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平面向量的内积PPT课件免费下载
展开一、【新课导入】
如图7-21所示,水平地面上有一辆车,某人用100 N的力,
那么,这个人做了多少功?
做功等于力与在力的方向上移动
的距离的乘积.力F是水平方向的力
与垂直方向的力的和,垂直方向上
没有产生位移,没有做功,水平方向
二、【探索新知】
这里,力F与位移s都是向量,而功W是一个数量,它等于由
两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积,W叫做向量F与
向量s的内积,它是一个数量,又叫做数量积.
a与向量b的夹角,记作.
两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b
的内积,记作a·b, 即
a·b=|a||b|cs (7.10)
a·0=0, 0·a=0.
由内积的定义可以得到下面几个重要结果:
可以验证,向量的内积满足下面的运算律:
(a+b)·c=a·c+b·c.
例1 已知|a|=3,|b|=2, =60°,求a·b.
解 a·b=|a||b| cs =3×2×cs 60°=3.
由于 0≤≤180°,
1. 已知|a|=7,|b|=4,a和b的夹角为60°,求a·b.
2. 已知a·a=9,求|a|.
3. 已知|a|=2,|b|=3, =30°,求(2a+b)·b .
设平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),由于i⊥j,故i·j =0,
又| i |=|j|=1,所以
a·b=(x1 i+y1j)· (x2 i+y2j)
= x1 x2 i •i+ x1 y2 i •j+ x2 y1 i •j + y1 y2 j •j
= x1 x2 |j|2+ y1 y2 |j|2
= x1 x2+ y1 y2.
这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,
a·b= x1 x2+ y1 y2 (7.11)
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.
由平面向量内积的定义可以得到,当a,b是非零向量时,
解 (1) a·b=2×1+(−3)×3=−7;
(2) a·b=2×1+(−1)×2=0;
(3) a·b=2×(−2)+2×(−3)=−14.
例4 已知a=(−1,2),b=(−3,1).求a·b, |a|,|b|, .
解 a·b=(−1)(−3)+2×1=5.
例5 判断下列各组向量是否互相垂直:
(1) a=(−2, 3), b=(6, 4);
(2) a=(0, −1), b=(1, −2).
解 (1) 因为a·b=(−2)×6+3×4=0,所以a⊥ b.
(2) 因为a·b=0×1+(−1)×(−2)=2,
1.已知a=(5,−4),b=(2,3),求a·b.
2.已知a=(2, −3),b=(3, −4),c=( −1,3),求a·(b+c).
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