2021学年8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

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空间点线面的位置关系【学习目标】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【要点梳理】要点一、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类（2）异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）②范围：要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：要点二、直线和平面、两个平面的位置关系1、直线和平面的位置关系位置关系直线a 在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示2、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行0两平面相交斜交有无数个公共点在一条直线上垂直有无数个公共点在一条直线上要点三、平行公理、等角定理平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。要点诠释：（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。【典型例题】类型一、异面直线的判定例1已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇【证明】(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，所以A、B、C、D四点共面这与空间四边形ABCD的定义矛盾所以对角线AC与BD是异面直线 (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.(3)  作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求. 【变式】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN// A1C1，又∵A1A CC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。（2）是异面直线。证明如下：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。 类型二、平面的基本性质及平行公理的应用例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分别为FA、FD的中点。（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？【解析】（1）（2）方法一：方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，，∵BEAF，∴B为MA中点。∵BCAD，∴B为中点，∴M与重合，即FE与DC交于点M（），∴C、D、F、E四点共面。 【变式】已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面．【解析】法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴共面；（2）∵，又∵，∴所以，平面平面．法二：（1）∴∴    同理  又 ∴∴共面；（2）由（1）知：，从而可证同理可证，所以，平面平面． 类型三、异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。 类型四、点共线、线共点、线共面问题例4．如图，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．      证明：连结C1B，HE，FG，由题意知HC1平行与EB，∴四边形HC1BE是平行四边形．∴HE∥C1B.又C1G＝GC＝CF＝BF，故GFC1B，∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交．设交点为K，则K∈HG，HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD.∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点。 【变式】如右图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。【证明】 因为M∈PQ平面PQR，M∈BC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。同理可证：N、K也在l上，所以M、N、K三点共线。例5．. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，求证：(1) E、C、D1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点．【证明】(1) 连结A1B 则EF∥A1B  A1B∥D1C∴EF∥D1C     ∴E、F、D1、C四点共面(2) 面D1A∩面CA＝DA∴EF∥D1C  且EF＝D1C∴D1F与CE相交  又D1F面D1A，CE面AC∴D1F与CE的交点必在DA上∴CE、D1F、DA三线共点． 【变式】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，求证：CE、D1F、DA三线共点【证明】因为EF//CD1且等于CD1，所以分别连接D1F、CE并延长交于一点P。因为D1F平面A1D1DA，所以P∈平面A1D1DA又因为CE平面AC，所以P∈平面ABCD，因为平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点。