）24.

【分析】（1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示

【解析】因为，所以，．

所以双曲线的方程为，即．

因为点在双曲线上，所以，所以．

所以所求双曲线的方程为．

设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，

由，得，

所以．

同理可得，，

所以．

设，

则，

所以，即当且仅当时取等号．

所以当时，取得最小值24．

【点评】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线和垂直，利用斜率的关系求，第二个关键是注意隐含条件

6．（1）；（2）；（3）且.

【分析】（1）求出双曲线的渐近线，与已知的渐近线比较后可得的值，从而得到双曲线的标准方程.

（2）在焦点三角形中利用勾股定理和双曲线的定义结合已知的面积可求的值.

（3）设，由题设可得，联立直线方程和双曲线方程，消元利用韦达定理化简前者，可求的取值范围.

【解析】（1）由双曲线：()可得其渐近线方程为，

而的一条渐近线方程为，故即的方程为：.

（2）不妨设在第一象限，、分别为左右焦点，

则，，

而，所以，

所以，故的面积为，所以，

因为，故.

（3）设，因为坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，

故为钝角，所以即，

故即.

由可得，

所以，

又，故，故且.

又可化简为，

该不等式对任意的且恒成立.

故且.

【点评】方法点睛：

（1）求双曲线的渐近线，可令等式右边的常数为零即可；

（2）与焦点三角形有关的计算问题，可利用解三角形的方法来处理；

（3）直线与双曲线的位置关系中的范围问题，可联立直线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而得到所求的范围，注意判别式和二次项式系数的要求.

7．（1）；（2）．

【分析】（1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得；

（2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围；

【解析】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，

所以，设双曲线的焦距为2c，，

故，即．

因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，

将代入，可得，故．

将的面积为，

所以，即，

所以，，故双曲线E的方程为．

（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，

联立方程组消去y可得，，

所以解得，且

所以

．

联立方程组得，同理，

所以．

所以，其中，

所以．

【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.

8．（1）；（2）.

【分析】（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；

（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.

【解析】（1）直线过x轴上一点，

由题意可得，即，

双曲线的渐近线方程为，

由两直线平行的条件可得，解得，

即有双曲线的方程为.

（2）设直线，

代入，可得，

设，则，

中点为，

可得的垂直平分线方程为，

令，可得，

由，解得，

又，解得，

综上可得，，即有的范围是，

可得直线与轴上的截距的取值范围为.

【点评】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．

9．（1）；（2）.

【分析】（1）依题意得到方程组，解得即可；

（2）设，于是，根据平面向量数量积的坐标表示及转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；

【解析】解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.

（2）由已知得，设，

于是，

因此，

由于，所以当时，取得最小值，.

【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，平面向量的数量积以及二次函数的性质的应用，属于中档题.

10．（1）；（2）最小值为

【分析】（1）根据题意可得，，根据周长可得，结合，求解可得，，所以曲线C的方程为：；

（2）求出与l平行且与C相切的直线，利用平行直线间距离公式可得最小值．

【解析】（1）由题得，所以，，

又，所以，，，

因为的周长为，

所以①，

又因为②，

①－②，得，

即，解得，，

所以曲线C的方程为：；

（2）设与直线平行且与C相切的直线方程为，

由得，

则，解得．

设点P到直线l的距离为d，则根据平行线间的距离公式可得，，

所以当时，d取最小值为.

【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，曲线上的点到直线距离的最值问题等，求椭圆上的点到一条直线的距离的最值一般转化为求平行直线间的距离，属中档题．

11．（1）

（2）

【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出的范围．

（2）设出的坐标，利用的表达式，求出最小值即可.

【解析】解：（1）由，整理得

所以，解得且

设，

所以

因为，

所以时，．

【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．

12．（1）           

（2）

【分析】(1) 利用，结合向量知识，可得的轨迹方程，结合双曲线方程，即可得到点到轴的距离．(2) 用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得的取值范围．

【解析】(1)设点为，，而，，

则，，，．

，，

即，

整理，得①

又，在双曲线上，

②

联立①②，得，即

因此点到轴的距离为.

(2) 设的坐标为，，则的坐标为，，

．

的取值范围是，．

【点评】本题主要考查向量的运算，考查双曲线中点的坐标的求法和范围问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.