备战2022高考数学圆锥曲线专题31：抛物线的存在探索性问题30页（含解析）

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专题31：抛物线的存在探索性问题
1．已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.
2．如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.

（1）求证：点N在定直线上；
（2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
3．已知抛物线（）的焦点为，过作一条直线与抛物线相交于、两点．
（1）若直线的倾斜角为，请用表示、两点之间的距离；
（2）若点在抛物线的准线上的射影为点，求证：、、在同一条直线上；
（3）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，问x轴上是否存在点，使得过点的任一条直线与抛物线交于点两点，且点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
5．从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设直线与轨迹C交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于D，E两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由.
6．如图，点F为抛物线：的焦点，点M是抛物线在第二象限上的一点，过点M作圆：的两条切线，交于A，B两点，抛物线在点M处的切线分别交轴，轴于点P，Q

（1）求证：为定值；
（2）是否存在点M，使得A，B，P三点共线，若存在，求M点坐标，不存在，说明理由
7．已知抛物线与圆一个交点的横坐标，的一条切线过点，与交于，两点，且点在点的右侧，为坐标原点.
（1）证明：；
（2）若过点的直线与交于不同的两点，.
①求直线的斜率的取值范围；
②是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在.请说明理由.
8．已知抛物线，与圆有且只有两个公共点．
（1）求抛物线的方程；
（2）经过的动直线与抛物线交于两点，试问在直线上是否存在定点，使得直线的斜率之和为直线斜率的倍？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由．
9．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线交抛物线C于异于点P的，两点，且，，为垂足.是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
10．已知三点，，，曲线上任意一点满足.
（1）求曲线的方程；
（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
11．已知抛物线经过点

（1）求抛物线的方程及其相应准线方程；
（2）过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中.设线段和的中点分别为过点作垂足为证明：存在定点使得线段长度为定值.
12．已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
13．已知抛物线的弦过焦点.
若轴，为抛物线准线与轴交点，求的大小；
若焦点弦斜率为（常数），则能否在抛物线准线上找到一点使中大小不变.
14．动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4.
（1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；
（2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
15．已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.

（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.

参考答案
1．（1）x2＝4y；（2）存在，定点R(0，－2).
【分析】（1）由|PA|等于点P到直线y＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P的轨迹方程；
（2）由对称性确定点R必在y轴上，再由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R(0，－2).
【解析】（1）由题知，|PA|等于点P到直线y＝－1的距离，故P点的轨迹是以A为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x2＝4y.
（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R必在y轴上，可设其坐标为(0，r)
此时由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝0
由题知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，与x2＝4y联立得x2－4kx－8＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8
＋＝＋＝2k＋＝2k－＝0
故r＝－2，即存在满足条件的定点R(0，－2).
【点评】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R必在y轴上，进而设出其坐标.
2．（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】（1）由题意设直线，，，将直线与抛物线方程联立求出两根之和、两根之积，求出直线以及直线，将两直线联立求出交点即证.
（2）由（1）知点N为的中点，取的中点E，则，利用抛物线的定义可得，，，，根据，可得，即，结合韦达定理即可求解.
【解析】解（1）由题知
所以
设直线，，
联立得
所以
对求导得
所以直线的斜率为
所以直线即①
同理直线②
联立①和②得
所以点N的坐标为，即点N在定直线上
（2）由（1）知点N为的中点
取的中点E，则
由题知
所以
所以
而，
若存在点N满足题意
则
即
所以即③
又因为④
将③代入④解得
由（1）知即
经检验，存在满足题意.
【点评】 本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由，，求出点N的坐标为以及，考查了计算能力、推理能力.
3．（1）；（2）证明见解析；（3）存在满足题意的点，其坐标为和．
【分析】（1）设，与抛物线方程联立,利用根与系数的关系以及抛物线的定义得出、两点之间的距离；
（2）设，与抛物线方程联立，得出一元二次方程，通过计算得出，即可证得、、在同一条直线上；
（3）设点的坐标为，列方程组求出点关于直线的对称点为，将的坐标代入，可得点的坐标．
【解析】（1），设，联立得：
，；
（2）设，联立得：，
，，
，，
∴，∴、、在同一条直线上；
（3）设点的坐标为，点关于直线的对称点为，
则，解得：，
若在上，将的坐标代入，得或．
∴存在满足题意的点，其坐标为和．
【点评】 本题考查抛物线的定义，考查焦半径公式，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是通过设出直线方程，与抛物线方程联立化简，利用设而不求法以及，证得三点共线成立，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
4．（1）；（2）存在；．
【分析】（1）设，利用点差法可得解；
（2）由题知为的角平分线，可得，设直线的方程为，与抛物线方程联立得，由韦达定理结合得，即对于任意的恒成立，可得答案.
【解析】（1）设，则
因为线段的中点的纵坐标为，则，
两式相减得．
所以，即抛物线的方程为
（2）假设存在这样的点满足条件，设为，
因为点到直线的距离相等，所以为的角平分线，
则，可得，显然直线的斜率不能为零，
故设直线的方程为，由联立得，
设，则有
得
即，整理得，
即，得，
即对于任意的恒成立，所以且此时满足，
所以存在点到直线的距离相等.
【点评】 本题考查求抛物线的方程，直线与抛物线相交问题：
（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解．
5．（1）；（2）是，定点为和.
【分析】（1）设，用动点转移法求得轨迹的方程；
（2）设直线与曲线C的交点坐标为，，直线方程代入曲线方程，应用韦达定理得，设，写出直线方程求得两点坐标，若存在定点，利用（注意代入韦达定理的结论）求得定点．
【解析】 （1）设，则点Q的坐标为.
因为，
所以，
即，
因为点P在抛物线上，
所以，即.
所以点M的轨迹C的方程为.
（2）设直线与曲线C的交点坐标为，，
由得.
由韦达定理得.
设点，则.
所以直线的方程为.
令，得点D的坐标为.
同理可得点E的坐标为.
如果以为直径的圆过x轴某一定点，则满足.
因为
.
所以.
即，解得或.
故以为直径的圆过x轴上的定点和.
【点评】本题考查求抛物线方程，考查抛物线中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标．
6．（1）证明见解析；（2）存在点，使得A，B，P三点共线.
【分析】（1）设，求出坐标，直接计算求解即可；
（2）设过M的圆的切线方程为，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，其两根，为两切线斜率，设直线：，转化为求关于t的方程是否有解.
【解析】（1）证明：设（），则切线的斜率，
所以切线方程为，即，
所以， 则
所以（定值）
（2）设过M的圆的切线斜率为，则切线方程为，
则
即： 其两根，为两切线斜率，

设，
则直线：
化简得：
若存在M，符合题意，则
又斜率公式知，同理
∴
代入并化简有
所以：，
解得或或，
由知，
故存在点，使得A，B，P三点共线.
【点评】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，圆的切线的性质，函数与方程的思想，考查了运算能力，属于较难题目.
7．（1）证明见解析；（2）①；②存在；定点，.
【分析】（1）将抛物线方程和圆方程联立，消去，得到关于的方程，然后将交点的横坐标代入方程中，可求出圆的半径，求出过点的切线方程，再与圆方程联立求点，的坐标，可得到，，然后，可证得；
（2）①先判断直线的斜是否存在，再设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，消元后使判别式大于零，可求出斜率的取值范围；
②假设存在点，则，然后对上式化简，再结合根与系数的关系，可得，要使此式为定值，只要，，求出点的坐标即可.
【解析】（1）联立抛物线与圆的方程：，得，
由题意，满足上述方程，所以
解得，所以的方程为.
由于点在上，且在第一象限，在第一象限的方程为，则，故过点的切线斜率为1，
所以在上过点的切线方程为，即.
与圆的方程联立，又点在点的右侧，所以，，
故，，，所以
（2）（1）若过点的直线斜率不存在，则的方程为，与只有一个交点，不合题意.由题意，设的方程为.
由得，
由于直线与交于不同的两点，，故，，
所以直线的斜率的取值范围是.
（2）假设存在点，设，，
则，.
由（1）得，，





当，时，
即当，时，.
故存在定点，不论为何值，为定值.
【点评】本题主要考查抛物线、圆、直线方程，定值等综合知识以及推理论证能力与运算求解能
力，属于较难题.
8．（1）；（2）存在定点满足题意．
【分析】（1）联立方程，得，由可得值，即可得抛物线的方程；
（2）由题设，易得当直线的斜率不存在时，恒有；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立方程，由韦达定理与斜率公式表示出，由列方程求解出即可.
【解析】（1）联立方程，得，
因为抛物线与圆有且只有两个公共点，
则，解得或，
又，所以，
所以抛物线的方程为；
（2）假设直线上存在定点，
当直线的斜率不存在时，，，
由题知，即恒成立．
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立方程得，
则，，
由题知，
所以


，
整理得，
因为上式对任意成立，所以，解得，
故所求定点为．
【点评】本题主要考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定点问题，考查了学生的运算求解能力.
9．（1）；（2）存在，定点M(9，0).
【分析】（1）利用抛物线经过点，求得，得到抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，，，联立，消元得到，利用韦达定理，结合向量数量积坐标公式以及条件，得到或，确定出直线方程，进而求得结果.
【解析】（1）根据题意，可设抛物线C的方程为，
因为点在抛物线C上，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
联立，整理得，
，，，
因为，，
所以
.
因为，所以
，
即，
所以，
或，
则直线的方程为：或(舍去)，
所以直线过定点，
因为，
所以点Q在以PH为直径的圆上所以存在定点M(9，0)，使得为定值.
【点评】思路点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，解题思路如下：
（1）根据题意，设出抛物线方程，根据点在抛物线上，点的坐标满足抛物线方程，求得结果；
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及向量数量积坐标公式，结合向量垂直，得到等量关系，确定出直线过的定点，结合图形的特征，得到结果.
10．（1）；（2）存在，
【分析】（1）利用坐标写出 ，，，即可求出，，再根据，化简即可求得曲线的方程；
（2）先假设存在，根据题意写出的方程，对进行讨论，联立方程解出，即可求得与的面积之比的表达式，利用其为常数,即可求得结论.
【解析】 （1），，
，，，
即，，
，
，
，
即，
化简得曲线C的方程：；
（2）假设存在点满足条件，
则，，
直线的方程是：，
的方程是，
动点在曲线上，
，
曲线C的方程：；
即，
则，
，
曲线C在Q处的切线l的方程是：，
与y轴交点为：，
，
，
，
①当时，，
,使得：，
，
时不符合题意；
②当时，
，
与一定相交，
联立：，
即，
解得：，
联立：，
即，
解得：，
，
又，
，
又，
，
对任意，
要使为常数，
则要满足：，
解得：，此时，
故存在，使与的面积之比是常数2.
【点评】 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
11．（1）；准线；（2）存在，
【分析】（1）将点代入抛物线即可求解，再由抛物线的标准方程可得准线.
（2）设出直线：，直线：，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出、，从而求出直线，，将两直线联立求出交点，得到点的轨迹是个圆，从而可得定点为圆心.
【解析】（1）将点代入抛物线，可得，
解得，所以抛物线方程：，
准线.
（2）由题意可得直线：，直线：，
联立 ，整理可得，
设，，则，，
所以，同理，
，
设，
：
，
：，联立 ，
解得，
，整理可得，
即，
所以点的轨迹是个圆，
故的坐标为，线段长度为定值.
【点评】 此题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出直线，的
交点，得到点的轨迹方程，考查了运算求解能力.
12．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）由抛物线过点，代入即可解得；
（2）依题意，设点，，直线的方程为，联立直线与抛物线消去，列出韦达定理由，即，再结合，，，整理可得；
【解析】 （1）因为抛物线：经过点，
所以，解得.
所以抛物线的方程是.
（2）根据题意.设点，，直线的方程为.
联立消去得，
则.
则，.设点，因为，
即，
结合，，，
得，
即，
化简得，
解得.所以，
所以抛物线上存在定点，使得.
【点评】本题考查待定系数法求抛物线方程，直线与圆锥曲线的综合应用，属于中档题.
13．；能（理由见解析）.
【分析】根据抛物线的定义可知，，进而可知，，即可得出结果；
设过焦点的弦方程为，代入，得，结合韦达定理写出，并令其为，算出，即可得证.
【解析】 由抛物线的定义得，，在直角三角形中，
，同理，直角三角形中，，，
.

根据题意，可知焦点，设过焦点的弦方程为.
代入，得.
设该方程两根为，，，.
设抛物线准线上一点的坐标为，设，
则，，则：

.
令，即，
则，即.
解得.
故在抛物线准线上能找到一点，使.
【点评】本题考查抛物线的定义和性质，结合韦达定理，两直线的位置关系的知识点，考查转化与划归的思想，属于中档题.
14．（1）.（2）存在点，定值为.
【分析】（1）设，由题意知：，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P的轨迹方程；
（2）假设存在，设､，由题意知直线的斜率必不为0，设直线的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得，当时，上式，与无关，为定值.
【解析】（1）设，由题意知：.
当点不在轴上时，过做，交于点，则为的中点，
，.
又，
，化简得；
当点在轴上时，易知点与点重合.也满足，
曲线的方程为.
（2）假设存在，满足题意.
设､.由题意知直线的斜率必不为0，
设直线的方程为.
由得.，.
，.
，
，



，
.
，
当时，上式，与无关，为定值.
存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值.
【点评】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.
15．（1）；（2）存在，，.
【分析】（1）显然当轴时，取得最小值，可得，即可得到所求抛物线方程；
（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，由的方程和直线的方程，联立求得交点，化简可得所求定点和定直线．
【解析】（1）设直线的倾斜角为，
所以由抛物线（）的焦点弦公式得，
所以当，即当轴时，取得最小值.
把代入可得，
故，，
可得抛物线的方程为：．
（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．
设，，，，直线的方程为，
联立抛物线方程，可得，
，，
直线的方程为即，
联立直线，
可得，
由，，可得，，
即有，
由假设可得，
即，此时，
可得存在定点，定直线为．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．